En las últimas
entradas no he usado una terminología muy estricta: ya hemos visto qué es una
derivada, y qué es una integral (en ambos casos a grandes rasgos). Derivadas
e integrales son dos operadores inversos entre sí. Ahora bien, se define operador
diferintegral como la combinación del operador diferencial e integral.
El operador
diferintegral es un operador lineal, es decir, la diferintegral de la suma de
unos escalares por sendas funciones es la suma de los escalares por sendas
diferintegrales aplicadas a dichas funciones.
Se puede
definir un endomorfismo entre el conjunto de funciones diferintegrales.
Ahora vamos a
responder a la pregunta que nos incumbe. Todo estudiante de matemáticas sabrá lo
fácil de encontrar la fórmula recursiva tras n derivadas para
polinomios, y para seno, coseno, y exponencial de funciones afines. Dicha
fórmula se puede generalizar para un n no natural, y luego para un n
no entero. Entonces, ¿qué significa la n-ésima diferintegral para un
n no entero?
Considerémoslo
para n = ½ , la media derivada.
La ½-ésima-derivada
no es la mitad de la derivada, sino una nueva función asociada a la
función original cuya ½-ésima-derivada es la I-derivada. Aplicar el operador +½-ésima-diferintegral
dos veces consecutivas da como resultado la I-derivada.
Si la
I-derivada indicaba la monotonía, y la II-derivada, la curvatura. ¿Qué
información proporciona la α-ésima derivada? Esa es una pregunta que no
consigo resolver, pero sí que he averiguado lo siguiente:
Si la +α-ésima
diferintegral da una determinada cualidad o propiedad (del tipo monotonía o
curvatura por ejemplo) respecto a la función original, la función original dice
también dicha propiedad respecto a la (0–α)-ésima diferintegral,
la +I-diferintegral dice también dicha propiedad respecto a la (1–α)-ésima
diferintegral, …
¿Para qué son útiles
las ½-ésima-derivadas, o las ½-ésima-integrales? Por ejemplo, deducir el tiempo que tarda un
objeto en la braquistócrona (el problema de la tautócrona), se reduce a
resolver una ½-ésima-integral, tras haber calculado antes una ½-ésima-derivada.
Nótese que no
solo se puede definir la ½-ésima-derivada, sino para cualquier número racional,
real, y complejo incluso. Por ejemplo, se puede hallar la π-ésima-derivada
de xπ, que da π!= Γ(π+1). Aun si se toma í:= √–1 ,
se puede hasta definir el operador í-diferintegral tal que tras
aplicarlo –í veces da la integral
de la función original.
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| p-ésima derivada de 1/2 x^2 con 0<p<2 . |
Esta entrega ha
sido bastante dura de leer, y de comprender, y recomiendo al lector haberse
leído las dos anteriores para intentar apreciar la belleza, y rareza, de una de las cosas más comunes en matemáticas, pero que pasan muy desapercibidas.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
