(797) - Sobre el número π (pi)

Hoy \textit{no} es el día del número Pi. Pero me la refanfinfla. uwu $\pi \approx 3.14$ se puede definir de muchos modos. El más geométrico, consiste en decir que $\pi$ es el ratio de proporcionalidad entre el diámetro de una circunferencia y su perímetro. Pero yo prefiero definirlo de otra forma. Sea $\exp$ la única solución (holomorfa) de la siguiente ecuación diferencial: \[ \begin{cases} f \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}\\ f'(z)=z,\\ f(0)=1, \end{cases} \] Entonces, \[ \pi=-2\text{í} \min \{\ |z|\ \colon z\in\mathbb{C}\setminus\{0\},\ \exp(z) = 0 \} \] En la misma vena, la función $\operatorname{arc\,tg}$ permite definir $\pi$ como suma de una serie (la serie de Madhava-Gregory-Leibniz): \[ \pi=4 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = 4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\ldots \] Esta serie converge bastante lento, lo cuál queda en evidencia por el lento decrecimiento del valor absoluto de sus sumandos. Converge más rápido esta otra: \[ \pi= 2\sum_{k=0}^\infty \frac{2^kk!^2}{(2k+1)!} = 2+\frac{2}{3}+\frac{4}{15}+\ldots \] La derivación de esta fórmula aparece en este enlace. Dejamos al lector la tarea de probar que esta serie converge estrictamente más rápido que la anterior (se debe precisar que es ``estrictamente más rápido'' y utilizar la fórmula de Stirling para probarlo). Comentar también que es una lectura muy interesante para cualquiera interesado en la aproximación computacional de $\pi$. owo Terminamos esta muy breve entrada con una conocida pero igualmente genial anécdota: en 1897, el Congreso del Estado de Indiana, EEUU votó unánimamente a favor de declarar por ley que: ``$\pi$ tiene dos valores: $3,2$ y $4$ '' Por suerte, el Senado del Estado de Indiana tumbó semejante estupidez. Para la historia completa, míralo aquí.

(787) - Sobre el número e

El lector conocerá la definición de número irracional: \[ i \in \mathbb{R}\text{ es irracional } \Leftrightarrow \nexists p,q \in \mathbb{Z}\text{ tal que }i=\frac{p}{q}. \] Es trivial probar que $\sqrt{2}$ es irracional (de ahí su estatus de ejemplo estándar). Pero cuando nos salimos de los números algebraicos, la cosa ya no es tan sencilla. \phantom{meter un espacio así} Aquí nos fijaremos en el número $e$. Recordemos que \[ e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots \approx 2,718. \] Supongamos que $e$ fuera racional, $e=p/q$ donde $p$ y $q$ no comparten factores primos. Llamemos $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ a las sumas parciales. Se pueden dar dos casos:

• que $e=S_n$ para cierto $n$.
• que $e \neq S_n$ para ningún $n$.

El primer caso es obvio que no va a ser. Para estudiar el segundo caso, \mbox{consideremos} el resto $e-S_n$: \begin{align*} e-\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} &= \frac{1}{(n+1)!}\left( 1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)}+\ldots \right)\\ &\leqslant \frac{1}{(n+1)!}\left( 1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)^2}+\ldots \right)\\ &\leqslant \frac{1}{(n+1)!}\left( 1 + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}+\ldots \right) = (\#) \end{align*} Ahora bien, $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\ldots\right)$ es una serie geométrica. Por tanto \[ (\#)=\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{(n+1)!}\frac{n+1}{n}=\frac{1}{n}\frac{1}{n!}. \] Si $e$ fuera racional, entonces $r=e-S_n$ también sería racional. Pero la cuenta anterior nos dice que \[ e-S_n \leqslant \frac{1}{n}\frac{1}{n!} \xrightarrow[\substack{n\to\infty}]{} 0, \] lo que implica que $r=0$, absurdo. está mal hecho, pero son las 5 de la mañana
Probar que $e$ es trascendente (es decir, no algebraico) es poco trivial (enlace). Un poco más fácil es probar que $\pi$ es irracional (enlace). Por último, probar que $\pi$ es trascendente es aún más interesante (léase, complicado).