(1061) - EXTRA! Pistola de macarrones

Introducción

Puede que os suene que recientemente ha habido un "incidente" del campus, ya que por teléfono escacharrado ha acabado siendo poco menos que un tiroteo con fuga en helicóptero; acabó siendo nada, pero si nos ponemos serios ¿cómo de probable es que ocurriera de verdad algo así?

(Os adelanto que en España es prácticamente imposible, de hecho voy a usar datos de EE.UU. para que aún con esas, salga una probabilidad baja)

La Regresión de Poisson

La regresión de Poisson es un modelo estadístico diseñado para analizar eventos de baja frecuencia (como tiroteos) que ocurren en un periodo de tiempo en una zona particular. Este modelo es especialmente útil cuando el evento es raro y discreto (hay un número entero de ocurrencias), como es el caso de nuestro ejemplo.

En el modelo de regresión de Poisson, asumimos que el número de incidentes, denotado como \( Y \), sigue una distribución de Poisson, lo cual implica que la probabilidad de observar un cierto número de incidentes en un periodo de tiempo específico depende de una tasa de ocurrencia \( \lambda \), que a su vez depende de varios factores poblacionales. El modelo tiene la siguiente forma:

\[ Y \sim \text{Poisson}(\lambda) \]

\[ \log(\lambda) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_k X_k \]

donde:

• \( \lambda \) es la tasa esperada de eventos (incidentes armados) en un periodo o región específico.
• \( \beta_0 \) es el término constante o intercepto del modelo.
• \( X_i \) representa las variables que pueden influir en los incidentea (por ejemplo, el tamaño de la población, accesibilidad de las armas ...) .
• \( \beta_i \) son los coeficientes que determinan el impacto de cada variable en la tasa de incidentes.

Coeficientes

Como cada coeficiente \( \beta_i \) indica el cambio en el logaritmo de la tasa incidentes que ocurren  respecto a cómo varía  \( X_i \), podemos interpretar los efectos de \( \beta_i \) como sigue

• Si \( e^{\beta_i} > 1 \), la variable \( X_i \) aumenta la tasa de incidentes.
• Si \( e^{\beta_i} < 1 \), la variable \( X_i \) reduce la tasa de incidentes.

Nuestro caso:

En España desde 2021 han habido 17 incidentes armados en escuelas / institutos / universidades, aquí dejamos que cuenten casos mucho menos graves que un tiroteo (peleas fuertes, apuñalamientos...).  

Como en España el indice de tiroteos es ridículamente bajo, vamos a usar algunos datos de EE.UU. para inflar la probabilidad y que salga algo apreciable para "inicidentes escolares", de cualquier tipo.

Sabemos del modelo de EE.UU. que: 

\[\log(\text{Incidentes}) = \log(\text{población}) + \beta_0 + \beta_1 \cdot (\text{tasa posesión armas}) + \beta_2 \cdot (\text{tasa enfermedad mental grave}) + \beta_3 \cdot (\text{índice pobreza})\]

Y usando los cálculos que hacen en el paper original, \[ \lambda_{\text{EE.UU.}} = 0.468 \]

Ajustandolo a la poblacion de España

\[ \lambda_{\text{España}} = 0.1426 \times \lambda_{\text{EE.UU.}} = 0.1426 \times 0.468 = 0.0666936 \approx 0.0681 \]

Calzándolo en la fórmula de la distribución de Poisson:

\[ P(Y≥1)=1−P(Y=0)=1−e^{−λ}\]

Que para nuestro caso: \[6.58329\%\]

Aclaración, esto es en toda España,  que en una población tan grande se espere 1 caso con esa probabilidad no es nada escandaloso, en EE.UU, los tiroteos en los mismos periodos de tiempo fueron en torno a 300 frente a los 17 de España, lo cual haría esa probailidad aún más pequeña si cabe en España.

En conclusión, podeis venir tranquilos a la universidad, salvo si estudias magisterio (porque no ibas a ir a clase de todas formas). 

El paper original es este, seguramente si de verdad os interesa el modelo estará mil veces mejor que este resúmen.

Se aceptan correcciones sobre la estadística y relacionados => https://forms.gle/GsDnmX6UadZ9FFwL7

Por último, filtramos en exclusiva el verdadero culpable del incidente:

No hay que dar ideas a magisterio que luego pasan cosas.

Autor: Raúl Barrero

(911) - Derivación logarítmica y función poligamma (digamma)

Antes de empezar propiamente digamos qué es la letra digamma: en el alfabeto griego en el periodo arcaico existía la letra digamma Ϝ, ϝ (en $\LaTeX$ se puede poner como $\Gamma \hspace{ -3mm }\raise-.8ex\hbox{$\Gamma$}$). Esta letra, que representaba el sonido /w/, estaba presente varias veces en los primeros versos de la Iliada antes de que se perdiera el sonido y la letra:
Μῆνιν ἄϝειδε Θεὰ Πηληϊάδεω Ἀχιλῆος // οὐλομένην, ἣ μυρί᾽ Ἀχαιοῖς ἄλγε᾽ ἔθηκε, // πολλὰς δ᾽ ἰφθίμους ψυχὰς Ἄϝιδι προΐαψεν // ἡρώων, αὐτοὺς δὲ ἑλώρια τεῦχε κύνεσσιν // οἰωνοῖσί τε πᾶσι, Διὸς δ᾽ ἐτελείετο βουλή, // ἐξ οὗ δὴ τὰ πρῶτα διαστήτην ἐρίσαντε // Ἀτρεΐδης τε ϝάναξ ἀνδρῶν καὶ δῖος Ἀχιλλεύς.

La función digamma, inexplicablemente representada con la letra psi, $\psi(x)$, se define: $$ \psi(x) = \psi^{(0)}(x) \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln\Gamma(x) = \frac{\Gamma^{(1)}(x)}{\Gamma(x)} $$ Mientras que la función poligamma se define como las sucesivas derivadas de la función digamma: $$ \psi^{(n)}(x) \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}} \ln\Gamma(x) = \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \psi(x) $$ Derivando recursivamente se obtiene que: $$\begin{array}{ cccc }
\psi^{(n)} : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R}\\[1ex]
& x & \longmapsto & \displaystyle (-1)^{n+1}\!\!\int_0^\infty\!\! \frac{t^n e^{-x t}} {1-e^{-t}} \text{d}t
\end{array}$$ Muchas veces estas expresiones, de la derivación logarítmica, se usan para estudiar la variación de una variable o función con respecto al valor instantáneo, en especial cuando tienen un comportamiento exponencial o factorial incluso. Veamos algunos ejemplos en termodinámica: $$ \alpha_P \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\partial}{\partial T}\ln V(P,T,\cdots) \qquad \beta_V \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\partial}{\partial T}\ln P(V,T,\cdots) \qquad \kappa_T \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\partial}{\partial V}\ln P(V,T,\cdots) $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(691) - El origen numérico de los logaritmos (con Teoría de Grupos)

Ya vimos en una entrada pasada cómo se propuso la prostaféreis, un algoritmo para agilizar el producto, pero aún así era muy costoso, largo, y tedioso. Por ejemplo, para calcular el producto de cinco números había que aplicarlo por lo menos tres veces con las sucesivas pérdidas de precisión en cada iteración. El matemático escocés John Napier of Merchinston ($1550-1617$) se le ocurrió una forma mejor. En términos modernos se puede imaginar su idea como buscar una aplicación $\psi$ que transformase un producto de elementos $xy$ del dominio en una operación $\star$ de sendas imágenes [de los factores]: un producto se convertía en operación computacionalmente mucho más fácil, $\star$ [luego veremos por cuál se decantó].

La aplicación satisface: $\psi(k\,xy) = \psi(x)\star\psi(y)$ para alguna constante $k$ , que se puede entender como un parámetro de reescala.
Para proceder se usarían los valores tanto $\psi(x)$ como $\psi(y)$ para hacer $\psi(x)\star\psi(y)=\psi(k\,xy)$ , y luego ver el qué argumento da $\psi(k\,xy)$ . Así pues solo hay que tener tabulado los valores $x\overset{\psi}{\mapsto}\psi(x)$ además de $y\overset{\psi}{\mapsto}\psi(y)$ (las búsquedas directas), asimismo como $\psi(k\, xy)\overset{\psi^{[-1]}}{\longmapsto} xy$ (la búsqueda inversa). El lector habitual del blog verá la rápida conexión con la prostaféresis.

 
Ya que el producto es conmutativo, la operación $\star$ también lo es: $$ \psi(k\,xy) = \psi(k\,yx) \implies \psi(x)\star\psi(y)=\psi(y)\star\psi(x) $$ Veamos que a su vez como el producto es asociativo, la operación $\star$ también lo es [usar $k^2$ sigue siendo un parámetro para simplificar resultados]: $$ \psi(k^2\,xyz) = \left\{ \begin{matrix} \psi(k\, (kxy)z) & = & \psi(kxy) \star\psi(z) & = & \big(\psi(x)\star\psi(y)\big)\star\psi(z)\\= & & = & & = \\\psi(k\, x(kyz)) & = & \psi(x) \star\psi(kyz) & = & \psi(x)\star\big(\psi(y)\star\psi(z)\big)\\ \end{matrix} \right.$$ Veamos cómo la operación $\star$ tiene un elemento neutro, $\psi(k^{-1})$ : $$ \psi(k\,tk^{-1})=\psi(t) = \psi(t)\star\psi(k^{-1}) = \psi(k^{-1})\star\psi(t)$$ Veamos ahora cómo todo elemento $\psi(t)$ tiene un elemento inverso $\psi(k^{-2}t^{-1})$ con la operación $\star$ [dada la conmutatividad de antes es tanto el inverso por la izquierda como por la derecha]: $$\psi(k\;t\,k^{-2}t^{-1})=\psi(k^{-1}) = \psi(t)\star\psi(k^{-2}t^{-1}) = \psi(k^{-2}t^{-1})\star\psi(t)$$ Sobre la aplicación $\psi$ queremos que sea inyectiva (elementos distintos tienen imágenes distintas), y además que sea biyectiva para que no haya problemas a la hora de multiplicar (que nos diera un posible producto erróneo). $$\begin{array}{ cccc }
\psi : & \mathbb{K}_1 & \longrightarrow & \mathbb{K}_2\\[2.5ex]
& t & \longmapsto & \psi(t) \\[8pt]
& k\,x_1\cdot x_2 & \longmapsto & \begin{matrix} \psi(x_1) & \star & \psi(x_2) \\ =&&= \\ y_1 & \star & y_2 \end{matrix}
\end{array} \qquad \begin{array}{ cccc }
\psi^{[-1]} : & \mathbb{K}_2 & \longrightarrow & \mathbb{K}_1 \\[2.5ex]
& z & \longmapsto & \psi^{[-1]}(z) \\[8pt]
& y_1 \star y_2 & \longmapsto & \begin{matrix} k & \psi^{[-1]}(y_1) & \cdot & \psi^{[-1]}(y_2)\\ & =&&= \\ k & x_1 & \cdot & x_2 \end{matrix}
\end{array}$$ Donde $\cdot$ es el producto usual en $\mathbb{K}_1$ , mientras que $\star$ es nuestra operación en $\mathbb{K}_2$ . La operación $\star$ realmente puede ser cualquiera que satisfaga las propiedades descritas, por lo que Napier usó $\star$ como la suma usual (según cuál se tome, cambia cómo es $\psi$ , por ejemplo con la suma se tiene que $\psi(k^{-1})=0$ para el neutro y $\psi(k^{-2}t^{-1})=-\psi(t)$ para el inverso). Llamó a su aplicación $\psi$ como logarithmus en latín, del griego antiguo λόγος (lógos) “palabra, razón” y ἀριθμός (arithmós) “número” , muy similar a la construcción número racional (también del latín) pero aquí el apellido racional indicando “razonadamente, con una razón de ser”. Napier definió su logaritmo $\operatorname{logN}$ : $$ n = 10^7\,\big(1-10^{-7}\,\big)^L \overset{\triangle}{\iff} L\overset{\text{def}}{=}\operatorname{logN} n$$ La relación entre el logaritmo de Napier , $\operatorname{logN}$ , y el logaritmo natural, $\ln$ , es: $$ \operatorname{logN} n \triangleq \frac{\displaystyle \ln\left(\frac{n}{10^7}\right)}{\ln\big(1-10^{-7}\,\big)} \iff \ln n \triangleq \ln\big(1-10^{-7}\,\big)\operatorname{logN} n + 7\ln 10$$ Es más, ambos para algún $n$ toman el mismo valor, $\displaystyle \frac{7\ln10}{1-\ln(1-10^{-7}\,)}$ . De esto se deducen las propiedades $$\begin{matrix} \displaystyle \operatorname{logN}\sqrt{x_1x_2\;} & = & \displaystyle \frac{\operatorname{logN}x_1+\operatorname{logN}x_2}{2} \\[3pt] \displaystyle \operatorname{logN}\big(10^{-7}x_1x_2\big) & = & \displaystyle \operatorname{logN}x_1+\operatorname{logN}x_2 \\[5pt] \displaystyle \operatorname{logN}\bigg(10^7\sqrt{\frac{x_1}{x_2}\;}\,\bigg) & = & \displaystyle \frac{\operatorname{logN}x_1-\operatorname{logN}x_2}{2} \\[3pt] \displaystyle\operatorname{logN}\Big(10^7\frac{x_1}{x_2}\Big) & = & \displaystyle \operatorname{logN}x_1-\operatorname{logN}x_2 \end{matrix}$$ Nótese que el logaritmo de Napier no satisface exactamente esas propiedades tan directas de los logaritmos a las que estamos muy habituados, en parte por la presencia de esa constante $10^{-7}$ . Unos pocos años después, Henry Briggs ($1561-1630$) simplifició en gran medida el trabajo de de Napier, creando el logaritmo briggsiano o común [decimal], $\log_{10}$ o también $\lg$ . Con este mero cambio, se popularizó muchísimo más el trabajo de Napier al hacerse más intuitivo, pues el logaritmo decimal de un número se puede entender como el número de cifras que tiene en su representación decimal (y las cifras del número original por cómo está entre dos unidades contiguas en una escala logarítmica decimal).

Ahora el algortimo para multiplicar $xy$ ha pasado a consultar los valores de $\log(x)$ además de $\log(y)$ [independientemente de la base], calcular $\log(x)+\log(y)$ y consultar en una búsqueda inversa el valor de $\operatorname{antilog}\big(\log(x)+\log(y)\big)$ (con respecto a la misma base que antes, siendo $\operatorname{antilog}$ la función antilogaritmo, es decir, la aplicación inversa al logaritmo). $$ xy = x\cdot y \iff xy = \operatorname{antilog}\big(\log(x)+\log(y)\big) $$ Es más, esto no se complica innecesariamente comparado con la prostaféresis, ya que: $$\prod_{k=1}^n x_k = x_1\cdot\ldots\cdot x_n \iff \prod_{k=1}^n x_k = \operatorname{antilog}\left(\sum_{k=1}^n\log(x_n)\right) $$ Que es una forma muy efectiva, útil y rápida para programar la función factorial, $x!$ , en algunos lenguajes como $R$ . Un pequeño esquema de lo que planteamos es: $$ \begin{matrix} \{x,y\} & \longrightarrow & x\cdot y \\ \underset{\text{Logartimo}}{\Downarrow} & & \underset{\text{Antilogaritmo}}{\Uparrow} \\ \big\{\log(x),\log(y)\big\} & \overset{\text{Suma}}{\implies} & \log(x)+\log(y) \end{matrix} $$ Para multiplicar varios números es mucho más efectivo usar logaritmos:

• Para multiplicar números usando el algoritmo logarítmico, primero se hace una búsqueda directa de los logaritmos de los factores en tablas, se calcula su suma total, y por último con una búsqueda inversa se tiene el producto.
• Para multiplicar números usando el algoritmo prostaferético, primero hay que hacer parejas y aplicar el algoritmo para cada una de las parejas (si hay un número impar de factores se omite uno y se lo lleva directamente a la próxima etapa), ahora hay que volver a hacer parejas con los productos intermedios y así recursivamente hasta que se llega al producto final.

Para multiplicar dos números en prostaféresis hay que hacer primero dos búsquedas inversas, una suma y una resta, dos búsquedas directas, y por último una suma y dividir entre $2$ , mientras que con logaritmos solo hay que hacer primero dos búsquedas directas, una suma, y por último una búsqueda inversa.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(563) - Antilogaritmos, cologaritmos, ⁊ más...

En el día de hoy traemos una entrada un poco corta, algo ya mencionado en el artículo de la trigonometría olvidada. ¿Qué son los antilogaritmos, y cologaritmos?

Básicamente son dos funciones auxiliares para el cálculo de logaritmos definidas a partir de composición de funciones elementales con funciones estrictamente logarítmicas.

El antilogaritmo (antilogarithm) es una función cuya composición con la función logaritmo da la función original, es decir, es la función inversa al logaritmo: la exponencial.

Comparación antilogaritmo - logaritmo

El cologaritmo (cologarithm) es una función cuya suma con la función logaritmo da la función idénticamente nula, es decir, es menos la función logaritmo. 

Comparación cologaritmo - logaritmo

¿Se podrían definir anticologaritmo y coantilogartimo?

El anticologaritmo (anticologarithm) fuera la función inversa del opuesto del logaritmo, es decir, la exponencial con exponente cambiado de signo.

El coantilogartimo  (coantilogarithm) fuera el opuesto de la función inversa al logaritmo, es decir, menos la función exponencial.

Comparación coantilogaritmo - anticologaritmo

   Tabla de simetrías

	Logb	CoLogb	AntiLogb	CoAntiLogb	AntiCoLogb
Logb	(sí misma)	y = 0	y = +x
CoLogb	y = 0	(sí misma)		y = -x	y = +x
AntiLogb	y = +x		(sí misma)	y = 0	x = 0
CoAntiLogb		y = -x	y = 0	(sí misma)	y = -1/b x
AntiCoLogb		y = +x	x = 0	y = -1/b x	(sí misma)

Esta es una perla olvidada de las matemáticas dejada de lado  ya que ahora ya no es necesario recurrir a tablas para saber cuáles son los valores de logaritmos, y como las funciones verseno, vercoseno, coverseno, covercoseno, exsecante, y excosecante, ya nadie se acuerda de ellas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.