(823) - La fórmula para encontrar pareja con ejemplo. Pregunta de Fermi y Ecuación de Drake

¿Cuántos afinadores de piano hay en Chicago? es conocida como la pregunta de Fermi y fue un tema del que hablar en círculos matemáticos del siglo XX. Lo que se buscaba no era ir al censo y averiguarlo, sino dar una estimación estadística. Se empezaba tomando la población de Chicago, y se multiplicaba por una factor de cuántas personas vivían por casa, otro de cada cuántas casas había un piano, cuántas veces se afinarían por año, cuánto tiempo llevaría afinar un piano, y por último, por un factor de cuántas horas trabaja al año.
La estimación que hizo Fermi era de $225$ afinadores en $9.000.000$ de habitantes, y aunque depende mucho de los supuestos, se intuye que los errrores cometidos en unos se van amortiguando son otros.

Cuando Fermi propuso que por qué no habíamos visto rastros de civilizaciones inteligentes en el espacio exterior, Drake usó el mismo razonamiento para llegar a su famosa ecuación: $$ N = R^\star \cdot f_p \cdot n_e \cdot f_1 \cdot f_i \cdot f_c \cdot L$$

• $N$ es el número de civilizaciones que podrían comunicarse en la Vía Láctea.
• $R^\star$ es el ritmo anual de formación de estrellas en la galaxia.
• $f_p$ es la fracción de estrellas que tienen planetas orbitando.
• $n_e$ es el número de planetas en la zona de habitabilidad.
• $f_1$ es la fracción de esos planetas donde hay vida.
• $f_i$ es la fracción de esos planetas donde hay vida inteligente.
• $f_c$ es la fracción de esos planetas donde hay vida que ha desarrolado tecnologías e intenta comunicarse.
• $L$ es el lapso (en años) en el que dicha civilización inteligente exista.

Sin embargo, hace poco esta fórmula también se ha usado para estimar el número de medias naranjas: Se empieza tomando la población total del municipio/pueblo/ciudad... (según lo amplia de la búsqueda), y se van multiplicando por sucesivos factores que perfilan la búsqueda (qué fracción es del sexo al que nos sentimos atraídos, está soltera, en un rango de edad de nuestro gusto,...).
Estos parámetros pueden variar mucho según cómo afinemos la búsqueda, si queremos que tenga alguna afición en específico, y también, como ya se ha mencionado antes, de nuestros sesgos a la hora de evaluar la realidad. Hay un artículo sobre esto que lo utilizó un matemático para estimar su probabilida de encontrar pareja, pero, oh sorpresa, se acabó casando con alguien que no estaba dentro de la descripción que hizo.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(821) - Ley de Adán y Ley de Eva

Hoy vamos a explicar el porqué de estas dos fórmulas y su significado estadístico. Empecemos con la que dió nombre a todo esto. La ley de Eva, también llamada la Ley de la varianza total o de descomposición de la varianza. $$ \operatorname{var}(X) = \operatorname{E}\!\big(\operatorname{var}(X | Y)\big) + \operatorname{var}\!\big(\operatorname{E}(X | Y)\big) $$ Aunque también se suele expresar, para dejarlo más claro: $$ \operatorname{var}_X(X) = \operatorname{E}_Y\!\big(\operatorname{var}_X(X | Y)\big) + \operatorname{var}_Y\!\big(\operatorname{E}_X(X | Y)\big) $$ De aquí se puede ver el porqué del nombre de la ley de Eva (Eve's Law en inglés), ya que está la regla mnemotécnica EV-VE. Lo que dice esta fórmula es que dadas dos variable aleatorias $X,Y$ , la varianza de $X$ , $\operatorname{var}_X(X)$ , se puede escribir como la suma de las varianzas inexplicada y explicada:

1. La varianza inexplicada es la esperanza en $Y$ de la varianza en $X$ del suceso que ocurra $X$ condicionado $Y$ , es decir, $\operatorname{E}_Y\!\big(\operatorname{var}_X(X | Y)\big)$. También se puede ver como el valor esperado de la varianza del proceso.
2. La varianza explicada es la varianza en $Y$ de la esperanza en $X$ del suceso que ocurra $X$ condicionado $Y$ , es decir, $\operatorname{var}_Y\!\big(\operatorname{E}_X(X | Y)\big)$. También se puede ver como la varianza de la "media hipotética".

Mientras tanto, la Ley de Adán, o la ley de la esperanza total, dice que $$ \operatorname{E}(X) = \operatorname{E}\!\big(\operatorname{E}(X|Y)\big)$$ Una vez más la Ley de Adán es un juego de palabras: si la ley de Eva es la lay de la varianza total, la ley de Adán lo es de la esperanza total. Aunque también se suele expresar, para dejarlo más claro: $$ \operatorname{E}_X(X) = \operatorname{E}_Y\!\big(\operatorname{E}_X(X|Y)\big)$$ Lo que dice esta fórmula es que dadas dos variable aleatorias $X,Y$ , la esperanza de $X$ , $\operatorname{E}_X(X)$ se puede escribir como la esperanza en $Y$ de la esperanza en $X$ del suceso que ocurra $X$ condicionado $Y$, $\operatorname{E}_Y\!\big(\operatorname{E}_X(X|Y)\big)$ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.