martes, 30 de junio de 2015

( 181 ) Pi está en todas partes, hasta en las historias de Fred Vargas

     Llega el verano y con él las vacaciones. Lo lógico sería que aquellos que trabajamos con las matemáticas todo el año aprovecharamos estas vacaciones para dedicarnos a otras cosas pero ¿estamos seguros que los matemáticos somos lógicos?. No seremos nosotros desde aquí los que desanimemos a quien quiera ampliar su cultura matemática este verano leyendo algunos de los excelentes libros de divulgación matemática que existen. O incluso leyendo directamente matemáticas, ya sea en libros de texto o en artículos de investigación. Pero el que respetemos, e incluso admiremos, a quien sabe cultivar con tanta afición su amor por las matemáticas no impide que nosotros vayamos a lo sencillo y dediquemos esta entrada a recomendar una lectura de evasión. Más concretamente, novelas policiacas.
     Ah, dirá algún listillo al leer esto, ya se por donde váis, la novela policiaca, la deducción, la lógica matemática. Alguno de esos detectives que se encuentra con un número reducido de sospechosos, normalmente todos ellos con motivo para cometer el crimen, y debe utilizar sus "pequeñas celulas grises" (obviamente estamos recurriendo al ejemplo de Hercules Poirot) para encontrar al culpable. O algún campeón de la observación a la que añade una sorprendente capacidad deductiva y el principio de que "cuando has eliminado lo imposible, lo que queda, por muy improbable que parezca, tiene que ser la verdad" (y efectivamente, ahora nos referimos al viejo Sherlock).
     Pues no, ¿es que no hemos dicho que nos ibamos a evadir de las matemáticas?. Hoy vamos a presentar al menos lógico de los investigadores criminales que conozco, el comisario Adamsberg, salido de la pluma de la escritora francesa Frédérique Audoin-Rouzeau que firma sus historias policiacas con el pseudónimo de Fred Vargas. Adamsberg es un policía atípico en la forma de pensar y en la forma de actuar que más de una vez pone nerviosos a sus subordinados, pero tiene una capacidad especial, que podríamos llamar intuición, para ver en los demás las intenciones ocultas, o simplemente, las cosas que no cuadran, que hace que su índice de resolución de casos sea extraordinario. Una capacidad con la que sustituye cualquier asomo de pensamiento racional o de espíritu deductivo, algo que ni tiene ni parece desear tener. Tal vez, si queremos desconectar, una entretenida novela policiaca nos pueda hacer dudar si la razón es el único sistema de conocimiento valido (aunque a mi, que soy de natural racionalista y además he estudiado matemáticas, esas dudas normalmente no me duran más que la novela).
     Los libos que fred Vargas ha escrito con Adamsberg como protagonista son
  1. El hombre de los círculos azules (L'Homme aux cercles bleus, 1996)
  2. El hombre del revés (L'Homme à l'envers, 1999)
  3. Huye rápido, vete lejos (Pars vite et reviens tard, 2001)
  4. Fluye el sena (Coule la Seine, 2002) - Tres novelas cortas: Salut et liberté, La Nuit des brutes, Cinq francs pièce
  5. Bajo los vientos de Neptuno (Sous les vents de Neptune, 2004)
  6. La tercera virgen (Dans les bois éternels, 2006)
  7. Un lugar incierto (Un lieu incertain, 2008)
  8. El ejercito furioso (L'armée furieuse, 2011)
y está ya anunciado el siguiente (Tiempos de hielo) para este año.
La escritora Fred Vargas
     Y después de tanto como hemos insistido en que Adamsberg es de lo menos parecido a las matemáticas que hemos encontrado en un libro, naturalmente vamos a terminar con unos trozas de una historia de Adamsberg en los que se habla de matemáticas. Y más concretamente del número π, porque π está en todas partes. En la tercera de las tres historias que forman el libro "Fluye el Sena" se comete un asesinato y el único testigo es un vagabundo cuyo nombre de pila es Pi. Es verdad que uno se podría imaginar una historia con algún padre excéntrico y enamorado de los números (tal vez alguien que tenga un concepto del número π como el que tiene el matemático Daniel Tammet, que hace poco aparecía en el periódico El País y que se nos presentaba bajo el título "El número pi es un poema épico") pera la historia que se ha imaginado Fred Vargas es más cotidiana, aunque quizá no menos curiosa. Podemos leerla: 
Adamsberg giró entre los dedos su carnet de identidad. 
—Pi Toussaint. ¿Es éste su nombre, «Pi»? 
—Mi nombre se disolvió en el café —dijo no sin cierto orgullo—. Y eso es todo lo que quedó. 
Adamsberg lo miró sin decir nada, esperando la continuación, que el hombre recitó como un poema de toda la vida. 
—El día de Todos los Santos, mi madre me llevó a la Asistencia. Puso mi nombre en el registro. Alguien me cogió en brazos. Alguien dejó una taza de café sobre el registro. El nombre se borró con el café, sólo quedaron dos letras. En cambio, «sexo masculino» no se disolvió. Fue una suerte. 
—Sería «Pierre», ¿no?
—Sólo quedaba «Pi» —dijo el hombre con firmeza—. Igual mi madre había escrito «Pi». 
Adamsberg asintió. 
—Pi —prosiguió—. ¿Lleva usted mucho tiempo viviendo en la calle?
Sólo que aunque el nombre no se haya puesto por motivos matemáticos al fin y a la postre es un nombre que marca. Y así el testigo tenía que acabar hablando de círculos.

 —De hecho —dijo súbitamente Pi, pasándose el saco de dormir de un brazo al otro—, yo también tengo ideas. 
—¿Sobre qué? 
—Sobre los círculos. Es de nacimiento. Por ejemplo, el botón de su chaqueta, ¿tiene usted idea de su circunferencia? 
Adamsberg se encogió de hombros. 
—No sé si me había fijado nunca en este botón. 
—Pues yo sí. Y diría que ese botón tiene un perímetro de cincuenta y un milímetros.
Adamsberg se detuvo. 
—¿Y qué más da? —preguntó muy serio. 
Pi sacudió la cabeza. 
—Tiene narices que un policía no vea que ésa es la clave del mundo. Cuando era pequeño, en la escuela de la Asistencia, me llamaban 3,14. ¿Entiende el chiste? ¿Pi = 3,14? ¿El diámetro del círculo multiplicado por 3,14 igual a la circunferencia? Pues bien, esa broma fue el chollo de mi vida. Así que ya lo ve, igual fue una gran suerte el que mi nombre se disolviera con el café. Me convertí en un número. Y no en un número cualquiera, ¡ojo! 
—Entiendo —dijo Adamsberg. 
—No puede usted hacerse una idea de todo lo que sé. Porque pi funciona con cualquier círculo. Lo dijo un griego en la antigüedad. Eran muy listos, los griegos. Tu reloj, ¿quieres saber la cicunferencia de tu reloj? ¿Te intriga? Tu vaso de vino, si quieres saber la circunferencia que te has bebido. La rueda de tu carro, la circunferencia de tu cabeza, del sello del ayuntamiento, del agujero en la suela de tus zapatos, del centro de la margarita silvestre, del culo de la botella, de la moneda de cinco... El mundo está hecho de círculos. ¿Lo había pensado alguna vez? Pues yo, Pi, los conozco todos. Pregúnteme, si no me cree. 
—¿La margarita silvestre? 
—¿Con los pétalos o sólo lo amarillo? 
—El corazón.
—Doce milímetros con veinticuatro. Estamos hablando de una margarita silvestre bastante grande. 
Pi hizo una pausa para dar tiempo a que la información fuera apreciada en su justo valor. 
—Sí, señor —prosiguió asintiendo—, es mi destino. ¿Y cuál es el círculo más grande, el círculo máximo? 
—El de la circunferencia de la Tierra. 
—Así es. Veo que me escucha. Y nadie puede saber la circunferencia de la Tierra sin pasar por Pi. Ése es el truco. Así fue como acabé siendo la clave del mundo. ¿Y para qué me ha servido?, se preguntará usted.
—No estaría mal que resolvieras el caso como resuelves los círculos. 
—No me gusta el diámetro de esa mujer. 
—Eso ya lo había entendido. 
—¿Cómo se llama ella? 
—Nada de nombres. Prohibido. 
—¿Ah, sí? ¿También ella ha perdido el nombre? 
—Sí —dijo Adamsberg sonriendo—. No le queda ni el principio. 
—Bueno, pues entonces vamos a darle un número, como a mí. Será más caritativo que llamarla «la mujer». Vamos a llamarla «4.21».

Naturalmente en la novela acaban resolviendo el asesinato de 4.21 como puede ver cualquiera que quiera acercarse al libro. Y en ese sentido el testigo es útil. Pero no podemos evitar un último comentario para aclarar algo en lo que nuestro amable Pi se equivoca. Dice "Y nadie puede saber la circunferencia de la tierra sin pasar por Pi". En realidad el primer sistema que se concibió para calcular la longitud de la circunferencia terrestre no pasó por el número π. Este cálculo, que fue realizado por el matemático griego Erastótenes a finales del siglo III antes de Cristo (y con una precisión sorprendente para la época) tenía como objetivo decidir qué parte del circulo de la tierra correspondía a la distancia entre Alejandría y Siena (hoy Asuan). Tras calcular, utilizando los rayos solares, que ese fragmento correspondía a 7'2 grados de los 360 que tiene la circunferencia solo había que multiplicar por 50 la distancia entre Alejandría y Siena (ya que 50 por 7'2 nos da 360) para obtener la longitud buscada. Soy consciente de que la explicación es un poco escueta, pero es que yo sólo lo comento de pasada y en realidad ya estoy acabando la entrada y pensando en las vacaciones de las que no hago más que hablar. Aquí la universidad de Cantabria nos ofrece algún gráfico y alguna explicación del método y si queréis más detalles todavía aquí tenéis una explicación más larga. En cualquiera de ellas se ve que son cálculos hechos sin el número π. Y es que es más fácil calcular el perímetro de la tierra que su diámetro (para multiplicarlo luego por π), al menos para los bichos que correteamos sobre su superficie.

jueves, 11 de junio de 2015

( 179 ) Las matemáticas y el ajedrez 2

El problema del caballo
Como ya os advertimos en la anterior entrada de ajedrez, en esta  resolveremos el problema
del caballo, el cual os recordamos:

Problema del caballo. Recorrer con el caballo todas las casillas del tablero de ajedrez pasando por cada una de ellas solo una vez.


Para una primera solución daremos el Método de Munk y Collini (Cossino Collini  fue secretario del célebre filósofo Voltaire):

Primer paso
Segundo paso
Este consiste en dividir el tablero en dos partes: una interior de 16 casillas y una exterior de forma de marco de 48 casillas. En las casillas del cuadrado interior escribimos las letras A, B, C, D (mayúsculas) de modo que cada una de ellas se repita cuatro veces y forme un cuadrado o un rombo por cuyos lados puede moverse el caballo. Escribamos las letras minúsculas a, b, c, d en las casillas del marco exterior de modo que los movimientos del caballo por cada una de ellas formen polígonos cerrados que borden el cuadrado central. El caballo comienza su recorrido en cualquiera de las casillas del marco, pasa por las casillas de las letra elegida, por ejemplo la a, y las recorre en 11 movimientos(la última casilla no debe ser una esquina). Seguidamente, el caballo pasa al cuadro interior, pero no a la misma letra en que empezó, en nuestro caso la A no valdría, sino a cualquier otra letra. Después de recorrer todas las casillas del cuadrado interior marcadas con esa letra, el caballo regresa al marco a una letra en la que aun no ha estado y recorre todas las casillas del marco que contiene a esa letra. Debe proceder de manera análoga con las demás letras.


Una posible forma: a,C,d,A,b,D,c,B

Como se puede apreciar este método no es ni difícil de entender ni de reproducir. Ademas esta idea da pie a este otro Método de Polignac y Roget, mas simple que el anterior:

Recorrido del
caballo por las A
Organización de las letras
Con una cruz trazada por el centro del tablero lo dividimos en cuatro cuadrados iguales. Escribimos en cada uno de ellos las letras A, B, C, D del mismo modo que se hizo en el cuadrado interior del método previo. El caballo comienza su movimiento en cualquier letra, recorre todos los escaque del cuadrado elegido que contiene esa letra y pasa a la misma letra del cuadro siguiente y vuelve a recorrer todas las letras y así sucesivamente. Después de pasar por las 16 casillas de la letra elegida, el caballo cambia de letra y nuevamente se recorren sus 16 casillas correspondientes. Después de repetir cuatro veces esta operación todas las casillas habrán sido visitadas(como en el caso anterior, el recorrido de una letra no debe terminar en una esquina).

Como habéis visto no es difícil recorrer todas las casillas con el caballo con un método pues sin un algoritmo previo seguramente no salga a la primera, y si no intentarlo. Aparte de estos dos métodos hay muchos mas, como por ejemplo el de Euler-Valdermonde, el de Warnsdorff... 
Estos son igualmente validos aunque su explicación es un poco mas liosa. Para el lector que quiera experimentar por si mismo, o practicar estos métodos, os dejamos un enlace con el que jugando se adquiera mucha fluidez con el movimiento del caballo.


A modo informativo exponemos brevemente el otro problema mas famoso del ajedrez, el problema de las ocho damas (además aquí podéis ver un poco de la idea de la resolución). Este problema esta expuesto en casi todos los libros de matemática recreativa. Dicta así:

Problema de las 8 Damas:¿De cuantos modos diferentes se pueden colocar 8 damas en el tablero de modo que no se amenacen unas a otras?

Es claro que para que dos damas no se amenacen entre si no deben estar en una misma vertical,
Una posible solución
horizontal o diagonal.
Desde luego, es una terminología aceptada que dos piezas con el mismo nombre se amenazan si las piezas están conectadas entre si por el movimiento de ellas.

Si bien el problema del caballo atrajo la atención de Leonhard Euler, a mediados del siglo XIX el problema de las ocho damas fue objeto de estudio de Carl Gauss.

Evidentemente en el tablero es imposible de colocar mas de 8 damas sin que se amenacen( si se colocan mas de 8 damas, al menos en una columna o en una fila habrá más de una).

Hallar una u otra solución no es complicado. Mucho mas difícil es calcular el número total de soluciones que es lo que pide propiamente el problema. El problema fue planteado en 1848 por el ajedrecista Max Bezzel. Dos años después el doctor Franz Nauck hallo 60 soluciones y las publico en el periódico Illustrierte Zeitung. Sólo después el problema llamo la atención a Gauss, quien hallo 72 soluciones. El conjunto completo de soluciones, formado por 92 disposiciones distintas de las 8 damas, de las cuales solo 12 son esencialmente distintas, fue hallado

Las 12 soluciones esenciales


por Nauck y publicado por él en el mismo periódico el 21 de septiembre de 1850. Esta es la cronología de los hechos según el investigador matemático Wilhelm Ahrens.
La demostración rigurosa de que estas 92 disposiciones son las únicas posibles fue obtenida en 1874 por el matemático ingles Jamaes Glaisher (utilizando la teoría de los determinantes).Se conocen muchos métodos para la búsqueda eficaz  de las disposiciones de las damas (De la Nog, Glaisher, Laquière y otros).

Por último, os dejamos, para terminar la entrada, un par de enlaces que se salen un poco del tema:

El primero, un enlace a un blog-revista bastante interesante (de hecho ya hemos citado una entrada de ese blog cuando nosotros hablamos del Ministerio del tiempo) porque tiene bastantes artículos que mencionan el ajedrez, y desde diferentes puntos de vista:

 http://www.jotdown.es/category/ciencias/chess/

Y en segundo lugar un enlace que habla de otro juego distinto: el Hex. Que no es que tenga mucho que ver con el ajedrez (aparte de que en ingles el nombre de los dos tiene una sola silaba con una e) pero que, como se ve en el enlace que ponemos, es el juego matemático perfecto en opinión de alguien que sabía matemáticas (de alguien que tenía "Una mente maravillosa" como ya comentamos en este blog). Alguien que ha sido noticia recientemente, primero por motivos alegres, ya que  le han concedido (compartido con Louis Nirenberg) el muy importante Premio Abel, y después por motivos mucho más tristes, ya que ha fallecido en un accidente. Vaya, con la excusa de este juego, nuestro recuerdo y nuestro homenaje para John Forbes Nash.



Información sacada de: Matematica en el tablero de ajedrez, de Yevgueni Yàkovlievich Guik