(863) - La Identidad de Euler con cuaterniones

Creo que todo el mundo es familiar con la idendidad de Euler en algunas de sus formas: $$ e^{\pi\mathrm{í}}+1=0 \qquad e^{\mathrm{í}\theta}=\cos\theta + \mathrm{í}\sin\theta \qquad e^z = e^{\Re(z)}\Big(\cos\big(\Im(z)\big)+\mathrm{í}\sin\big(\Im(z)\big)\Big) $$ Hace poco encontré cómo expresarla para cuaterniones. Los cuateriones se deben a Sir William Rowan Hamilton ($1805-1865$), también el padre de la mecánica hamiltoniana. Los orígenes de los cuaterniones y su evolución al álgebra y cálculo vectorial se contará en otro momento. Veamos cómo los podemos expresar. $$ q\in\mathbb{H} \qquad q = a + b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k} \qquad (a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4$$ Además satisfacen la curiosa relación multiplicatica (al ser no conmutativos) $$ \mathrm{íj} = -\mathrm{jí} = \mathrm{k} \qquad \mathrm{ík} = -\mathrm{kí} = -\mathrm{j} \qquad \mathrm{jk} = -\mathrm{kj} = \mathrm{í} $$ Donde $$ \mathrm{í}^2 = \mathrm{j}^2 = \mathrm{k}^2 = -1 $$ Ahora si definimos lo siguiente se tiene que: $$ \beta = \sqrt{b^2+c^2+d^2\;} \qquad \textbf{i} = \frac{b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}}{\beta} = \frac{b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}}{\sqrt{b^2+c^2+d^2\;}} \implies q = a + \beta\,\textbf{i} $$ Donde $\textbf{i}$ funciona como si fuese la $\mathrm{í}\in\mathbb{C}$ , es decir, $\textbf{i}^2=-1$ . Entonces se tiene: $$ e^q = e^{a+\beta\,\textbf{i}} = e^a (\cos\beta + \textbf{i}\sin\beta) = e^a \left(\cos\sqrt{b^2+c^2+d^2\;} + \frac{b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}}{\sqrt{b^2+c^2+d^2\;}}\sin\sqrt{b^2+c^2+d^2\;}\right)$$ Sin embargo, dado $q = a + b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}$ Hamilton llamaba $a$ la parte escalar y el resto como la parte vectorial (de ahí el nombre y orgien que ya veremos). Por lo que puede ser útil reescribir como: $$ q = a + \vec{B}\cdot\vec{\imath} \qquad \vec{B} = \Im(q) = (b,c,d)\in\mathbb{R}^3 \qquad \vec{\imath} = (\mathrm{í},\mathrm{j},\mathrm{k}) \qquad (\vec{B}\cdot\vec{\imath})^2 = B^2 \imath^2 = - B^2 $$ Simplemente ahora se tiene que: $$ e^q = e^{a+\vec{B}\cdot\vec{\imath}} = e^a \left(\cos B + \frac{\vec{B}\cdot\vec{\imath}}{B}\sin B\right)$$ Estas identidades nos permiten escribir algunas curiosas: $$ \mathrm{í}^\mathrm{í} = \mathrm{j}^\mathrm{j} = \mathrm{k}^\mathrm{k} = e^{-\frac{\pi}{2}} \qquad \mathrm{í}^\mathrm{j} = \mathrm{k} $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(859) - Tuberculosis y el taxi 1729

Cada vez que leo algo del aclamado Srinivasa Ramanujan y de su colaboración con Hardy y con Littlewood, en especial en su cita todo entero positivo era uno de sus amigos personales, me veo más abrumado por su genialidad.

Simplemente no hay otra palabra parecida que se le acerque. Ha habido (y habrá muchos más) matemáticos, físicos, químicos, ingenieros... cuyas mentes funcionan a un nivel muy superior al del resto y cuyo pensamiento inquisitivo se hacen preguntas que nos llevan allende los límites de nuestro propio conocimiento. Sin embargo, Ramanujan era todo un caso aparte y asombroso en sí. Cuando decían que los números eran sus amigos íntimos, era cierto. Ramanujan escribió a Hardy y este le invitó a Cambridge en $1914$ . Para cuando llegó, Hardy ya tenía una recopilación de unos $120$ teoremas de Ramanujan, algunos de los cuales no se conocían. La increíble mente de este matemático indio siempre me asombró.
Veamos algunos ejemplos: $$ \frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2\;}}{99^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!}{n!^4} \frac{26390n+1103}{396^{4n}} $$ Una acotación para la función factorial: $$ \sqrt[6]{8x^3+4x^2+x+\frac{1}{100}\;} \leqslant \frac{x!}{\displaystyle \sqrt{\pi\;}\left(\frac{x}{e}\right)^x} \leqslant \sqrt[6]{8x^3+4x^2+x+\frac{1}{30}\;} \qquad x\geqslant 1 $$ Un comportamiento de la función partición: $$ p(n) \sim_\infty \frac{1}{4n\sqrt{3\;}} e^{\displaystyle \pi \sqrt{\frac{2n}{3}\;} } $$ La constante de Ramanujan–Soldner, que se define tal que: $$ \mu\in\mathbb{R} / \int_0^\mu \frac{1}{\ln t}\;\mathrm{d}t=0 $$ La precisión de estas fórmulas, como tantas otras de Ramnujan son meramente soprendentes. Pedimos al lector que investigue al tema o si quiere pasar una tarde amena, que vea alguna de las películas sobre su vida.
Sin embargo, el joven Ramanujan murió de tubercolisis a los $32$ años de vida en $1920$ . El año anterior, cuando Hardy le fue a visitar comentó que la matrícula del taxi que había cogido era un número bastante aburrido, el $1729$ , a lo que este le respondió que era el menor número que se podía poner como suma de dos cubos positivos de dos maneras distintas, es decir: $$ 1729= 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.