(1201) - Problemas varios al derivar

• Si tenemos una fórmula explícita, podemos escribir utilizando cálculo simbólico una fórmula para la derivada. Para este caso no hace falta que la función original sea cerrada pues se puede dar como un sumatorio, como una serie, etc. Así se tiene una fórmula conocida para la derivada y se puede ver fácilmente cómo se compara dicha fórmula con la función original.



• Supongamos en cambio que no tenemos una fórmula cerrado, o no para la función original, pero que dado cualquier argumento que le demos (input) nos dice cuánto es la función evaluada en dicho punto (output). Aquí podemos usar el límite de la definición de derivada para poder aproximar numéricamente la derivada en cada punto. A su vez podemos calcular la derivada una vez más donde dado un argumento nos dice cuánto vale en dicho punto. Sin embargo, como tomar el límite muchas veces solo se puede hacer desde un punto de vista simbólico, y no desde un punto de vista numérico, a la hora del cómputo lo que se suele hacer es tomar la función de evaluada de manera inteligente en ciertos nodos tal que con diferencias divididas se puede aproximar la derivada con una de precisión arbitrariamente alta.



• Sin embargo, muchas veces se tiene que la función está tabulada, o sea, solo sabemos los outputs en terminados inputs, es decir, solo sabemos el valor de la ordenada para ciertas abscisas. Este es un caso muy diferente al anterior ya que si bien en el caso anterior aunque no tuviéramos una fórmula explícita y no pudiéramos sacar una fórmula ni para la función original ni para la derivada, sí que mediante la evaluación de la función y los puntos podíamos acercarnos al valor numérico de la derivada con la precisión quisiéramos. Aquí en cambio la función solo está tabulada para ciertos valores y uno se tiene que apañar con esos valores tabulados de tal forma que la derivada no se va a poder calcular con precisión arbitraria, pues la precisión de la derivada dependerá del número de cifras significativas que tenga y la longitud del intervalo.
  
  Algunos manuales de análisis numérico lo que sugieren para calcular la derivada en un punto es estimar la derivada en los puntos tabulados e interpolar entre dichos puntos al valor que se quiere. Otros sugieren que a través de los puntos de la tabla construir un polinomio interpolador, derivarlo y evaluar la derivada en dicho punto. El problema este último razonamiento es que el polinomio interpolador cuando se van añadiendo más puntos tiene el problema del fenómeno de Runge (donde hay muchas oscilaciones en torno a los extremos del intervalo). Aun así, incluso si se coge o incluso si los datos están tabulados en los nodos del Chebyshev (de tal forma que el fenómeno de Runge no ocurra y se minimice la norma infinito de error, que es la función menos el polinomio interpolador), el teorema de aproximación polinómica de Weierstrass nos asegura solo la convergencia de los polinomios a una función continua, no necesariamente derivable. De hecho, hay bastantes ejemplos de sucesiones de polinomios (todos ellos infinitamente derivables), cuyo límite es una función continua, pero no-derivable.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(997) - Integrales trigonométricas de Fresnel

¿Qué crees que nos pondrá? ¿Algo díficil de integrar? - A lo que respondí: No sé, pero mientras no nos ponga ninguna como el seno o coseno de Fresnel, que se definen como una integral... - A lo que me respondieron: ¡No, hombre, no! ¡Cómo va a poner algo de eso! - Al recibir el examen vimos que había que integrar a lo largo de una curva parametrizada, donde según la parametrización indicada se tenían que usar estas funciones.

Empecemos con el seno normalizado de Fresnel: $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{S}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\sin\!\left(\frac{\pi}{2}t^2\right) \;\mathrm{d}t
\end{array}$$ De forma análoga se define el coseno normalizado de Fresnel $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{C}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t^2\right) \;\mathrm{d}t
\end{array}$$ Veamos una gráfica de las funciones:

Con esta definición es fácil ver que son funciones $\mathscr{C}^\infty$ cuyo desarrollo en serie viene dado por: $$ \operatorname{S}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\pi^{2n+1}}{2^{2n+1}(4n+3)(2n+1)!}x^{4n+3} \qquad \operatorname{C}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\pi^{2n}}{2^{2n}(4n+1)(2n)!}x^{4n+1} $$ Uno de los límites interesantes que tienen estas funciones son: $$ \lim_{x\to\pm\infty}\operatorname{S}(x) = \lim_{x\to\pm\infty}\operatorname{C}(x) = \pm\frac{1}{2} $$ Veamos la curva conocida como espiral de Cornu $\Big\{\big(\operatorname{C}(x),\operatorname{S}(x)\big)\,/\,x\in\mathbb{R}\Big\}$

Estas funciones están íntimamente relacionadas con la función error gaussiano, $\varepsilon\!\operatorname{rf}(x)$. Estas funciones no solo aparecen en óptica, sino también en ecuaciones diferenciales, al considerar los iterantes de Picard para la ecuación diferencial del péndulo simple.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(971) - Integral exponencial

Consideremos la función integral exponencial, que para valores positivos se define tal que: $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{Ei}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int_{-x}^\infty\!\frac{e^{-t}}{-t} \text{d}t
\end{array}$$ Hay quien incluso prefiere definir la integral exponencial entera: $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{Ein} : & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x\! \frac{1-e^{-t}}{t} \text{d}t
\end{array}$$
Sin embargo, esta definición inicial presenta ciertos problemas en algunos casos, por lo que se prefiere a veces definir una familia de funciones íntimamente relacionadas:
$$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{E}_n : & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_1^\infty\!\frac{e^{-xt}}{t^n} \text{d}t
\end{array}$$
Donde se tiene que $$ \operatorname{E}_1(x) = -\operatorname{Ei}(-x) $$
Que es una relación muy útil a la hora de relacionar las dos definiciones. Es más, $$ \operatorname{E}_1(x) = -\!\!\!\!\!\!\int_x^\infty\!\frac{e^{-t}}{t} \text{d}t $$ Que es básicamente sustituir en la definición anterior la identidad expresadad.
Si denotamos $\gamma$ la constante de Euler-Mascheroni, se tiene que: $$\operatorname{Ein}(z)=\gamma+\ln(z)+\operatorname{E}_1(z)$$

Nótese que aunque la familia de funciones integrales exponenciales puede parecer más aparatoso, se tienen las siguientes relaciones que simplifican los cálculos. $$ {\operatorname{E}_n}^{(1)}(x) = -\operatorname{E}_{n-1}(x) \iff \operatorname{E}_{n+1}(x) = \frac{e^{-x}-x\operatorname{E}_n(x)}{n} $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(967) - Trigonometría integral

Consideremos dos funciones definidas a partir de integrales. El seno integral se define como: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{Si}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\frac{\sin(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ Sin embargo, hay quienes prefieren la definición: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{si}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle -\int_x^\infty \!\frac{\sin(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ Donde ambas están interrelacionadas por $$ \operatorname{Si}(z)-\operatorname{si}(z)=\frac{\pi}{2}$$ La función coseno integral viene definida por $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{ci}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle -\int_x^\infty \!\frac{\cos(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ A su vez, hay quien recurre a la función coseno integral entero para definir la anterior, donde se tiene que: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{Cin}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\frac{1-\cos(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ Si denotamos $\gamma$ la constante de Euler-Mascheroni, se tiene que: $$\operatorname{Ci}(z)=\gamma+\ln(z)-\operatorname{Cin}(z)$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(953) - Polinomios de Bernstein

El teorema de aproximación polinómica de Weierstrass indica que toda función continua en un intervalo cerrado se puede aproximar uniformememte por una sucesión de polinomios. Por ejemplo, podemos usar los polinomios de Bernsteins para aproximar $f(x)$ en $[a,b]$. $$ B_N(x) = \sum_{k=0}^N f\left(a+\frac{b-a}{N}k\right)\binom{N}{k} \frac{(x-a)^k(b-x)^{N-k}}{(b-a)^N} \qquad B_N(x) = \sum_{k=0}^N \beta_k B_{N,k}(x) ;$$
Como se puede ver, se ha aproximado por un polinomio como una combinación lineal de los elementos de una base polinómica (los polinomios de Bernstein), con $(N+1)$ polinomios de grado $N$ , $\Big\{ B_{N,k}(x)\Big\}_{k=0}^N$ vienen dados por: $$ B_{N,k}(x) = \binom{N}{k} \frac{(x-a)^k(b-x)^{N-k}}{(b-a)^N} \qquad \beta_k = f\left(a+\frac{b-a}{N}k\right) $$ Donde $\beta_k$ son los coeficientes de Bernstein-Bézier

Tras una normalización donde se define la nueva variable $t=\displaystyle \frac{x-a}{b-a}$, ahora $t\in[0,1]$, por lo que se simplifican las expresiones: $$ B_N(t) = \sum_{k=0}^N f\left(\frac{k}{N}\right)\binom{N}{k} t^k(1-t)^{N-k} $$

Los polinomios satisfacen estas relaciones $$ \binom{N}{k} \left(\frac{k}{N}\right)^k\left(1-\frac{k}{N}\right)^{N-k} = \binom{N}{k}\frac{k^k (N-k)^{N-k}}{N^N} \geqslant B_{N,k}(t) \geqslant 0 \implies \frac{N!}{2^N \displaystyle \left(\frac{N}{2}\right)!^2} \geqslant B_{N,\frac{N}{2}}(t) \geqslant 0 $$ Nótese que los polinomios tienen cierta simetría: $$ B_{N,k}(t)=B_{N,N-k}(1-t) $$
En particular se satisface: $$ 0 \leqslant t \leqslant 1 \implies \sum_{k=0}^N B_{N,k}(t) = 1 $$ Veamos algunos ejemplos:

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(911) - Derivación logarítmica y función poligamma (digamma)

Antes de empezar propiamente digamos qué es la letra digamma: en el alfabeto griego en el periodo arcaico existía la letra digamma Ϝ, ϝ (en $\LaTeX$ se puede poner como $\Gamma \hspace{ -3mm }\raise-.8ex\hbox{$\Gamma$}$). Esta letra, que representaba el sonido /w/, estaba presente varias veces en los primeros versos de la Iliada antes de que se perdiera el sonido y la letra:
Μῆνιν ἄϝειδε Θεὰ Πηληϊάδεω Ἀχιλῆος // οὐλομένην, ἣ μυρί᾽ Ἀχαιοῖς ἄλγε᾽ ἔθηκε, // πολλὰς δ᾽ ἰφθίμους ψυχὰς Ἄϝιδι προΐαψεν // ἡρώων, αὐτοὺς δὲ ἑλώρια τεῦχε κύνεσσιν // οἰωνοῖσί τε πᾶσι, Διὸς δ᾽ ἐτελείετο βουλή, // ἐξ οὗ δὴ τὰ πρῶτα διαστήτην ἐρίσαντε // Ἀτρεΐδης τε ϝάναξ ἀνδρῶν καὶ δῖος Ἀχιλλεύς.

La función digamma, inexplicablemente representada con la letra psi, $\psi(x)$, se define: $$ \psi(x) = \psi^{(0)}(x) \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln\Gamma(x) = \frac{\Gamma^{(1)}(x)}{\Gamma(x)} $$ Mientras que la función poligamma se define como las sucesivas derivadas de la función digamma: $$ \psi^{(n)}(x) \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}} \ln\Gamma(x) = \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \psi(x) $$ Derivando recursivamente se obtiene que: $$\begin{array}{ cccc }
\psi^{(n)} : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R}\\[1ex]
& x & \longmapsto & \displaystyle (-1)^{n+1}\!\!\int_0^\infty\!\! \frac{t^n e^{-x t}} {1-e^{-t}} \text{d}t
\end{array}$$ Muchas veces estas expresiones, de la derivación logarítmica, se usan para estudiar la variación de una variable o función con respecto al valor instantáneo, en especial cuando tienen un comportamiento exponencial o factorial incluso. Veamos algunos ejemplos en termodinámica: $$ \alpha_P \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\partial}{\partial T}\ln V(P,T,\cdots) \qquad \beta_V \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\partial}{\partial T}\ln P(V,T,\cdots) \qquad \kappa_T \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\partial}{\partial V}\ln P(V,T,\cdots) $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(887) - Trigonometría elíptica de Jacobi

¿Alguien se ha preguntado el lector por qué cuando se ve el péndulo simple en bachillerato, siempre se aproxima, nunca dando su solución exacta, aun siendo un problema ideal? Esto a veces ocurre hasta en los cursos inferiores de universidad. El problema no es que no tenga una solución analítica cerrada, sino que la introducción matemática previa para poder comprenderlo, es demasiado a veces.

En física hay ciertas ecuaciones diferenciales cuyas soluciones hacen necesario emplear una familia de funciones: las funciones elípticas de Jacobi. Algunos de estos casos son el péndulo simple (como ya hemos comentado), el oscilador de Duffing, o la solución de la I Ley de Kepler en Relatividad general.

Esta familia de funciones puede ser muy laboriosa y engorrosa de trabajar y lidiar con ellas, ya que son funciones univariables que se definen en función de un parámetro a través de integrales. Algunas se definen simplemente como la inversa de otra, añadiendo otro grado de dificultad en algunos puntos.

Ecuación diferencial y solución para el ángulo de un péndulo simple: $$ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} \theta(t) + {\omega_0}^2 \sin\!\big(\theta(t)\big) = 0 \implies \theta(t) = 2\operatorname{am}\!\left( \frac{\sqrt{2+c_1\,}}{2}(\omega_0t+c_2) \Big| \frac{4}{2+c_1} \right) $$ Las funciones elípticas de Jacobi se definen como un conjunto de funciones integrales paramétricas: Veamos algunos ejemplos de cómo varían según este parámetro: $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{sn}(u|m) = \sin(u) \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{sn}(u|m) = \operatorname{tgh}(u) $$ $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{cn}(u|m) = \cos(u) \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{cn}(u|m) = \frac{1}{\cosh(u)} $$ $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{dn}(u|m) = 1 \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{dn}(u|m) = \frac{1}{\cosh(u)} $$ $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{am}(u|m) = u \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{am}(u|m) = \operatorname{gd}(u) $$ Donde $\operatorname{gd}(u)$ es la función gundermaniana, definida como $$ \operatorname{gd}(u) \overset{\mathrm{def}}{=} \int_0^u \frac{1}{\cosh(t)}\;\mathrm{d}t = \arctan\!\big(\sinh(u)\big) $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(733) - Integral Asociada de Lebesgue. Mejor que Riemann (con GIFs descargables) (3/3)

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales de Riemann, y de Lebesgue. Definamos los subintervalos $I_k = [x_{k-1},x_k] $ que pertenecen a la partición $\mathcal{P}\big([a,b]\big)$ .

Integral de Riemann
La suma asociada de Riemann, $\sigma(f,\mathcal{P}_n,T)$ , es la suma de las áreas de los rectángulos-verticales que aproximan la función $f$ en cada subintervalo $I_k$ . En cada subintervalo $I_k$ se considera un nodo $t_k$ tal que el valor de la función $f$ evaluada en dicho nodo, $f(t_k)$, sea una buena aproximación de la altura media de la función en dicho subintervalo. Según se aumenta el número de subintervalos $n$ , mejor se aproxima al valor del área bajo la función $f$ . Se denota por $T$ a la colección de todos los nodos $t_k$ , es decir, $T=\left\{t_k \; /\; k=1,\cdots,n\right\}$ , mientras que el par $(\mathcal{P}_n,T)$ a veces se escribe como $\dot{\mathcal{P}}_n$ . $$ \begin{matrix} \displaystyle \sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n f(t_k)\Delta x_k \implies \displaystyle \int_a^b f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \lim_{\|\mathcal{P}_n\hspace{1pt}\|\to 0}\!\!\! \sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \\ \displaystyle \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n f(t_k)\Delta x_k \implies \displaystyle \int_a^b f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \lim_{\|\dot{\mathcal{P}}_n\hspace{1pt}\|\to 0}\!\!\! \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) \end{matrix} $$

Nótese que según $n$ aumenta, llega un momento que (al menos visualmente) son indistinguibles 

Integral de Riemann - variando los nodos
Aquí vemos variando el nodo $t_k$ en cada subintervalo $I_k$ (tomando cada uno con la misma definición respecto a los extremos del subintervalo). Así pues pasamos de una suma de Riemann por la izquierda ( $\lambda=0$ ) a una del punto medio ( $\lambda=0.5$ ) y finalmente a una por la derecha ( $\lambda=1$ ). $$ \lambda_k\in[0,1] \,/\, t_k \overset{\text{def}}{=} (1-\lambda_k)x_{k-1}+\lambda_k x_k\in I_k \in \mathcal{P}_n\big([a,b]\big) \implies \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) = \sum_{k=1}^n f\big((1-\lambda)x_{k-1}+\lambda x_k\big) \Delta x_k $$

Integral asociada de Lebesgue

Recordemos los conjuntos que acuñé en la última entrada como conjuntos elementales de Riemann-Lebesgue (conjuntos elementales asociados de Lebesgue) y desagamos el valor absoluto suponiendo que $f(x)\geqslant 0$: $$ E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; 0\leqslant\big|f(x)-y_n\big|\lneq\varepsilon \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega $$ Es decir, $$ y_n-\varepsilon\lneq f(x) \lneq y_n+\varepsilon \quad \forall x\in E_n$$ Por lo que podemos reescribir la cotas $y_n\pm\varepsilon$ como funciones escalonadas $ (y_n\pm\varepsilon)\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$ , que valen exactamente $y_n\pm\varepsilon$ en $E_n$ y "fuera" no aporta nada. $$ (y_n-\varepsilon)\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)\lneq f(x) \lneq (y_n+\varepsilon)\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \iff \bigg| f(x)-y_n\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \bigg| \lneq \varepsilon\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$$ Aplicando la monotonía de la integral se tiene que: $$ (y_n-\varepsilon)\mu(E_n) \lneq \int\limits_{E_n} \! f(x)\ \,\text{d}\mu(x) \lneq (y_n+\varepsilon)\mu(E_n) \implies \Bigg| \int\limits_{E_n} \! f(x)\ \,\text{d}\mu(x)-y_n\mu(E_n) \Bigg| \lneq \varepsilon\mu(E_n)$$ Esto es para un único $E_n$, por lo que si se considera la unión de todos los ubconjuntos, el supraconjunto $E$ , se tiene que: $$ \sum_{n=1} (y_n-\varepsilon)\mu(E_n) \lneq \int\limits_{E_n} \! f(x)\ \,\text{d}\mu(x) \lneq \sum_{n=1} (y_n+\varepsilon)\mu(E_n) \implies \Bigg| \int\limits_{E_n} \! f(x)\ \,\text{d}\mu(x)-\sum_{n=1}y_n\mu(E_n) \Bigg| \lneq \varepsilon\mu(E) $$ ¿Hemos terminado? Realmente sí. Hemos encontrado una función escalonada $\displaystyle \phi_n(x)\overset{\text{def}}{=} \sum_{n=1} y_n\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$ que dista de $f(x)$ a lo sumo tan poco como queramos, $\varepsilon$ , y que sendas integrales también distan tan poco como queramos, $\varepsilon\mu(E)$ . A este valor (de la integral de $\phi_n(x)$) lo acuño como suma o integral asociada de Lebesgue.$$ \int\limits_{[a,b]} \! f(x) \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) $$

Integral asociada de Lebesgue

 
Refinando la secuencia de nodos de ordenadas o $\varepsilon$ se encuentra una aproximación mejor. 

Integral asociada de Lebesgue - variando la secuencia de los $y_n$

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(727) - Integral Superior de Lebesgue. Mejor que Darboux (con GIFs descargables) (2/3)

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales superiores de Darboux, y de Lebesgue. Definamos los subintervalos de la partición $I_k \overset{\text{def}}{=} [x_{k-1},x_k] \in\mathcal{P}\big([a,b]\big)$ .

Integral superior de Daboux
La suma superior de Darboux, $s(f,\mathcal{P}_n)$ , hace referencia a la suma de las áreas de los rectángulos-verticales minimales que contienen la función $f$ . Según se aumenta el número de subintervalos $n$ , mejor se aproxima al valor del área bajo la función $f$ .$$ \begin{matrix}\displaystyle S(f,\mathcal{P}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n \sup_{x\in I_k}\!\big\{f(x)\big\} \Delta x_k &\quad &\displaystyle 0 \leqslant \big|f(x)\big| \underset{\mu\text{ae}}{\leqslant} \sum_{n=1} y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) = \phi_n(x) \\ \displaystyle \mkern2.5mu\underline{\vphantom{\intop}\mkern15mu}\mkern-15mu\int_a^b \!\!\! f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \inf_{\mathcal{P}_n\,\in\,\mathcal{P}}\!\big\{S(f,\mathcal{P}_n)\big\} &\quad &  \displaystyle \overline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \inf_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\geqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) \Bigg\}\ \end{matrix} $$

Sumas superiores e inferiores de Darboux

Integral superior de Lebesgue 

Recordemos los conjuntos que acuñé en la última entrada como conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue y centrémonos en la primera desigualdad: $$ E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; y_n\gneq\big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$$ Es decir, $$ y_n\gneq\big|f(x)\big| \quad \forall x\in E_n$$ Por lo que podemos reescribir $y_n$ como la función escalonada $ y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$ , que vale exactamente $y_n$ en $E_n$ y "fuera" no aporta nada. Aplicando la monotonía de la integral se tiene que: $$ y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \gneq \big|f(x)\big| \implies \int\limits_{E_n} \! \ y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq y_n\,\mu(E_n) \gneq \int\limits_{E_n} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) $$ Esto es para un único $E_n$, por lo que si se considera la unión de todos los ubconjuntos, el supraconjunto $E$ , se tiene que: $$ \sum_{n=1} y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \overset{\text{def}}{=} \phi_n(x) \gneq \big|f(x)\big| \implies \int\limits_{E} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) \gneq \int\limits_{E} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) $$ ¿Hemos terminado? Casi. Hemos encontrado una cota superior, pero no la óptima, esa es su ínfimo, $\displaystyle \inf\Bigg\{\sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) \Bigg\}$ , que se puede hallar al ir refinando los conjuntos elementales. A este valor lo acuño como suma o integral superior de Lebesgue $$ \underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \inf_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\geqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) \Bigg\} $$

Suma superior de Lebesgue

Con estos mismos conjuntos se puede hallar fácilmente la integral en espacios $L^p$ de $|f|^p$ donde es: $$ \underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big|^p \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \inf_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\geqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! {\phi_n}^p(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} {y_n}^p\,\mu(E_n) \Bigg\} $$



Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(719) - Integral Inferior de Lebesgue. Mejor que Darboux (con GIFs descargables) (1/3)

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales inferiores de Darboux, y de Lebesgue. Definamos los subintervalos de la partición $I_k \overset{\text{def}}{=} [x_{k-1},x_k] \in\mathcal{P}\big([a,b]\big)$ .

Integral inferior de Daboux
La suma inferior de Darboux, $s(f,\mathcal{P}_n)$ , hace referencia a la suma de las áreas de los rectángulos-verticales maximales que están contenidos entre el eje de abscisas y la función $f$ . Según se aumenta el número de subintervalos $n$ , mejor se aproxima al valor del área bajo la función $f$ .$$ \begin{matrix}\displaystyle s(f,\mathcal{P}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n \inf_{x\in I_k}\!\big\{f(x)\big\} \Delta x_k &\quad &\displaystyle 0 \underset{\mu\text{ae}}{\leqslant} \sum_{n=1} y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) =  \phi_n(x) \underset{\mu\text{ae}}{\leqslant} \big|f(x)\big| \\ \displaystyle \mkern2.5mu\underline{\vphantom{\intop}\mkern15mu}\mkern-15mu\int_a^b \!\!\! f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \sup_{\mathcal{P}_n\,\in\,\mathcal{P}}\!\big\{s(f,\mathcal{P}_n)\big\} &\quad &  \displaystyle \underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \sup_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\leqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_{n-1}\,\mu(E_n) \Bigg\}\ \end{matrix} $$

Sumas superiores e inferiores de Darboux

Integral inferior de Lebesgue 

Recordemos los conjuntos que acuñé en la última entrada como conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue y centrémonos en la segunda desigualdad: $$ E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; y_n\gneq\big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$$ Es decir, $$ \big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \quad \forall x\in E_n$$ Por lo que podemos reescribir $y_{n-1}$ como la función escalonada $ y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$ , que vale exactamente $y_{n-1}$ en $E_n$ y "fuera" no aporta nada. Aplicando la monotonía de la integral se tiene que: $$ \big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \implies \int\limits_{E_n} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \geqslant \int\limits_{E_n} \! \ y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq y_{n-1}\,\mu(E_n)$$ Esto es para un único $E_n$, por lo que si se considera la unión de todos los ubconjuntos, el supraconjunto $E$ , se tiene que: $$ \big|f(x)\big|\geqslant \sum_{n=1} y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \overset{\text{def}}{=} \phi_n(x) \implies \int\limits_{E} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \geqslant \int\limits_{E} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_{n-1}\,\mu(E_n)$$ ¿Hemos terminado? Casi. Hemos encontrado una cota inferior, pero no la óptima, esa es su supremo, $\displaystyle \sup\Bigg\{\sum_{n=1} y_{n-1}\,\mu(E_n) \Bigg\}$ , que se puede hallar al ir refinando los conjuntos elementales. A este valor lo acuño como suma o integral inferior de Lebesgue $$ \underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \sup_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\leqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_{n-1}\,\mu(E_n) \Bigg\} $$

Suma inferior de Lebesgue

Con estos mismos conjuntos se puede hallar fácilmente la integral en espacios $L^p$ de $|f|^p$ donde es: $$ \underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big|^p \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \sup_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\leqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! {\phi_n}^p(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} {y_{n-1}}^p\,\mu(E_n) \Bigg\} $$



Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(709) - Función simple y límite de una sucesión de funciones escalonadas (con GIFs descargables)

En la última entrada comentamos cómo podemos crear una función escalonada, es decir, constante en conjuntos casi a modo de una escalera.
Estos conjuntos no son necesariamente intervalos, sino que pueden ser uniones de intervalos monopuntuales o no. Por ejemplo, se puede definir el conjunto donde la función seno, $\operatorname{sen}(x)$, sea positiva, es decir, $\displaystyle E = \{x\in\mathbb{R} / \operatorname{sen}(x) \geqslant 0 \} = \bigcup_{n\in\mathbb{Z}} \big[2 \pi n, (2n+1)\pi\big]$ , es decir, es unión (disjunta) de infinitos intervalos.
$$\begin{array}{ cccc }\displaystyle \phi_n \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n y_k \chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_k} : & \Omega & \longrightarrow & \{0\}\cup\big\{y_k\;\big/\; k=1,\cdots , n \big\} \subsetneq\mathbb{R} \\& x & \longmapsto & \displaystyle \begin{matrix} 0 & \big| & x\not\in \displaystyle \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_k \subseteq \Omega\\ y_k & \big| & x\in E_k \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_k \subseteq \Omega \end{matrix}\end{array}$$ Es decir, a esta función $\phi_n(x)$ se le asigna el valor $0$ si $x$ no está en ningún $E_k$ (y por lo tanto no está en la unión de todos), y si sí está en $E_k$ , para algún $k$ entre $1,\cdots,n$ , se le asigna $y_k$ . Lo bueno de esta definición es que se puede "ir hacia atrás" y averiguar, dado un valor de la función $\phi_n(x)$ , de qué conjunto proviene ese $x$ , es decir: $\displaystyle {\phi_n}^{[-1]}(y_k) = {\phi_n}^{[-1]}\big(\{y_k\}\big) = E_k$ lo que hace que para el conjunto de todos los poibles valores se tenga $\displaystyle {\phi_n}^{[-1]}\big(\{y_k\;\big/\; k=1,\cdots , n\}\big) = \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_k $ . Estos conjuntos elementales $E_k$ se tienen que contruir de una manera que luego nos faciliten la cuentas, ya que estamos intentando aproximar la integral de una función $f(x)$ genérica por la de una función escalonada $\phi_n(x)$ contruida a partir de dichos conjuntos elementales $E_k$ . Los conjuntos de la forma $\displaystyle E_k = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; f(x)=y_k \in \mathbb{R} \Big\} \subseteq\bigcup_{k=1}^n \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_k \subseteq \Omega $ nos pueden dar problemas. Por ejemplo, la función seno, $\operatorname{sen}(x)$ , toma cualquier valor, $1$ por ejemplo, en puntos separados, es decir en intervalos unipuntuales. ¿Cuánto mide de ancho un punto? Nada, cero. Por ello la medida de todos esos conjuntos puede ser $0$ y no nos puede decir mucho. Recordemos que la integral se puede entender como una forma de medir áreas, que solemoss hacer por medio de rectángulos usualmente, donde se necesita una base y una altura. Si las bases son todas $0$ nos daría una área $0$ .

Dada una sucesión $\{y_n\}_{n=0}$ de números positivos, voy a definir y acuñar yo dos familias de conjuntos elementales que nos van a ayudar. Estos conjuntos están prediseñados para poder usar la Desigualdad de Chebyshov ( [Чебышёв - Čebyšëv]) o con la misma idea que esta:
Los conjuntos elementales de Riemann-Lebesgue o conjuntos elementales asociados de Lebesgue , que nos permitirán contruir la integral de Lebesgue coon una idea análoga a la de Riemann. $$ E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; 0\leqslant\big|f(x)-y_n\big|\lneq\varepsilon \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega $$

Función $\phi_n(x)$ creada con los conjuntos elementales de Riemann-Lebesgue

Los conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue o conjuntos elementales superiores e inferiores de Lebesgue , que nos permitirán contruir la integral de Lebesgue coon una idea análoga a la de Darboux. $$ E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; y_n\gneq\big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$$

Función $\phi_n(x)$ inferior creada con los conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue

Función $\phi_n(x)$ superior creada con los conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue

 
Con esta contrucción de los conjuntos $E_n$ se puede definir la función $\phi_n(x)$ y su integral, que al ser los conjuntos disjuntos nos facilitan muchas cuentas: $$ \phi_n(x) \overset{\text{def}}{=} \sum_{n\in\mathbb{N}_0} y_n \chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \implies \int\limits_{\bigcup \hspace{ -6.5pt }\raise-.5ex{\scriptsize | } \hspace{3pt} E_n} \!\! \phi_n \,\text{d}\mu \triangleq \sum_{n\in\mathbb{N}_0} y_n \, \mu(E_n) $$ Refinando los elementos en la secuencia $\{y_n\}_{n=0}$ o refinando el valor de $\varepsilon$ se llega a una función que cada vez dista tan poco como queramos. Recordamo que no hemos hablado de distancia, y que ningún artículo de este blog pretende ser un sustituto de ninguna asignatura. Al final pretendemos crear una sucesión de funciones escalonadas tal que $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\phi_n(x) \triangleq f(x)$ ya que se pueden construir funciones $\phi(x)$ tales que $\phi(x) \underset{\mu\text{ae}}{\overset{\text{def}}{=}} f(x) $ ( $\phi$ se define para que sean igual casi siempre a $f$ ), lo que implica $\displaystyle \int\limits_I \! \phi \,\text{d}\mu \triangleq \int\limits_I \! f\,\text{d}\mu \iff \int\limits_I \! \big| f-\phi\big| \,\text{d}\mu \triangleq 0 $ . En la próxima entrada veremos cómo hallar dichas integrales.

 
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(701) - Función característica [indicatriz] y función simple (con GIFs descargables)

Veamos primero de dónde viene el nombre de esta función y luego lo relacionaremos con qué hace: El nombre de característica viene de carácter, del latín character, y este del griego antiguo χᾰρᾰκτήρ - khărăktḗr «sello, seña, instrumento para grabar», derivado de χᾰρᾰ́σσω - khărắssō «yo afilo, hago una incisión, marco, acuño, escribo», (por eso se escribe con la letra griega $\chi$) ya que esta función da el carácter de cierto conjunto. Veamos cómo actúa: $$\begin{array}{ cccc }
\chi\raise-.5ex\hbox{|}_A : & \Omega & \longrightarrow & \{0,1\}\subsetneq\mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \begin{matrix} 0 & \big| & x\not\in A \subseteq \Omega \\ 1 & \big| & x\in A \subseteq \Omega \end{matrix}
\end{array}$$ Es decir, la función característica necesita un conjunto $A$ sobre del que tener una referencia a la hora de evaluar: para cada valor de $x$ en un supraconjunto (conjunto universal) $\Omega$ comprueba si está o no en $A$ , donde $A\subseteq\Omega$ . Según la respuesta a esta pregunta de sí/no devuelve $1$ o $0$ respectivamente.
En contextos de probabilidad y estadística se suele llamar función indicatriz (o indicadora) ya que indica, dice, afirma o niega que un elemento $x$ esté o no en el conjunto $X$ , por lo que se suele escribir como $\mathbf{1}_X$ o $\operatorname{I}_X$ . Del hecho de que nos devuelva $\text{NO,YES}$ hace, ya fuere por su genialidad o por su utilididad, que se use mucho en informática y en lógica booleana. $$\begin{array}{ cccc }
\mathbf{1}_X \; , \;\operatorname{I}_X : & \Omega & \longrightarrow & \big\{\text{NO,YES}\big\} \\
& x & \longmapsto & \displaystyle \begin{matrix} \text{NO} & \big| & x\not\in X \subseteq \Omega \\ \text{YES} & \big| & x\in X \subseteq \Omega \end{matrix}
\end{array}$$ Sin embargo, puede ser que no nos interese que la función nos devuelva los valores $\{0,1\}$ , sino que nos interesa que en un conjunto $A$ nos devuelva un valor determinado, $a$ (cuando pertenezca a dicho conjunto). Con esta premisa solo hay que reescalar la función característica, que llamamos función escalonada, pues hay un escalón en el conjunto $A$ , con una posible discontinuidad en $\operatorname{Fr}(A)$ : $$\begin{array}{ cccc }
a\chi\raise-.5ex\hbox{|}_{A} : & \Omega & \longrightarrow & \big\{0,a\big\}=a\{0,1\}\subsetneq\mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \begin{matrix} 0 & \big| & x\not\in A \subseteq \Omega \\ a & \big| &x\in A \subseteq \Omega \end{matrix}
\end{array}$$

El campo eléctrico como $E(t) = a\, \chi\raise-.5ex\hbox{|}_{A}(t)$ con $A$ unión de intervalos

Es más, se puede usar una técnica muy similar a esta para definir una sucesión de conjuntos, $\displaystyle \{A_k\}_{k=1}^n$ , donde una función $f(x)$ tome en cada instancia un valor determinado, $a_k$ : $ A_k \overset{\text{def}}{=} \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; f(x)=a_k \in \mathbb{R} \Big\} \subseteq \Omega $ , creando así una función escalonada.
Una vez ya con dichos conjuntos uno puede aproximar una función $f(x)$ mediante la suma de sendas funciones características reescaladas (escalonada): $$\begin{array}{ cccc }
\displaystyle \sum_{k=1}^n y_k \chi\raise-.5ex\hbox{|}_{E_k} : & \Omega & \longrightarrow & \{0\}\cup\big\{y_k\big/ k=1,\cdots , n \big\} \subsetneq\mathbb{R} \\
& x & \longmapsto & \displaystyle \begin{matrix} 0 & \big| & x\not\in \displaystyle \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -9.25pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 5pt }E_k \subseteq \Omega \\ y_k & \big| & x\in E_k \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -9.25pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 5pt }E_k \subseteq \Omega \end{matrix}
\end{array}$$ Es más, los conjuntos $\displaystyle E_k \overset{\text{def}}{=} \Big\{ x\in\Omega \,\big/\, f(x)=y_k \in \mathbb{R} \Big\} \subseteq \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -9.25pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 5pt }E_k \subseteq \Omega $ , son disjuntos de forma que en dicha suma habrá al menos $(n-1)$ sumandos nulos, $0$ , y un posible sumando distinto de $0$ , ya que al ser disjuntos los conjuntos, si $\displaystyle x\in\bigcup_{k=1}^n \hspace{ -9.25pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 5pt }E_k$ , entonces $x$ está en un único conjunto $E_k$ . El hecho de que los conjuntos sean disjuntos nos ayuda a la hora de futuras demostraciones y definiciones, y también para poder visualizarlo. Las funciones escalonadas que se escriben como una suma de características reescaladas (escalonadas), pero de intervalos disjuntos reciben el nombre de funciones simples.

Sucesión de funciones simples

Esta es solo una breve introducción a la función característica y a cómo aproximar una función $f(x)$ como suma de funciones de características, que es de lo que tratará el próximo artículo en una mayor profundidad.




Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(691) - El origen numérico de los logaritmos (con Teoría de Grupos)

Ya vimos en una entrada pasada cómo se propuso la prostaféreis, un algoritmo para agilizar el producto, pero aún así era muy costoso, largo, y tedioso. Por ejemplo, para calcular el producto de cinco números había que aplicarlo por lo menos tres veces con las sucesivas pérdidas de precisión en cada iteración. El matemático escocés John Napier of Merchinston ($1550-1617$) se le ocurrió una forma mejor. En términos modernos se puede imaginar su idea como buscar una aplicación $\psi$ que transformase un producto de elementos $xy$ del dominio en una operación $\star$ de sendas imágenes [de los factores]: un producto se convertía en operación computacionalmente mucho más fácil, $\star$ [luego veremos por cuál se decantó].

La aplicación satisface: $\psi(k\,xy) = \psi(x)\star\psi(y)$ para alguna constante $k$ , que se puede entender como un parámetro de reescala.
Para proceder se usarían los valores tanto $\psi(x)$ como $\psi(y)$ para hacer $\psi(x)\star\psi(y)=\psi(k\,xy)$ , y luego ver el qué argumento da $\psi(k\,xy)$ . Así pues solo hay que tener tabulado los valores $x\overset{\psi}{\mapsto}\psi(x)$ además de $y\overset{\psi}{\mapsto}\psi(y)$ (las búsquedas directas), asimismo como $\psi(k\, xy)\overset{\psi^{[-1]}}{\longmapsto} xy$ (la búsqueda inversa). El lector habitual del blog verá la rápida conexión con la prostaféresis.

 
Ya que el producto es conmutativo, la operación $\star$ también lo es: $$ \psi(k\,xy) = \psi(k\,yx) \implies \psi(x)\star\psi(y)=\psi(y)\star\psi(x) $$ Veamos que a su vez como el producto es asociativo, la operación $\star$ también lo es [usar $k^2$ sigue siendo un parámetro para simplificar resultados]: $$ \psi(k^2\,xyz) = \left\{ \begin{matrix} \psi(k\, (kxy)z) & = & \psi(kxy) \star\psi(z) & = & \big(\psi(x)\star\psi(y)\big)\star\psi(z)\\= & & = & & = \\\psi(k\, x(kyz)) & = & \psi(x) \star\psi(kyz) & = & \psi(x)\star\big(\psi(y)\star\psi(z)\big)\\ \end{matrix} \right.$$ Veamos cómo la operación $\star$ tiene un elemento neutro, $\psi(k^{-1})$ : $$ \psi(k\,tk^{-1})=\psi(t) = \psi(t)\star\psi(k^{-1}) = \psi(k^{-1})\star\psi(t)$$ Veamos ahora cómo todo elemento $\psi(t)$ tiene un elemento inverso $\psi(k^{-2}t^{-1})$ con la operación $\star$ [dada la conmutatividad de antes es tanto el inverso por la izquierda como por la derecha]: $$\psi(k\;t\,k^{-2}t^{-1})=\psi(k^{-1}) = \psi(t)\star\psi(k^{-2}t^{-1}) = \psi(k^{-2}t^{-1})\star\psi(t)$$ Sobre la aplicación $\psi$ queremos que sea inyectiva (elementos distintos tienen imágenes distintas), y además que sea biyectiva para que no haya problemas a la hora de multiplicar (que nos diera un posible producto erróneo). $$\begin{array}{ cccc }
\psi : & \mathbb{K}_1 & \longrightarrow & \mathbb{K}_2\\[2.5ex]
& t & \longmapsto & \psi(t) \\[8pt]
& k\,x_1\cdot x_2 & \longmapsto & \begin{matrix} \psi(x_1) & \star & \psi(x_2) \\ =&&= \\ y_1 & \star & y_2 \end{matrix}
\end{array} \qquad \begin{array}{ cccc }
\psi^{[-1]} : & \mathbb{K}_2 & \longrightarrow & \mathbb{K}_1 \\[2.5ex]
& z & \longmapsto & \psi^{[-1]}(z) \\[8pt]
& y_1 \star y_2 & \longmapsto & \begin{matrix} k & \psi^{[-1]}(y_1) & \cdot & \psi^{[-1]}(y_2)\\ & =&&= \\ k & x_1 & \cdot & x_2 \end{matrix}
\end{array}$$ Donde $\cdot$ es el producto usual en $\mathbb{K}_1$ , mientras que $\star$ es nuestra operación en $\mathbb{K}_2$ . La operación $\star$ realmente puede ser cualquiera que satisfaga las propiedades descritas, por lo que Napier usó $\star$ como la suma usual (según cuál se tome, cambia cómo es $\psi$ , por ejemplo con la suma se tiene que $\psi(k^{-1})=0$ para el neutro y $\psi(k^{-2}t^{-1})=-\psi(t)$ para el inverso). Llamó a su aplicación $\psi$ como logarithmus en latín, del griego antiguo λόγος (lógos) “palabra, razón” y ἀριθμός (arithmós) “número” , muy similar a la construcción número racional (también del latín) pero aquí el apellido racional indicando “razonadamente, con una razón de ser”. Napier definió su logaritmo $\operatorname{logN}$ : $$ n = 10^7\,\big(1-10^{-7}\,\big)^L \overset{\triangle}{\iff} L\overset{\text{def}}{=}\operatorname{logN} n$$ La relación entre el logaritmo de Napier , $\operatorname{logN}$ , y el logaritmo natural, $\ln$ , es: $$ \operatorname{logN} n \triangleq \frac{\displaystyle \ln\left(\frac{n}{10^7}\right)}{\ln\big(1-10^{-7}\,\big)} \iff \ln n \triangleq \ln\big(1-10^{-7}\,\big)\operatorname{logN} n + 7\ln 10$$ Es más, ambos para algún $n$ toman el mismo valor, $\displaystyle \frac{7\ln10}{1-\ln(1-10^{-7}\,)}$ . De esto se deducen las propiedades $$\begin{matrix} \displaystyle \operatorname{logN}\sqrt{x_1x_2\;} & = & \displaystyle \frac{\operatorname{logN}x_1+\operatorname{logN}x_2}{2} \\[3pt] \displaystyle \operatorname{logN}\big(10^{-7}x_1x_2\big) & = & \displaystyle \operatorname{logN}x_1+\operatorname{logN}x_2 \\[5pt] \displaystyle \operatorname{logN}\bigg(10^7\sqrt{\frac{x_1}{x_2}\;}\,\bigg) & = & \displaystyle \frac{\operatorname{logN}x_1-\operatorname{logN}x_2}{2} \\[3pt] \displaystyle\operatorname{logN}\Big(10^7\frac{x_1}{x_2}\Big) & = & \displaystyle \operatorname{logN}x_1-\operatorname{logN}x_2 \end{matrix}$$ Nótese que el logaritmo de Napier no satisface exactamente esas propiedades tan directas de los logaritmos a las que estamos muy habituados, en parte por la presencia de esa constante $10^{-7}$ . Unos pocos años después, Henry Briggs ($1561-1630$) simplifició en gran medida el trabajo de de Napier, creando el logaritmo briggsiano o común [decimal], $\log_{10}$ o también $\lg$ . Con este mero cambio, se popularizó muchísimo más el trabajo de Napier al hacerse más intuitivo, pues el logaritmo decimal de un número se puede entender como el número de cifras que tiene en su representación decimal (y las cifras del número original por cómo está entre dos unidades contiguas en una escala logarítmica decimal).

Ahora el algortimo para multiplicar $xy$ ha pasado a consultar los valores de $\log(x)$ además de $\log(y)$ [independientemente de la base], calcular $\log(x)+\log(y)$ y consultar en una búsqueda inversa el valor de $\operatorname{antilog}\big(\log(x)+\log(y)\big)$ (con respecto a la misma base que antes, siendo $\operatorname{antilog}$ la función antilogaritmo, es decir, la aplicación inversa al logaritmo). $$ xy = x\cdot y \iff xy = \operatorname{antilog}\big(\log(x)+\log(y)\big) $$ Es más, esto no se complica innecesariamente comparado con la prostaféresis, ya que: $$\prod_{k=1}^n x_k = x_1\cdot\ldots\cdot x_n \iff \prod_{k=1}^n x_k = \operatorname{antilog}\left(\sum_{k=1}^n\log(x_n)\right) $$ Que es una forma muy efectiva, útil y rápida para programar la función factorial, $x!$ , en algunos lenguajes como $R$ . Un pequeño esquema de lo que planteamos es: $$ \begin{matrix} \{x,y\} & \longrightarrow & x\cdot y \\ \underset{\text{Logartimo}}{\Downarrow} & & \underset{\text{Antilogaritmo}}{\Uparrow} \\ \big\{\log(x),\log(y)\big\} & \overset{\text{Suma}}{\implies} & \log(x)+\log(y) \end{matrix} $$ Para multiplicar varios números es mucho más efectivo usar logaritmos:

• Para multiplicar números usando el algoritmo logarítmico, primero se hace una búsqueda directa de los logaritmos de los factores en tablas, se calcula su suma total, y por último con una búsqueda inversa se tiene el producto.
• Para multiplicar números usando el algoritmo prostaferético, primero hay que hacer parejas y aplicar el algoritmo para cada una de las parejas (si hay un número impar de factores se omite uno y se lo lleva directamente a la próxima etapa), ahora hay que volver a hacer parejas con los productos intermedios y así recursivamente hasta que se llega al producto final.

Para multiplicar dos números en prostaféresis hay que hacer primero dos búsquedas inversas, una suma y una resta, dos búsquedas directas, y por último una suma y dividir entre $2$ , mientras que con logaritmos solo hay que hacer primero dos búsquedas directas, una suma, y por último una búsqueda inversa.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(653) - El sueño del universitario (Sophomore's dream)

Si tuviésemos que ver unas identidades con integrales y series, que son quizá «demasiado bonitas para ser verdad», serían el llamado Sueño del Universitario (Sophomore's dream [sophomore es un estudiante de 2º de universidad ] ) . Las identidades son:
$$ \boxed{ \begin{matrix} \displaystyle \int_0^1 x^{-x}\;\text{d}x & = & \displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^{-n} & \approx & 1.291285\dots \\ \displaystyle \int_0^1 x^x \;\text{d}x & = & - \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n} & \approx & 0.7834305\dots \\ \end{matrix} } $$
Estas identidades las dedujo el matemático suizo Johann Bernoulli ( $1667-1748$ ) en $1697$ , quien fuera mentor de Euler.
Tanto $x^{-x}$ como $x^x$ no tienen integrales indefinidas que se puedan expresar en términos de sumas finitas y composiciones de funciones elementales, sin embargo, se puede hallar su integral definida a través de series de una forma sencilla: Primero se expresan $x^{-x}$ y $x^x$ como exponenciales, $e^{-x \ln(x)}$ y $e^{x \ln(x)}$ respectivamente, luego usando la serie de McLaurin de la exponencial, $\displaystyle e^t = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}t^n $ . Al llegar a este momento pasamos a una integral de una serie (que bajo las hipótesis correctas) [y] dada la linealidad de la integral, se "intercambian": se pasa a una serie de integrales. Cada una de esos integrandos, salvo constantes, son $x^n\ln^n(x)$ , que integrando por partes y evaluando en el intervalo $[0,1]$ , obtenemos el resultado de la integral. Estos resultados son de los pocos que son muy bonitos para ser verdad, pero aún así lo son. Nótese la similitud integrando-sumando: $x^{-x}$ con $n^{-n}$ , y además $x^x$ con $-(-n)^{-n}$ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(619) - Integral de Riemann (Origen de la idea) Teorema del Valor Medio de Lagrange (con GIFs descargables)

El teorema del valor medio de Lagrange (en su formulación con integrales) nos asegura que dado una función $f$ integrable en un intervalo $[a,b]$ , existe un punto intermedio $\eta$ al intervalo tal que $f(\eta)$ es la altura promedio de la función $f$ , es decir, que $f(x)$ y $f(\eta)$ tienen la misma integral en $[a,b]$ : \begin{align*}
\int_a^b\!\!f(x) \text{d}x & = \int_a^b\!\!f(\eta) \text{d}x \\ & = f(\eta)(b-a)
\end{align*}
Si en vez de considerar todo el intervalo $[a,b]$, consideramos un subintervalo $[x_{k-1},x_k]$ , entonces pasamos a tener un punto intermedio $\eta_k$ , y el resultado sigue siendo válido: \begin{align*} \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(x) \text{d}x & = \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(\eta_k) \text{d}x \\
& = f(\eta_k)(x_k-x_{k-1}) \\
& = f(\eta_k){\Delta x}_k
\end{align*} Si ahora sumamos todos los resultados para cada uno de estos subintervalos $[x_{k-1},x_k]$ , y sabiendo que $\displaystyle \int_a^b\!\!f(x) \text{d}x = \sum_{k=1}^n \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(x) \text{d}x $ , entonces tenemos: \begin{align*}
\int_a^b\!\!f(x) \text{d}x & = \sum_{k=1}^n \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(\eta_k) \text{d}x \\
& = \sum_{k=1}^n f(\eta_k)(x_k-x_{k-1}) \\
& = \sum_{k=1}^n f(\eta_k){\Delta x}_k \\
\end{align*}Así pues, si queremos hallar el valor de la integral $\displaystyle \int_a^b f $ , esto se reduce a hallar el correspondiente $\eta_k$ (o en su defecto $f(\eta_k)$ ) para cada uno de los $n$ subintervalos $[x_{k-1},x_k]$ . Sin embargo, esta tarea no es especialmente trivial, ya que muchas veces implica resolver dicha integral para luego hallar o bien $\eta_k$ o bien $f(\eta_k)$ . Empero podemos encontrar una familia $T$ de puntos intermedios asociados $t_k\in[x_{k-1},x_k]$ tal que cada uno de los $t_k$ esté suficientemente "cerca" de $\eta_k$ , y que sendos valores ( $f(t_k)$ y $f(\eta_k)$ respectivamente) no sean muy diferentes, a lo sumo una cantidad $\varepsilon_k$ :
$$ \forall \delta_k \gneq 0 \, , \, \exists t_k \in B(\eta_k, \delta_k) \,\big/\, 0\leqslant \big|f(\eta_k)-f(t_k)\big|\lneq \varepsilon_k \leqslant \max_{k=1}^n\big(\varepsilon_k\big) \overset{\text{def}}{=:} \varepsilon $$ Con todo esto podemos hallar una suma de áreas, que llamaremos suma asociada de Riemann $\sigma(f,\mathcal{P}_n,T)$ , tal que se aproxime suficientemente bien al valor de la integral $\displaystyle \int_a^b f $ , y que difieran como muchísimo $\displaystyle \max_{k=1}^n\big(\varepsilon_k\big)(b-a)$ : $$ \begin{array}{ccccc}
0 & \leqslant & \big|f(\eta_k)-f(t_k)\big| & \lneq &\varepsilon \\
-\varepsilon &\lneq & f(\eta_k)-f(t_k) & \lneq & \varepsilon \\
-\varepsilon{\Delta x}_k &\lneq & f(\eta_k){\Delta x}_k-f(t_k){\Delta x}_k & \lneq & \varepsilon{\Delta x}_k\\
\displaystyle \sum_{k=1}^n-\varepsilon{\Delta x}_k &\lneq & \displaystyle \sum_{k=1}^n f(\eta_k){\Delta x}_k-\sum_{k=1}^n f(t_k){\Delta x}_k & \lneq & \displaystyle \sum_{k=1}^n \varepsilon{\Delta x}_k\\
-\varepsilon(b-a) &\lneq & \displaystyle \int_a^b\hspace{-3mm}f -\sigma(f,\mathcal{P}_n,T) & \lneq &\varepsilon(b-a) \\
0 &\leqslant & \displaystyle \Bigg| \int_a^b\hspace{-3mm}f -\sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \Bigg| & \lneq &\varepsilon(b-a) \\
\end{array} $$ En este GIF animado podemos observar cómo variando el número $n$ de subintervalos $[x_{k-1},x_k]$ se aproxima mejor el valor de la integral.

En este GIF animado podemos observar cómo variando la familia $T$ de puntos intermedios asociados varía la aproximación a la integral.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(613) - Valor principal de Cauchy. Integrando al límite y al infinito

Aclaremos una cosa: esta entrada no trata el problema del valor inicial de Cauchy para ecuaciones diferenciales (en el que se halla la única solución a una ecuación diferencial dada una condición inicial concreta).

Supongamos que tenemos una función $f(x)$ de la que queremos hallar su integral en el intervalo $[a,b]$ (realmente da igual si es abierto o cerrado). Sin embargo, esta función no es continua en todo el intervalo, sino que tiene una discontinuidad en algún punto intermedio $\xi\in[a,b]$ .

• Si fuera una discontinuidad evitable, es decir, si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) = \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) \not = f(\xi) $, entonces la integral sería: $\displaystyle \int_a^b \hspace{-5pt} f = \int_a^{\to\xi^{-}} \hspace{-8pt} f+ \int_{\to\xi^{+}}^b \hspace{-3.5pt} f $ .
• Si fuera una discontinuidad inevitable de salto finito ( $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) - \lim_{x\to\xi^{+}} f(x)\lneq\infty$ ), es decir, si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) \not = \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) $, entonces la integral sería: o bien $\displaystyle \int_a^b \hspace{-5pt} f = \int_a^{\to\xi^{-}} \hspace{-8pt} f + \int_\xi^b \hspace{-6pt} f $ (si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) = f(\xi) $ ), o bien $\displaystyle \int_a^b \hspace{-5pt} f = \int_a^\xi \hspace{-6pt} f + \int_{\to\xi^{+}}^b \hspace{-3.5pt} f $ (si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) = f(\xi) $ ).
• Si fuera una discontinuidad inevitable de salto infinito ( $\displaystyle |\lim_{x\to\xi^{-}} f(x) - \lim_{x\to\xi^{+}} f(x)| = \infty$ ) es decir, si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) = \pm\infty = \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) $ [particularizando al caso que queremos estudiar], entonces la integral numérica no tendría del todo sentido siempre: 

1. Si ambos límites laterales convergen en valor absoluto a infinito y tienen el mismo signo, la integral numérica da $\pm\infty$ . 
2. Sin embargo, si ambos convergen en valor absoluto a infinito, pero tienen distinto signo, uno podría preguntarse cómo calcular [numéricamente] el valor de la integral. La respuesta es a través de un límite: 

$$\boxed{ ―\hspace{-11.5pt}\int_a^b \hspace{-5pt} f \overset{\text{def}}{=} \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} \Bigg( \int_a^{\xi-\varepsilon}\hspace{-5pt} f + \int_{\xi+\varepsilon}^b \hspace{-5pt} f \Bigg) }$$ 

Nótese que se está evaluando la integral en $[a,b]\setminus[\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon] \triangleq [a,\xi-\varepsilon) \cup (\xi+\varepsilon,b] $, y por las propiedades de la integración, la integral en ese subintervalo (bajo ciertas condiciones), $\displaystyle \int_{\xi-\varepsilon}^{\xi+\varepsilon}\hspace{-5pt} f = 2\varepsilon\cdot f(\eta) \!\underset{\varepsilon\to 0}{\longrightarrow}\! 0 $ donde $\eta\in (\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon)$ .

Con la definición del valor principal de Cauchy, uno puede dar un resultado numérico a integrales tipo: $ \displaystyle ―\hspace{-11.5pt}\int_{-1}^2 \frac{1}{x} \text{d}x = \ln 2 $ , o puede incluso definir funciones más difíciles como la integral logarítmica (de la que hablaremos más adelante): $$ \displaystyle \operatorname{li}(x) \overset{\text{def}}{=} ―\hspace{-11.5pt}\int_0^x \frac{1}{\ln(t)} \text{d}t $$

El valor principal de Cauchy es una generalización para ciertas integrales numéricas que sigue abarcando los casos más simples.
En cuanto a notación el valor principal de Cauchy se denota como $\displaystyle ―\hspace{-11.5pt}\int$ que corresponde al comando \fint en LaTeX , y en otras ocasiones $\displaystyle \int_L^\ast$ , $\displaystyle \mathcal{C}\int$ , $\displaystyle (CPV)\int$ , $\displaystyle P\int$ , $\displaystyle PV\int$ , $\displaystyle \operatorname{P.V.}\int$ , $\displaystyle P_v\int$ , $\displaystyle \operatorname{V.P.}\int$ , $\displaystyle \operatorname{p.v.}\int$ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(599) - Derivada prima, o derivando respecto a dos sistemas de referencia diferentes

En el día de hoy traemos una entrada sobre qué pasa cuando derivamos una misma magnitud respecto a la misma variable, pero en dos sistemas de referencia distintos.

Supongamos que tenemos $\mathcal{S}=\{O;\mathcal{B}\}$ , un sistema de referencia [afín o no], no-inercial, centrado en $O$ , y $\mathcal{S}^\prime=\{O^\prime;\mathcal{B}^\prime\}$ , un sistema de referencia [afín o no], inercial (pues cumple la I Ley [traslacional] de Newton – Ley de la Inercia [traslacional]), centrado en $O^\prime$ (donde $\mathcal{B}\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath},\widehat{\jmath}, \widehat{k}\Big\}$ , y $\mathcal{B}^\prime\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath}^\prime,\widehat{\jmath}^\prime, \widehat{k}^\prime\Big\}$ son sendas bases).
Supongamos también que $\mathcal{S}$ rota respecto a $\mathcal{S}^\prime$ a una velocidad angular $\vec{\omega}$ .

Supongamos que $\displaystyle O\vert_{t=t_0}\equiv O^\prime\vert_{t=t_0}$ , y consideremos un punto genérico $P$ con unas coordenadas específicas respecto a la base de cada sistema de referencia, pues $P$ es el trasladado de $O$ por $\vec{r}$ , y a la vez, el trasladado de $O^\prime$ por $\vec{r}^\prime$ (en terminología de espacio afín), $P\equiv O+\vec{r} \equiv O^\prime+\vec{r}^\prime$ .

¿Qué ocurre al pasar de un instante genérico $t$ a uno $t+\text{d}t$ con $P$ ?
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}^\prime$ .
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}^\prime$ .

Nótense las relaciones fundamentales:
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición relativa en $\mathcal{S}^\prime$ )
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición absoluta ya que $P$ se mueve respecto de $\mathcal{S}$ a una velocidad $\dfrac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}$ )
$\vec{\omega}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\text{d}^\prime\vec{\theta}}{\text{d}t}$ (definición de velocidad angular de rotación de $\mathcal{S}$ respecto a $\mathcal{S}^\prime$ )

Ahora comparando cómo ha variado su posición, $\text{d}^\prime\vec{r}$ , en el intervalo $\text{d}t$ :
$$\boxed{ \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t} = \frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}+\vec{\omega}\times\vec{r} }$$ (Si además el sistema $\mathcal{S}$ se trasladase respecto a $\mathcal{S}^\prime$, se añade un sumando en el 2º término que fuese dicha velocidad respecto a $\mathcal{S}^\prime$ , $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{R}}{\text{d}t}$ .)
Nótese que la derivada prima $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t}$ sigue siendo una aplicación lineal, y que ambas derivadas solo se diferencian en ese término extra , $\vec{\omega}\times\vec{r}$ (otra aplicación lineal), la cual solo se anula si ambos son paralelos, $\vec{\omega}\parallel\vec{r}$ , donde está contemplado el caso que $\vec{\omega}\equiv\vec{0}$ (por lo que si un sistema de referencia no rota respecto al otro, ambas derivadas son iguales [la clásica y la prima] ).
Esta deducción con el vector $\vec{r}$ , se puede hacer para cualquier vector, y se llegaría a la misma relación.

Una curiosa relación cuanto menos, ya que la derivada prima de un vector constante, $\vec{c}$ , no es necesariamente $\vec{0}$ , sino que puede hasta ser un vector que varíe en función del tiempo, $\vec{\omega}(t)\times\vec{c}$ .
Es más, el núcleo o kernel de esta derivada prima, si definimos la matriz $\displaystyle \boldsymbol{\Omega}=\begin{pmatrix} 0 & \omega_z & -\omega_y \\ -\omega_z & 0 & \omega_x \\ \omega_y & -\omega_x & 0 \end{pmatrix}$ , viene definido por la ecuación diferencial: $\displaystyle \operatorname{Ker}\left( \frac{\text{d}^\prime}{\text{d}t}\right) = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t} + \vec{\omega}\times\vec{P} = \vec{0} \right\} = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t} = \boldsymbol{\Omega} \vec{P} \right\} = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \vec{P} = e^{\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t} \vec{P}_0 \right\}$ con $e^{\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t}$ , o bien $e^{\int\boldsymbol{\Omega}}$ para simplificar la notación, es la matriz exponencial de [la matriz] $\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t$ donde el elemento $i,j-$ésimo está definido por $\displaystyle {\left( \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t \right)}_{i,j} \triangleq \int_{t_0}^t {\left( \boldsymbol{\Omega} \right)}_{i,j} \;\text{d}t$ .


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(593) - Cuando la regla del producto falla en el caso más simple. Ecuación de Meshchérskiy-Tsiolkóvskiy

En el día de hoy intentamos entender una paradoja al usar mal la regla del producto al derivar: Partamos de la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] (no en su formulación newtoniana, sino con el Teorema del momento lineal), y de la definición newtoniana de momento lineal ( $\vec{p}$ ). $$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t}\qquad\wedge\qquad \vec{p}\overset{\text{def}}{=} m\vec{v}$$ Ahora combinemos ambas, y apliquemos la regla de la cadena: $$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}(m\vec{v})}{\text{d}t} \implies \sum\vec{F} \overset{???}{=} \frac{\text{d}m} {\text{d}t}\vec{v} + m\frac{\text{d}\vec{v}} {\text{d}t} $$ Esto no cumple el Principio de Relatividad bajo las Trasformaciones galileanas (Invarianza galileana): para un objeto de masa variable cuando $\displaystyle \sum\vec{F}\equiv\vec{0}$ , la expresión anterior implicaría que permanece en reposo en un sistema que originalmente está en reposo, pero lo acelera una "fuerza ficticia" $\displaystyle -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}\vec{v}\not\equiv\vec{0}$ en un sistema que se mueve con velocidad $\vec{v}$ .

Para resolver esta paradoja aparente, consideremos una acreción de masas (colisión donde se suman las masas), pues es más intuitivo que el caso de eyección (donde también se llega al mismo resultado): Consideremos en un instante $t$ dos partículas cuyas masas instantáneas son $\text{d}m$ , y $m$ con sendas velocidades instantáneas $\vec{v}_1$ , y $\vec{v}$ , por lo que tienen un momento lineal total de $\vec{p}\vert_{t}=\text{d}m\cdot\vec{v}_1+m\vec{v}$ .

Tras la colisión, en un instante $t+\text{d}t$ , la masa instantánea será $m+\text{d}m$ , y tendrá una velocidad instantánea $\vec{v}+\text{d}\vec{v}$ , ergo tiene un momento lineal $\vec{p}\vert_{t+\text{d}t}=(m+\text{d}m)\cdot(\vec{v}+\text{d}\vec{v})$ .

El impulso instantáneo es $\vec{I}\overset{\text{def}}{=}\vec{p}\;\big\vert_t^{t+\text{d}t}=\text{d}\vec{p} = \text{d}m\cdot(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\text{d}\vec{v}$ (despreciando el producto de dos diferenciales) que ha transcurrido en un intervalo $\text{d}t$ , en $[t,t+\text{d}t]$ .

Nótese que $\vec{v}-\vec{v}_1$ es la velocidad relativa de la partícula de masa instantánea $m$ respecto a la otra partícula, la de masa instantánea $\text{d}m$ .

Si se halla la fuerza, se llega a una expresión similar, pero corregida respecto a la inicial ( $\vec{F}\neq m\vec{a}$ ) : $$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} = \frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} }$$ El término $\displaystyle \vec{F}_\text{reac}\overset{\text{def}}{=}-\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1)$ es la fuerza de reacción, es decir, la fuerza ejercida sobre el sistema ya que hay una variación de masa. Si se pasa al otro término vemos una relación mucho más familiar: $$\vec{F}_\text{ext} + \vec{F}_\text{reac} = m\vec{a}$$ Es justamente por este término de donde surge la paradoja: la fuerza que aparece en la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] hace referencia a la suma de todas las fuerzas externas, es decir, a la fuerza neta (o resultante), pero una variación en la masa del objeto se puede deber a una fuerza interna, a un empuje, etc.
De aquí se saca la conocida Ecuación de Meshchérskiy (también transliterado como Meshchérskij , del ruso Меще́рский , también escrito como Меще́рскій anterior a la reforma ortográfica de $1918$), donde $\vec{v}_\text{rel} =-(\vec{v}-\vec{v}_1) $ : $$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} + \frac{\text{d} m}{\text{d}t}\vec{v}_\text{rel} = m \frac{\text{d} \vec{v}}{\text{d}t} }$$ Su caso particular con $\vec{F}_\text{ext}\equiv\vec{0}$ se conoce como Ecuación del cohete de Tsiolkóvskiy (también transliterado como Tsiolkóvskij , del ruso Циолко́вский , también escrito como Ціолко́вскій anterior a la reforma ortográfica de $1918$), que implica resolver la ecuación diferencial: $$ -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) = m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} \iff -\frac{\text{d}m}{m} = \frac{\text{d}\vec{v}}{\vec{v}-\vec{v}_1} $$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(577) - ¿Qué es un vector? 4 "definiciones"-interpretaciones según el tipo de matemático

En el día de hoy traemos una entrada sobre qué es un vector según diferentes enfoques.

Antes de empezar, cabe resaltar que para tanto algebristas como analistas prefieren representar un vector como sus componentes tal cual, mientras que los físicos pueden preferir representarlo como el producto de su módulo por su vector unitario correspondiente.

· Para un informático, o un estadista-probabilista, un vector es una forma eficaz de almacenar información que aparece como un listado o un array de diferentes números donde se considera la posibilidad de haber elementos repetidos.

· Para un algebrista, un vector es un elemento de un espacio vectorial: una n-tupla [pareja, trío, cuarteto…] de variables, constantes, parámetros o incluso funciones que vive en un espacio vectorial.

· Para un analista, su concepción de vector es muy similar a la de un algebrista, pues lo ve como una yuxtaposición ordenada y consecutiva de funciones (o similar).

· Para un físico, sin embargo, la concepción de un vector es la que más se asemeja a la que se da en ESO y Bachillerato: un vector es un “viaje”, una distancia flechada entre dos puntos del espacio bi- o tridimensional (uno que es el origen y otro, el destino)

Esto está muy bien para definir los vectores como posición ( $\vec{r}$ ), desplazamiento ( $\Delta\vec{r}$ ), o fuerza ( $\vec{F}$ ), pero, ¿y vectores como velocidad ( $\vec{v}$ ), aceleración ( $\vec{a}$ ), campo ( $\vec{E},\vec{g},...$ ), o momentos ( $\vec{p},\vec{L},...$ )? Muy fácil: mediante derivadas, integrales, límites, y productos escalares y vectoriales. Toda la física se puede describir mediante el vector posición ( $\vec{r}$ ) y aplicado a varios operadores de derivación, integración,… Esto es el inicio de la cinética.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.