(547) - Diferintegral. Media derivada. (3/3)

En las últimas entradas no he usado una terminología muy estricta: ya hemos visto qué es una derivada, y qué es una integral (en ambos casos a grandes rasgos). Derivadas e integrales son dos operadores inversos entre sí. Ahora bien, se define operador diferintegral como la combinación del operador diferencial e integral.

El operador diferintegral es un operador lineal, es decir, la diferintegral de la suma de unos escalares por sendas funciones es la suma de los escalares por sendas diferintegrales aplicadas a dichas funciones.

Se puede definir un endomorfismo entre el conjunto de funciones diferintegrales.

Ahora vamos a responder a la pregunta que nos incumbe. Todo estudiante de matemáticas sabrá lo fácil de encontrar la fórmula recursiva tras n derivadas para polinomios, y para seno, coseno, y exponencial de funciones afines. Dicha fórmula se puede generalizar para un n no natural, y luego para un n no entero. Entonces, ¿qué significa la n-ésima diferintegral para un n no entero?

Considerémoslo para n = ½ , la media derivada.

La ½-ésima-derivada no es la mitad de la derivada, sino una nueva función asociada a la función original cuya ½-ésima-derivada es la I-derivada. Aplicar el operador +½-ésima-diferintegral dos veces consecutivas da como resultado la I-derivada.

Si la I-derivada indicaba la monotonía, y la II-derivada, la curvatura. ¿Qué información proporciona la α-ésima derivada? Esa es una pregunta que no consigo resolver, pero sí que he averiguado lo siguiente:

Si la +α-ésima diferintegral da una determinada cualidad o propiedad (del tipo monotonía o curvatura por ejemplo) respecto a la función original, la función original dice también dicha propiedad respecto a la (0–α)-ésima diferintegral, la +I-diferintegral dice también dicha propiedad respecto a la (1–α)-ésima diferintegral, …

¿Para qué son útiles las ½-ésima-derivadas, o las ½-ésima-integrales? Por ejemplo, deducir el tiempo que tarda un objeto en la braquistócrona (el problema de la tautócrona), se reduce a resolver una ½-ésima-integral, tras haber calculado antes una ½-ésima-derivada.

Nótese que no solo se puede definir la ½-ésima-derivada, sino para cualquier número racional, real, y complejo incluso. Por ejemplo, se puede hallar la π-ésima-derivada de x^π, que da π!= Γ(π+1). Aun si se toma í:= √–1 , se puede hasta definir el operador í-diferintegral tal que tras aplicarlo  –í veces da la integral de la función original.

p-ésima derivada de 1/2 x^2 con 0<p<2 .

Esta entrega ha sido bastante dura de leer, y de comprender, y recomiendo al lector haberse leído las dos anteriores para intentar apreciar la belleza, y rareza, de una de las cosas más comunes en matemáticas, pero que pasan muy desapercibidas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.