(1201) - Problemas varios al derivar

• Si tenemos una fórmula explícita, podemos escribir utilizando cálculo simbólico una fórmula para la derivada. Para este caso no hace falta que la función original sea cerrada pues se puede dar como un sumatorio, como una serie, etc. Así se tiene una fórmula conocida para la derivada y se puede ver fácilmente cómo se compara dicha fórmula con la función original.



• Supongamos en cambio que no tenemos una fórmula cerrado, o no para la función original, pero que dado cualquier argumento que le demos (input) nos dice cuánto es la función evaluada en dicho punto (output). Aquí podemos usar el límite de la definición de derivada para poder aproximar numéricamente la derivada en cada punto. A su vez podemos calcular la derivada una vez más donde dado un argumento nos dice cuánto vale en dicho punto. Sin embargo, como tomar el límite muchas veces solo se puede hacer desde un punto de vista simbólico, y no desde un punto de vista numérico, a la hora del cómputo lo que se suele hacer es tomar la función de evaluada de manera inteligente en ciertos nodos tal que con diferencias divididas se puede aproximar la derivada con una de precisión arbitrariamente alta.



• Sin embargo, muchas veces se tiene que la función está tabulada, o sea, solo sabemos los outputs en terminados inputs, es decir, solo sabemos el valor de la ordenada para ciertas abscisas. Este es un caso muy diferente al anterior ya que si bien en el caso anterior aunque no tuviéramos una fórmula explícita y no pudiéramos sacar una fórmula ni para la función original ni para la derivada, sí que mediante la evaluación de la función y los puntos podíamos acercarnos al valor numérico de la derivada con la precisión quisiéramos. Aquí en cambio la función solo está tabulada para ciertos valores y uno se tiene que apañar con esos valores tabulados de tal forma que la derivada no se va a poder calcular con precisión arbitraria, pues la precisión de la derivada dependerá del número de cifras significativas que tenga y la longitud del intervalo.
  
  Algunos manuales de análisis numérico lo que sugieren para calcular la derivada en un punto es estimar la derivada en los puntos tabulados e interpolar entre dichos puntos al valor que se quiere. Otros sugieren que a través de los puntos de la tabla construir un polinomio interpolador, derivarlo y evaluar la derivada en dicho punto. El problema este último razonamiento es que el polinomio interpolador cuando se van añadiendo más puntos tiene el problema del fenómeno de Runge (donde hay muchas oscilaciones en torno a los extremos del intervalo). Aun así, incluso si se coge o incluso si los datos están tabulados en los nodos del Chebyshev (de tal forma que el fenómeno de Runge no ocurra y se minimice la norma infinito de error, que es la función menos el polinomio interpolador), el teorema de aproximación polinómica de Weierstrass nos asegura solo la convergencia de los polinomios a una función continua, no necesariamente derivable. De hecho, hay bastantes ejemplos de sucesiones de polinomios (todos ellos infinitamente derivables), cuyo límite es una función continua, pero no-derivable.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(769) - Expresiones para soluciones de ecuaciones diferenciales. ¿Existen o se crean?

Poco antes de verano estaba con un amigo del doble grado y redactor de este blog hablando de ecuaciones diferenciales y salieron dos ejemplos en particular: la del péndulo realista, $y^{\prime\prime}+\beta\,y^\prime+{\omega_0}^2\sin(y)=0$ (con amortiguamiento/fricción y sin aproximaciones de ángulo pequeño), y el sistema de Lotka-Volterra: $\displaystyle \begin{cases} x^\prime & = & x(\alpha-\beta y) \\ y^\prime & = & -y(\gamma-\delta x) \end{cases}$ . Él me preguntó que si acaso tenían solución, y yo le dije que sí, que se podían construir. Él realmente no me inquirió en si eran resolubles (ya fueren analítica o numéricamente), sino si existía alguna función conocida, que pudiese ser composición y/o combinación de otras funciones elementales o no (por ejemplo) tal que fuese solución suya, es decir, si se podía expresar su solución en términos de funciones conocidas. Él se quejó de mi respuesta, a lo que yo le dije que realmente eso poco importaba a la hora de resolver ecuaciones diferenciales y al estudiarlas. A veces la propia solución puede ser tan engorrosa analíticamente que es reconfortante pensar que siempre nos quedará el cálculo numérico...

Por ejemplo, tomemos la función error gaussiano, una función no-elemental, que se define como: $\displaystyle \operatorname{erf}(x)\overset{\text{def}}{=}\frac{2}{\sqrt{\pi\;}}\int_0^x e^{-t^2}\;\text{d}t$ . Resolvamos la ecuación diferencial ordinaria de I orden $y^\prime = e^{-x^2}$ . Ahora bien, ¿la solución de esta ecuación diferencial es debida a dicha definición anterior, tal que $\displaystyle y\triangleq\frac{\sqrt{\pi\;}}{2}\operatorname{erf}(x)+y_0$ , o bien la definición anterior se dio para que satisficiere la ecuación diferencial $y^\prime = e^{-x^2}$ ?, es decir, ¿qué vino antes: la definición (y después la ecuación diferencial que resulta ser que la tiene como solución salvo constantes) o la ecuación diferencial (y la definición se dio posteriormente como su solución a este problema)?

Sin la definición de $\operatorname{erf}(x)$, el problema es irresoluble analíticamente, pero con dicha definición es trivial, ya que la propia definición es la solución. Es como si hubiésemos definido que esta función sea su solución. Es equivalente a construir la solución, y darla como definición, por lo que el problema ya está resuelto.

Esto puede parecer una tontería, o un poco enrevesado, pero si se quiere resolver $y^\prime = 3x^2$ , que tiene como solución $y=x^3+y_0$ , no se requiere de ninguna definición previa que no esté contemplada ya.

Uno siempre puede decir: Sea $y\overset{\text{def}}{=}\theta(t)=\theta(t|\beta,\omega_0;y_0,{y_0}^\prime)$ la solución a la ecuación diferencial $y^{\prime\prime}+\beta\,y^\prime+{\omega_0}^2\sin(y)=0$ en la variable $t$ donde $\beta,\omega_0\geqslant 0$ son parámetros que dependen de la ecuación diferencial, con $y_0,{y_0}^\prime$ como condiciones iniciales (hay soluciones analíticas si se linealiza o si al menos uno de los parámetros se anula, aunque con $\beta=0$ es enrevesada). Después mediante cálculo y análisis numéricos, con un conocimiento previo de ecuaciones diferenciales, uno puede estudiar la solución numéricamente, y a veces a lo sumo, hasta cierto punto analíticamente.

Otro ejemplo puede ser el oscilador de Van der Pol: $y^{\prime\prime}-\mu(1-y^2)y^\prime+{\omega_0}^2y=0$ (nótese que el caso $\mu=0$ es el oscilador armónico simple, por lo que sí tiene una solución analítica en este caso), otra vez ahí definir $y\overset{\text{def}}{=}\operatorname{vdp}(t)=\operatorname{vdp}(t|\mu,\omega_0;y_0,{y_0}^\prime)$ como una solución obtenida numéricamente y a partir de ella estudiar la solución "analítica".

Lo que estoy argumentando es equivalente a si un matemático en el $\text{siglo XVI-XVII}$, desconociendo tanto el número $e$ como las funciones exponencial $e^x$ y logaritmo $\ln(x)$ , decidiese analizar la ecuación diferencial ordinaria de primer orden $y^\prime=k\, y$ definiendo su solución como $y\overset{\text{def}}{=}\operatorname{sol}(t) = \operatorname{sol}(t|k;y_0)$ y estudiarla a partir de su solución construida. Hoy sabemos que tiene una forma cerrada, $y=y_0\, e^{k(t-t_0)}$ .

Uno puede incluso argumentar que estos ejemplos están sesgados y que no tienen validez, pero no es así, hay muchas ecuaciones diferenciales que no tienen necesariamente una solución analítica y para entenderlas es necesario su estudio con cálculo numérico y definir sus soluciones. En especial, en física, como dijo Steven Strogatz ($1959-$): "Desde Newton, la humanidad se ha dado cuenta que las leyes de la física siempre se expresan en la lengua de ecuaciones diferenciales." Veamos algunos ejemplos:

El sistema de $2$ ecuaciones diferenciales ordinarias de II orden que rigen el péndulo doble $$ \begin{cases} \ddot{\theta}_1 & = & \displaystyle \frac{-g (2m_1+m_2)\sin(\theta_1)-m_2g\sin(\theta_1-2\theta_2)-2\sin(\theta_1-\theta_2)m_2\big({\dot{\theta_2}}^2 l_2+{\dot{\theta_1}}^2 l_1\cos(\theta_1-\theta_2)\big)} {l_1\big(2m_1+m_2-m_2\cos(2\theta_1-2\theta_2)\big)} \\ \ddot{\theta}_2 & = & \displaystyle \frac{2 \sin(\theta_1-\theta_2) \big({\dot{\theta}_1}^2 l_1 (m_1 + m_2)+ g(m_1 + m_2) \cos(\theta_1) + {\dot{\theta}_2}^2 l_2 m_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)\big)} {l_2 \big(2 m_1 + m_2 - m_2 \cos(2 \theta_1 - 2 \theta_2)\big)} \end{cases} $$ El sistema de $2$ ecuaciones diferenciales ordinarias de II orden que rigen el péndulo elástico $$ \begin{cases} \ddot{r} & = & \displaystyle (r+l_0)\dot{\theta}^2 -\frac{k}{m}r + g\cos(\theta) \\ \ddot{\theta} & = & \displaystyle -\frac{g\sin(\theta)+2\dot{r}\dot{\theta}}{r+l_0} \end{cases} $$ La ecuación diferencial ordinaria de II orden que rige el péndulo esférico $$ \ddot{\theta}(t)- \left(\frac{p_\varphi}{ml^2}\right)^2\frac{\cos\big(\theta(t)\big)}{\sin^3\big(\theta(t)\big)}+\frac{g}{l}\sin\big(\theta(t)\big) = 0 $$ El sistema de $6$ ecuaciones diferenciales ordinarias de II orden que rigen el problema de los dos cuerpos $$ \begin{cases} \ddot{\vec{r}}_1 & = &\displaystyle Gm_2 \frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{{\|\vec{r}_2-\vec{r}_1\|_2}^3}\\ \ddot{\vec{r}}_2 & = &\displaystyle Gm_1 \frac{\vec{r}_1-\vec{r}_2}{{\|\vec{r}_1-\vec{r}_2\|_2}^3} \end{cases} \implies m_1\ddot{\vec{r}}_1 + m_2\ddot{\vec{r}}_2 = \vec{0} $$ El sistema de $3$ ecuaciones diferenciales ordinarias de I orden conocido como el atractor de Lorentz, un ejemplo famoso de la Teoría del Caos: $$ \begin{cases} \dot{x} & = & \sigma (y-x) \\ \dot{y} & = & x (\rho-z)-y \\ \dot{z} & = & xy-\beta z \end{cases} $$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(563) - Antilogaritmos, cologaritmos, ⁊ más...

En el día de hoy traemos una entrada un poco corta, algo ya mencionado en el artículo de la trigonometría olvidada. ¿Qué son los antilogaritmos, y cologaritmos?

Básicamente son dos funciones auxiliares para el cálculo de logaritmos definidas a partir de composición de funciones elementales con funciones estrictamente logarítmicas.

El antilogaritmo (antilogarithm) es una función cuya composición con la función logaritmo da la función original, es decir, es la función inversa al logaritmo: la exponencial.

Comparación antilogaritmo - logaritmo

El cologaritmo (cologarithm) es una función cuya suma con la función logaritmo da la función idénticamente nula, es decir, es menos la función logaritmo. 

Comparación cologaritmo - logaritmo

¿Se podrían definir anticologaritmo y coantilogartimo?

El anticologaritmo (anticologarithm) fuera la función inversa del opuesto del logaritmo, es decir, la exponencial con exponente cambiado de signo.

El coantilogartimo  (coantilogarithm) fuera el opuesto de la función inversa al logaritmo, es decir, menos la función exponencial.

Comparación coantilogaritmo - anticologaritmo

   Tabla de simetrías

	Logb	CoLogb	AntiLogb	CoAntiLogb	AntiCoLogb
Logb	(sí misma)	y = 0	y = +x
CoLogb	y = 0	(sí misma)		y = -x	y = +x
AntiLogb	y = +x		(sí misma)	y = 0	x = 0
CoAntiLogb		y = -x	y = 0	(sí misma)	y = -1/b x
AntiCoLogb		y = +x	x = 0	y = -1/b x	(sí misma)

Esta es una perla olvidada de las matemáticas dejada de lado  ya que ahora ya no es necesario recurrir a tablas para saber cuáles son los valores de logaritmos, y como las funciones verseno, vercoseno, coverseno, covercoseno, exsecante, y excosecante, ya nadie se acuerda de ellas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(557) - Diferintegral. Derivada fractal. (Epílogo)

En el día de hoy traemos una entrada que en un principio no estaba planificada: hemos hecho dos (sobre la derivada y la integral) para poder entender mejor la última (sobre la diferintegral y la derivada fraccionaria), pero investigando sobre el cálculo fraccional, descubrimos el cálculo fractal.

Debemos a Newton y Leibniz la invención del cálculo clásico a finales del siglo XVII y principios del XVIII. Sin embargo no ha sido hasta finales del siglo XIX cuando el cálculo no-newtoniano empezó a coger impulso (en especial el cálculo fraccionario),  y en particular hemos tenido que esperar hasta la década de 1970 para el cálculo fractal.

En el cálculo newtoniano los cocientes de incrementos siempre eran con un número entero de puntos, es decir, se comparaba un incremento entero de la función con otro incremento entero de la variable.

El cálculo fraccionario expandió esta idea a números racionales en un principio, y luego, aplicando el mismo método, a números irracionales y complejos-no-reales.

El cálculo fractal se propuso: ¿es necesario que los incrementos de la función sean del mismo orden que los de la variable?

¿Qué significa esto para las funciones más simples?

Ya habíamos visto que la derivada clásica de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de afines] eran a su vez polinomios de menor grado, sinusoides con desfase perpendicular, o exponenciales respectivamente.

A su vez habíamos visto que la derivada fraccional de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de afines] eran a su vez radicaciones, sinusoides con desfase oblicuo, o exponenciales respectivamente

Sin embargo, para el cálculo fractal la derivada fractal de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de afines] son el producto de una radicación por un polinomio [clásico] de menor grado, un polinomio trigonométrico del mismo grado pero con desfase, o exponenciales respectivamente.

A diferencia del cálculo fraccionario, el cálculo fractal mantiene la regla de la cadena de una forma muy directa, que relaciona la derivada fractal con la derivada clásica.

Aunque todo esto pueda parecer muy bonito en papel, pero sin ninguna aplicación real, el cálculo fractal es muy importante en ciertas ramas como en mecánica de fluidos donde acuíferos, medios porosos, o turbulencias presentan las propiedades fractales, que no siguen necesariamente una geometría euclídea.

El cálculo fractal es el que se tiene que usar en geometría no-euclídea, y sus aplicaciones, como el estudio del espacio-tiempo, donde las nociones tan simples como la velocidad tienen que ser redefinidas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(547) - Diferintegral. Media derivada. (3/3)

En las últimas entradas no he usado una terminología muy estricta: ya hemos visto qué es una derivada, y qué es una integral (en ambos casos a grandes rasgos). Derivadas e integrales son dos operadores inversos entre sí. Ahora bien, se define operador diferintegral como la combinación del operador diferencial e integral.

El operador diferintegral es un operador lineal, es decir, la diferintegral de la suma de unos escalares por sendas funciones es la suma de los escalares por sendas diferintegrales aplicadas a dichas funciones.

Se puede definir un endomorfismo entre el conjunto de funciones diferintegrales.

Ahora vamos a responder a la pregunta que nos incumbe. Todo estudiante de matemáticas sabrá lo fácil de encontrar la fórmula recursiva tras n derivadas para polinomios, y para seno, coseno, y exponencial de funciones afines. Dicha fórmula se puede generalizar para un n no natural, y luego para un n no entero. Entonces, ¿qué significa la n-ésima diferintegral para un n no entero?

Considerémoslo para n = ½ , la media derivada.

La ½-ésima-derivada no es la mitad de la derivada, sino una nueva función asociada a la función original cuya ½-ésima-derivada es la I-derivada. Aplicar el operador +½-ésima-diferintegral dos veces consecutivas da como resultado la I-derivada.

Si la I-derivada indicaba la monotonía, y la II-derivada, la curvatura. ¿Qué información proporciona la α-ésima derivada? Esa es una pregunta que no consigo resolver, pero sí que he averiguado lo siguiente:

Si la +α-ésima diferintegral da una determinada cualidad o propiedad (del tipo monotonía o curvatura por ejemplo) respecto a la función original, la función original dice también dicha propiedad respecto a la (0–α)-ésima diferintegral, la +I-diferintegral dice también dicha propiedad respecto a la (1–α)-ésima diferintegral, …

¿Para qué son útiles las ½-ésima-derivadas, o las ½-ésima-integrales? Por ejemplo, deducir el tiempo que tarda un objeto en la braquistócrona (el problema de la tautócrona), se reduce a resolver una ½-ésima-integral, tras haber calculado antes una ½-ésima-derivada.

Nótese que no solo se puede definir la ½-ésima-derivada, sino para cualquier número racional, real, y complejo incluso. Por ejemplo, se puede hallar la π-ésima-derivada de x^π, que da π!= Γ(π+1). Aun si se toma í:= √–1 , se puede hasta definir el operador í-diferintegral tal que tras aplicarlo  –í veces da la integral de la función original.

p-ésima derivada de 1/2 x^2 con 0<p<2 .

Esta entrega ha sido bastante dura de leer, y de comprender, y recomiendo al lector haberse leído las dos anteriores para intentar apreciar la belleza, y rareza, de una de las cosas más comunes en matemáticas, pero que pasan muy desapercibidas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(313) sympygamma

Os informo de una página WEB que puede ser interesante. Se trata de

http://www.sympygamma.com/

En ella podéis hacer ciertas operaciones básicas tipo MAPLE, aunque es un sistema distinto.
Os pongo un ejemplo:

Es intuitivo de manejar, incluso desde un teléfono móvil o tableta. ¡Anímense!

( 61 ) Un ejemplo on line y gratuito de cálculo simbólico

       Presentamos una página web donde se pueden hacer diversos cálculos simbólicos y matemáticos en linea. Se trata del sistema sympy.

http://www.sympygamma.com/

Logo de Sympy

Prueba a conectarte y a efectuar una integral-primitiva. Este sistema, además de calcular la integral de forma correcta, te explica pasito a pasito cómo se calcula.

Por otro lado, este software matemático puede ser descargado en tu ordenador, de forma gratuita, desde la página web

http://sympy.org/en/index.html

       No es un sistema tan poderoso como MAPLE, MATLAB ó MATHEMATICA, pero es gratis. Si bien, incluso hay sistemas gratuitos que considero mejores, por ejemplo el wxMaxima, que puede ser descargado desde

http://andrejv.github.io/wxmaxima/index.html

Es una colaboración de José Enrique Marcos  (y acorde con la austeridad de la colaboración dejaremos las exclamaciones de alegría por tener colaboradores y los alardes de gratitud para otro momento).