(929) - Todo es una aproximación lineal - Relatividad y polinomios de Taylor

La gran mayoría de los problemas tanto en matemáticas como en física no son problemas lineales. Un claro ejemplo es el péndulo simple, cuya solución hace falta de funciones elípticas. Es más, el problema del péndulo doble tiene una solución analítica, pero no cerrada (es decir, la solución es diferenciable en un punto con su serie convergendiendo a ella, pero no se puede expresar como una combinación finita de otras funciones bien definidas). Sin embargo, la existencia de puntos de equilibrio, nos dice que hay soluciones constantes bajo ciertas condiciones iniciales, lo que nos permite estudiar una muy buena aproximación: como las pequeñas oscilaciones o perturbaciones en torno a un punto de equilibrio. Volviendo al ejemplo del péndulo simple: $$ \ddot{\theta}+{\omega_0}^2\sin\theta=0 \implies \theta(t)\approx\theta_\mathrm{eq}+\delta\theta(t) = \begin{cases} \displaystyle \theta_0\cos(\omega_0t)+\frac{\dot{\theta}_0}{\omega_0}\sin(\omega_0t) & \theta_\mathrm{eq}=0 \\ \displaystyle \pm\pi + (\theta_0\mp\pi)\cosh(\omega_0t)+\frac{\dot{\theta}_0}{\omega_0}\sinh(\omega_0t) & \theta_\mathrm{eq}=\pm\pi \end{cases}$$ Este tipo de aproximaciones también se pueden ver en la relación entre mecánica clásica y relatividad. Muchas de las fórmulas de mecánica clásica, por ejemplo para el momento lineal o la energía cinética son en realidad las aproximaciones de Taylor a primer orden del momento lineal relativista y de la energía relativista. $$ \vec{p} = \gamma m_0 \vec{v} \implies T_1(\vec{p},0)(\vec{v}) = \underbrace{m_0\vec{v}}_\text{Momento lineal clásico} + \underbrace{\mathcal{O}\big(v^3\big)}_\text{Correcciones relativistas del momento lineal} \\ E^2 = (pc)^2 + {\big(m_0 c^2\big)}^2 \implies T_1(E,0)\big(v^2\big) = \underbrace{m_0 c^2}_\text{Energía interna} + \underbrace{\frac{1}{2}m_0 v^2}_\text{Energía cinética clásica} + \underbrace{\mathcal{O}(v^4)}_\text{Correcciones relativistas de la energía} $$
Otro ejemplo es el estudio de oscilaciones de un oscilador anarmónico, donde la energía potencial $U(x)$ viene dada por: $$ U(x) = \underbrace{U(x_\mathrm{eq}) + \frac{1}{2}m{\omega_0}^2(x-x_\mathrm{eq})^2}_\text{Términos armónicos} + \underbrace{\frac{1}{6}U^{(3)}(x_\mathrm{eq})\,(x-x_\mathrm{eq})^3+\frac{1}{24}U^{(4)}(x_\mathrm{eq})\,(x-x_\mathrm{eq})^4+\cdots}_\text{Términos estrictamente anarmónicos}$$ Otros ejemplos serían las leyes de Boyle-Mariotte, Charles y Gay-Lussac, o en el caso más general la ley de los gases ideales son en realidad aproximaciones asintóticas del comportamiento de un gas real.
Muchas veces no pensamos que realmente son aproximaciones de otras fórmulas, pero las tenemos tan interiorizadas y funcionan tan bien que uno ni se lo plantea. Muchas veces en física a la hora de estudiar un suceso no nos importa su comportamiento global o en todo momento, ya que puede entrañar mucha dificultad, sino lo que hacemos es estudiar su comportamiento asintótico en puntos concretos como en el infinito o puntos de equilibrio. Con esto no obtenemos una solución exacta, sino una aproximación local a la solución que nos permite estudiar el problema en un entorno y dar sucesivas aproximaciones. Muchas veces las aproximaciones se utilizan por conveniencia, ya que unos términos dominan sobre otras al ser varios órdenes de magnitud mayores.
Hace relativamente poco recuerdo que un profesor nos contó que realmente en física los distintos fenómenos y sucesos no son independientes ni aislados, sino que se dan muchas veces varios a la vez, pero estudiamos cada uno en una región donde predominan sobre el resto para enterder bien su comportamiento. Esto es lo que hacemos muchas veces: estudiar el comportamiento local para intentar entender mejor el general al descomponerlo.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(881) - ¿Cuál es la altura máxima de una montaña de arena?

Supongamos que estamos en el campo o en la playa, y empezamos a hacer un montículo de arena. A todos nos ha pasado que, sobre todo cuando la arena está más seca, al verter arena esta se desliza por la pendiente aumentando la base de la montaña de arena, pero no su altura.

Dado un radio $r$ de la montaña de arena, ¿cuál es la altura máxima que puede tener? La respuesta está en la física. Hay que considerar que cada grano de arena de masa $m$ en la pendiente de ángulo $\theta$ sufre una fuerza (gravedad) que lo empuja pendiente abajo. Esta fuerza es $mg\sin\theta$ . Sin embargo, al estar en contacto con la propia pendiente de arena, hay una fuerza de fricción que se resiste al movimiento, de magnitud $\mu mg\cos\theta$ , donde $\mu$ es el coeficiente de fricción. El ángulo crítico donde esto ocurre es cuando cada grano de arena está en equilibrio estático, es decir, cuando ambas son iguales, $mg\sin\theta_\text{crit} = \mu_S mg\cos\theta$ , por lo que $\mu_S = \tan\theta_\text{crit}$ , donde $\mu_S$ es el coeficiente de fricción estática.

Por pura trigonometría, la reñación entre el ángulo, la altura $h$ y el radio $r$ viene dado por: $$ \mu_S = \tan\theta_\text{crit} = \frac{h}{r} \implies h = \mu_S\, r $$ Es decir, la altura máxima es directamente proporcional al radio.

Lo que implica un volumen de: $$ V = \frac{1}{3}\pi\mu_S\, r^3 $$ Y un área de: $$ A = \pi r^2 \left( 1+\sqrt{1+{\mu_S}^2\;}\; \right) $$ Donde se puede aproximar según los valores de $\mu_S$ $$ A = \pi r^2 \left( 2+\frac{{\mu_S}^2}{2}+\cdots \right) \qquad \mu_S\to0 \\ A = \pi r^2 ( 1+\mu_S + \cdots ) \qquad \mu_S\to\infty $$ El límite $\mu_S\to0$ corresponde a donde todo grano de arena se cae y la montaña son dos círculos puestos uno encima de otro (altura y volumen $0$), mientras que el límite $\mu_S\to\infty$ corresponde a que la fricción es tal que ningún grano de arena cae, y la montaña es un cilindro infinito.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(827) - La geometría del movimiento: Cinemática. Física matemática

Ya en el siglo XIII los escolásticos medievales se dieron cuenta que había dos formas de estudiar el movimiento: lo que lo produce (la causa), o lo que produce (el efecto).
Mientras que la dinámica es la rama de la mecánica que estudia cómo las fuerzas afectan a un cuerpo, la cinemática es la rama que estudia el movimiento en sí, sin importan qué o cómo se haya producido. El término cinemática viene del francés cinématique, que acuñó Ampère en $1834$, y este del griego antiguo κίνημα - kínēma «movimiento» de de κῑνέω - kīnéō «yo muevo, cambio [algo] de sitio». El término cinética (literalmente «que pone en movimiento»), engloba la dinámica y la cinemática, viene del griego antiguo κῑ́νησῐς - kī́nēsis «movimiento, cambio, conmoción» y este otra vez del mismo verbo.

Cuando estaba cursando la asignatura de Geometría de Curvas y Superficies siempre tenía un pensamiento continuo en mi cabeza. Esto es una clase de cinemática muy larga. Y así era, pues se podría haber planteado meramente desde un punto de vista puramente físico: Tenemos una partícula en una posición $\vec{r}$ que es función del tiempo $t$ y se mueve con una velocidad $\vec{v}=\dot{\vec{r}}$ a lo largo de una curva $\gamma$ , cerrada o no, o bien por una superficie $\Sigma$ , cerrada o no.

A veces usan se utilizan recursos matemáticos, como los hodógrafos (diagramas de velocidad), un término del griego antiguo ὁδός - hodós «camino, viaje, trayecto», y del sufijo -γραφω - -graphō , de γράφω - gráphō «yo grabo, inscribo, rasgo, escribo». En un hodógrafo en vez de representar el vector posición $\vec{r}(t)$ desde el origen $O$ de un sistema de coordenadas $\mathscr{S}$, y el vector velocidad $\dot{\vec{r}}(t)$ con origen en $\vec{r}(t)$ , se representa en otro gráfico el vector velocidad $\dot{\vec{r}}(t)$ desde el origen $0$ del gráfico. Así se puede ver qué forma tiene la velocidad a lo largo del recorrido. Un ejemplo brillante, y de donde saqué la idea para este artículo es de la siguiente colaboración.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(757) - Cuando Gauss usó la Estadística para la Física y creó una nueva rama de la Mecánica

Es innegable que Sir Isaac Newton ($1643-1727$) revolucionó la Física con la publicación de su Principia Mathematica en $1687$ donde no solo introdujo la Ley de gravitación universal, sino que además introdujo tres axiomas que hoy día se conocen como las (tres) leyes de Newton, los postulados de la Mecánica newtoniana. Cabe resaltar la Ley Fundamental de la Dinámica (II Ley), que se suele presentar como $\vec{F}=m\vec{a}$ , o al decir que la aceleración es la segunda derivada respecto al tiempo de la posición, $\vec{F}=m\ddot{\vec{r}}$ , o sea, $\displaystyle \ddot{\vec{r}}=\frac{\vec{F}}{m}$ .
Toda la mecánica newtoniana trata sobre fuerzas y cómo afectan a las partículas. Sin embargo, desde finales del $\text{siglo XVIII}$ hay varias reformulaciones de la mecánica (clásica) que trabajan en su mayoría las energías en vez de las fuerzas, por ejemplo de mecánica lagrangiana (de $1788$ , donde se introducen coordenadas generalizadas), la hamiltoniana (de $1833$ , donde introduce además momentos conjugados), la routhiana (de $1855/1877$ , que es una mezcla de la dos últimas), y la que vino con la ecuación de movimiento de Gibbs-Appel (de $1879/1900$).
Sin embargo, Gauss ($1777-1855$) propuso aplicar su procedimiento de mínimos cuadrados (descubierto independientemente por él en $1809$ y por Legendre en $1805$) a una versión de la II Ley de Newton, en su artículo de $1829$ Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik (Sobre una nueva constitución universal de la Mecánica). Lo llamó Prinzip des kleinsten Zwanges, es decir, Principio de la mínima restricción (obligación).
Supongamos que tenemos un sistema de $n$ partículas que sabemos sendas posiciones y velocidades en un instante determinado (el inicial e.g.), $\big\{\vec{r}_i(t_0),\dot{\vec{r}}_i(t_0)\big\}_{i=1}^n$ , sendas masas $m_i$ sobre las que se aplican sendas fuerzas (conocidas) $\vec{F}_i$ . En un sistema sin restricciones en virtud de la II Ley de Newton, se tendrá que $\displaystyle\ddot{\vec{r}}_i=\frac{\vec{F}_i}{m_i}$ . Gauss definía la restricción $Z$ como: $$ Z\Big(\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n\Big) \overset{\text{def}}{=}\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i \left(\ddot{\vec{r}}_i-\frac{\vec{F}_i}{m_i}\right)^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2m_i} (m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i)^2 \geqslant 0$$ Gauss lo describió como el principio dinámico más fundamental, ya que establece que la verdadera aceleración instantánea de cada una de las $n$ partículas del sistema es puntualmente el argumento que minimiza dicha restricción $Z$ , es decir, $\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n\ = \operatorname{arg\,min} Z$ . Nótese que $Z\Big(\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n\Big) = Z\big(\ddot{\vec{r}}_1,\cdots,\ddot{\vec{r}}_n\big)$ es la función restricción de un conjunto de aceleraciones $\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n$ , la cual hay que minimizar . Si el sistema no está sujeto a una restricción, entonces $Z=0$ y evoluciona siguiendo las ecuaciones del movimiento de Newton.

Realmente el Principio de Gauss de la mínima restricción no utiliza mínimos cuadrados ordinarios (OLS por sus siglas en inglés), ya que supondría que todas las $n$ aceleraciones tienen la misma importancia en $Z$ (todos los $n$ sumadnos realmente), sino que hace uso de mínimos cuadrados ponderados (WLS por sus siglas en inglés), cuya ponderación individual es la masa $m_i$ . El caso particular de que todas las masas fuesen iguales sí que sería OLS.

Nótese que la solución minimizante es un total de $n$ vectores tridimensionales, por lo que buscamos un total de $3n$ argumentos que minimizan la restricción $Z$ , por ende puede ser un proceso computacionalmente costoso para sistemas de muchas partículas. Si se quiere resolver numéricamente, sin hacer uso de la solución general de mínimos cuadrados, se puede usar el algortimo de bassinhopping y tomando como iterante inicial la secuencia $\displaystyle \left\{\frac{\vec{F}_i}{m_i}\right\}_{i=1}^n$ , o una pequeña perturbación cercana a ella .

Sin embargo, a veces es preferible hacer un cambio de variables, en especial en un sistema restringido, por lo que consideraremos las nuevas variables $\vec{\rho}_i = \sqrt{m_i\,}\,\vec{r}_i$ , y $\displaystyle \vec{\phi}_i =\frac{1}{\sqrt{m_i\;}}\,\vec{F}_i$ , por ende la II Ley de Newton queda ahora como $\vec{\phi} \triangleq \ddot{\vec{\rho}}$ . Las coordenadas $\{\vec{\rho}_i\}_{i=1}^n$ , posiciones de Jacobi, están relacionadas con la métrica de Jacobi, por lo que este sistema de coordenadas se suele llamar sistema de referencia de Jacobi (Evans and Morriss, $1990$). La restricción $Z\Big(\big\{\ddot{\vec{\rho}}_i\big\}_{i=1}^n\Big)$ es (ahora sí OLS): $$ Z\Big(\big\{\ddot{\vec{\rho}}_i\big\}_{i=1}^n\Big) \triangleq\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \big(\ddot{\vec{\rho}}_i-\vec{\phi}_i\big)^2\geqslant 0$$ El Principio de Gauss de la mínima restricción establece que las trayectorias que realmente se siguen son las que se desvían tan poco como sea posible, en el sentido de mínimos cuadrados (ordinarios o ponderados), respecto de las trayectorias newtonianas sin-restricción. Hertz se refirió a la función $Z$ como el cuadrado de la curvatura.

Realmente el Principio de Gauss de la mínima restricción se puede generalizar: en vez de usar mínimos cuadrados, usar otro tipo de regresión con el mismo fin, hallar las trayectorias con restricción que menos se desvíen en el sentido de dicha regresión respecto de las trayectorias newtonianas sin-restricción.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(647) - Las dos ecuaciones de Maxwell olvidadas: Gravitación

En este artículo vamos a tratar unas identidades que tienen la forma de las ecuaciones de Maxwell, pero para gravitación en vez de electromagnetismo: En $1865$ Maxwell ($1831-1879$) publicó A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (Una teoría dinámica del campo electromagnético) donde exponía varias fórmulas que serían conocidas como Ecuaciones de Maxwell, pero se tuvo que esperar hasta $1884$ cuando Oliver Heaviside ($1850-1925$) y Williard Gibbs ($1839-1903$) las reformularon en la notación vectorial que usamos hoy día, y simplificando el número de ecuaciones. Veámoslas: $$ \begin{matrix} \displaystyle\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 4\pi K \rho & \quad & \displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0 \\ \displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{E} = - \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} & \quad & \displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \\ \end{matrix} $$ Vamos a tratar con la fuerza gravitatoria según la formulación Hooke-Newton ($a.\text{abril }1686$), la Ley de Gravitación Universal. En especial, para su notación diferencial del campo gravitatorio, $\text{d}\vec{g}$ , nos da la relación con la masa puntal, $\text{d}m$ . En mecánica newtoniana el Teorema de la cáscara (Shell's theorem) establece la equivalencia gravitatoria entre un cuerpo (con cualquier distribución de masa) con respecto a su centro de masa (con toda la masa localizada ahí). $$ \vec{F} = \frac{GMm}{{{\|\vec{r}\|}_2}^2} \widehat{r} \implies \text{d}\vec{g} = G\frac{\text{d}m}{{{\|\vec{r}\|}_2}^2} \widehat{r} $$ Muchas veces para intentar visualizar campos vectoriales es recomendable imaginarse un "fluido virtual" que nos ayude a conceptuar lo que estudiamos. Veamos dichas ecuaciones y veamos qué significan: $$ \boxed{ \vec{\nabla}\cdot\vec{g} = -4\pi G \rho \qquad\qquad \vec{\nabla}\times\vec{g} = \vec{0} } $$ Nótese que la constante $4\pi G$ (donde $G$ es la constante de Cavendish para la gravitación universal) solo nos cuenta cómo se amplifica/disminuye el efecto de la divergencia. La densidad de la fórmula, $\rho$ , hace referencia a la de un entorno alrededor de dicho punto, es decir, que puede ser $0$ (un punto del espacio) o estrictamente positiva (un punto con masa). Esto implica que cualquier superficie cerrada virtual que imaginemos (gaussiana) "crea" un campo gravitatorio atrayente hacia sí. De forma equivalente si existiesen densidades negativas (masas negativas) repelerían a las positivas (como en electromagnetismo).

La divergencia nos dice cuánto un campo apunta hacia adentro o hacia fuera de un punto concreto. En particular, la divergencia del campo gravatatorio, $\vec{\nabla}\cdot\vec{g}$ , nos dice que no hay fuentes de ese "fluido virtual", sino que todo punto o bien fluye a través, o bien es un sumidero. En especial, para cualquier superficie gaussiana, entra tanto o más fluido virtual del que sale. Piénsese en una bañera llena en el instante en el que se quita el tapón: el grifo está cerrado (no hay fuentes), y el agua está calma (divergencia $0$ ), o se va por el desagüe (sumidero).

El rotacional no es sobre el campo en sí, sino lo que el campo puede causar: nos dice en qué sentido algo dentro del campo girará o circulará (en condiciones "normales"). En particular, el rotacional del campo gravitatorio, $\vec{\nabla}\times\vec{g}$ , nos dice que si consideramos una barra con centro fijado (estático) no empezará a rotar.

Todo esto es un poco idealización porque según nos dice la teoría de la relatividad general de Einstein, no existe una fuerza gravitatoria, sino que es la percepción que tenemos de la deformación del espacio-tiempo. Y no es la masa en sí lo que lo crea sino el tensor energía-esfuerzo.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(601) - Eligir la base óptima y su significado físico. Aceleración tangencial ⁊ normal

La elección de una buena base es muy importante, en especial si se quieren simplificar los cálculos. Sin embargo, hay un motivo ulterior en escoger buenas bases, y entre estas, la óptima: buscamos una con un significado físico-geométrico.
Elegir una base donde los vectores que la definen sean perpendiculares entre sí (ortogonales) es muy útil a la hora de calcular y a la de representar el resultado. Para ilustrar mejor el resultado, tomemos un vector como la velocidad ( $\vec{v}$ ), derivable al menos una vez, y expresémoslo (ya relatado en un artículo sobre qué son los vectores) como el producto de su módulo por su vector unitario, y derivemos:
\begin{align*}
\vec{v} = & \|\vec{v}\| \cdot \hat{v} \\
\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} = & \frac{\text{d}(\|\vec{v}\| \hat{v} )}{\text{d}t} \\
\vec{a} = & \frac{\text{d}\|\vec{v}\|}{\text{d}t}\hat{v} + \|\vec{v}\| \frac{\text{d}\hat{v}}{\text{d}t} \\
\end{align*}En estos dos sumandos tienen dimensiones de aceleración, ergo tiene sentido darle nombres de aceleración:
· Definamos aceleración tangencial como $\vec{a}_\parallel \overset{\text{def}}{=} \dfrac{\text{d}\|\vec{v}\|}{\text{d}t}\hat{v}$ , paralela a la velocidad compartiendo el punto de aplicación. Aparece, en especial, en movimientos rectilíneos.
· Definamos aceleración normal como $\vec{a}_\perp \overset{\text{def}}{=} \|\vec{v}\|\dfrac{\text{d}\hat{v}}{\text{d}t}$ , perpendicular a la velocidad compartiendo el punto de aplicación. Aparece, en especial, en movimientos circulares.
Nótese que la aceleración tangencial no es necesariamente la derivada temporal de la "velocidad tangencial" (de una misma deducción), y lo mismo para la normal.

Estos dos tipos de aceleración son perpendiculares entre sí donde caben resaltar las siguientes dos propiedades:
· $\displaystyle \vec{a} \triangleq \vec{a}_\parallel + \vec{a}_\perp$ 
· $\displaystyle \left\|\vec{a}\right\|^2 \triangleq \left\|\vec{a}_\parallel\right\|^2 + \left\|\vec{a}_\perp\right\|^2$ Teorema de Pitágoras
¿Qué significa todo esto? Hemos descompuesto un vector genérico, $\vec{a}$ , en suma de dos vectores perpendiculares entre sí, $\vec{a}_\parallel \perp \vec{a}_\perp$ , por ende sendos módulos son una terna pitagórica (al describir ellos tres en todo momento un triángulo rectángulo). 
No solo eso, sino que además, ambos vectores descompuestos tienen un significado físico-geométrico entre sí, en el sistema de referencia, y además con respecto a la integral del vector suma. Esto tiene mucha relevancia porque descomponer un vector en suma de ortogonales con conciertas propiedades (que simplifican mucho calcular sendas normas) no es especialmente trivial.

Esta deducción con el vector aceleración ( $\vec{a}$ ), se puede hacer con cualquier vector genérico, constante o no, y con vectores que a lo mejor no concibamos su integral, como el vector posición, ( $\vec{r}$ ), sobre el que ya vendrá un artículo al respecto...

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(599) - Derivada prima, o derivando respecto a dos sistemas de referencia diferentes

En el día de hoy traemos una entrada sobre qué pasa cuando derivamos una misma magnitud respecto a la misma variable, pero en dos sistemas de referencia distintos.

Supongamos que tenemos $\mathcal{S}=\{O;\mathcal{B}\}$ , un sistema de referencia [afín o no], no-inercial, centrado en $O$ , y $\mathcal{S}^\prime=\{O^\prime;\mathcal{B}^\prime\}$ , un sistema de referencia [afín o no], inercial (pues cumple la I Ley [traslacional] de Newton – Ley de la Inercia [traslacional]), centrado en $O^\prime$ (donde $\mathcal{B}\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath},\widehat{\jmath}, \widehat{k}\Big\}$ , y $\mathcal{B}^\prime\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath}^\prime,\widehat{\jmath}^\prime, \widehat{k}^\prime\Big\}$ son sendas bases).
Supongamos también que $\mathcal{S}$ rota respecto a $\mathcal{S}^\prime$ a una velocidad angular $\vec{\omega}$ .

Supongamos que $\displaystyle O\vert_{t=t_0}\equiv O^\prime\vert_{t=t_0}$ , y consideremos un punto genérico $P$ con unas coordenadas específicas respecto a la base de cada sistema de referencia, pues $P$ es el trasladado de $O$ por $\vec{r}$ , y a la vez, el trasladado de $O^\prime$ por $\vec{r}^\prime$ (en terminología de espacio afín), $P\equiv O+\vec{r} \equiv O^\prime+\vec{r}^\prime$ .

¿Qué ocurre al pasar de un instante genérico $t$ a uno $t+\text{d}t$ con $P$ ?
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}^\prime$ .
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}^\prime$ .

Nótense las relaciones fundamentales:
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición relativa en $\mathcal{S}^\prime$ )
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición absoluta ya que $P$ se mueve respecto de $\mathcal{S}$ a una velocidad $\dfrac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}$ )
$\vec{\omega}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\text{d}^\prime\vec{\theta}}{\text{d}t}$ (definición de velocidad angular de rotación de $\mathcal{S}$ respecto a $\mathcal{S}^\prime$ )

Ahora comparando cómo ha variado su posición, $\text{d}^\prime\vec{r}$ , en el intervalo $\text{d}t$ :
$$\boxed{ \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t} = \frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}+\vec{\omega}\times\vec{r} }$$ (Si además el sistema $\mathcal{S}$ se trasladase respecto a $\mathcal{S}^\prime$, se añade un sumando en el 2º término que fuese dicha velocidad respecto a $\mathcal{S}^\prime$ , $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{R}}{\text{d}t}$ .)
Nótese que la derivada prima $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t}$ sigue siendo una aplicación lineal, y que ambas derivadas solo se diferencian en ese término extra , $\vec{\omega}\times\vec{r}$ (otra aplicación lineal), la cual solo se anula si ambos son paralelos, $\vec{\omega}\parallel\vec{r}$ , donde está contemplado el caso que $\vec{\omega}\equiv\vec{0}$ (por lo que si un sistema de referencia no rota respecto al otro, ambas derivadas son iguales [la clásica y la prima] ).
Esta deducción con el vector $\vec{r}$ , se puede hacer para cualquier vector, y se llegaría a la misma relación.

Una curiosa relación cuanto menos, ya que la derivada prima de un vector constante, $\vec{c}$ , no es necesariamente $\vec{0}$ , sino que puede hasta ser un vector que varíe en función del tiempo, $\vec{\omega}(t)\times\vec{c}$ .
Es más, el núcleo o kernel de esta derivada prima, si definimos la matriz $\displaystyle \boldsymbol{\Omega}=\begin{pmatrix} 0 & \omega_z & -\omega_y \\ -\omega_z & 0 & \omega_x \\ \omega_y & -\omega_x & 0 \end{pmatrix}$ , viene definido por la ecuación diferencial: $\displaystyle \operatorname{Ker}\left( \frac{\text{d}^\prime}{\text{d}t}\right) = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t} + \vec{\omega}\times\vec{P} = \vec{0} \right\} = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t} = \boldsymbol{\Omega} \vec{P} \right\} = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \vec{P} = e^{\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t} \vec{P}_0 \right\}$ con $e^{\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t}$ , o bien $e^{\int\boldsymbol{\Omega}}$ para simplificar la notación, es la matriz exponencial de [la matriz] $\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t$ donde el elemento $i,j-$ésimo está definido por $\displaystyle {\left( \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t \right)}_{i,j} \triangleq \int_{t_0}^t {\left( \boldsymbol{\Omega} \right)}_{i,j} \;\text{d}t$ .


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(593) - Cuando la regla del producto falla en el caso más simple. Ecuación de Meshchérskiy-Tsiolkóvskiy

En el día de hoy intentamos entender una paradoja al usar mal la regla del producto al derivar: Partamos de la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] (no en su formulación newtoniana, sino con el Teorema del momento lineal), y de la definición newtoniana de momento lineal ( $\vec{p}$ ). $$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t}\qquad\wedge\qquad \vec{p}\overset{\text{def}}{=} m\vec{v}$$ Ahora combinemos ambas, y apliquemos la regla de la cadena: $$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}(m\vec{v})}{\text{d}t} \implies \sum\vec{F} \overset{???}{=} \frac{\text{d}m} {\text{d}t}\vec{v} + m\frac{\text{d}\vec{v}} {\text{d}t} $$ Esto no cumple el Principio de Relatividad bajo las Trasformaciones galileanas (Invarianza galileana): para un objeto de masa variable cuando $\displaystyle \sum\vec{F}\equiv\vec{0}$ , la expresión anterior implicaría que permanece en reposo en un sistema que originalmente está en reposo, pero lo acelera una "fuerza ficticia" $\displaystyle -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}\vec{v}\not\equiv\vec{0}$ en un sistema que se mueve con velocidad $\vec{v}$ .

Para resolver esta paradoja aparente, consideremos una acreción de masas (colisión donde se suman las masas), pues es más intuitivo que el caso de eyección (donde también se llega al mismo resultado): Consideremos en un instante $t$ dos partículas cuyas masas instantáneas son $\text{d}m$ , y $m$ con sendas velocidades instantáneas $\vec{v}_1$ , y $\vec{v}$ , por lo que tienen un momento lineal total de $\vec{p}\vert_{t}=\text{d}m\cdot\vec{v}_1+m\vec{v}$ .

Tras la colisión, en un instante $t+\text{d}t$ , la masa instantánea será $m+\text{d}m$ , y tendrá una velocidad instantánea $\vec{v}+\text{d}\vec{v}$ , ergo tiene un momento lineal $\vec{p}\vert_{t+\text{d}t}=(m+\text{d}m)\cdot(\vec{v}+\text{d}\vec{v})$ .

El impulso instantáneo es $\vec{I}\overset{\text{def}}{=}\vec{p}\;\big\vert_t^{t+\text{d}t}=\text{d}\vec{p} = \text{d}m\cdot(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\text{d}\vec{v}$ (despreciando el producto de dos diferenciales) que ha transcurrido en un intervalo $\text{d}t$ , en $[t,t+\text{d}t]$ .

Nótese que $\vec{v}-\vec{v}_1$ es la velocidad relativa de la partícula de masa instantánea $m$ respecto a la otra partícula, la de masa instantánea $\text{d}m$ .

Si se halla la fuerza, se llega a una expresión similar, pero corregida respecto a la inicial ( $\vec{F}\neq m\vec{a}$ ) : $$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} = \frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} }$$ El término $\displaystyle \vec{F}_\text{reac}\overset{\text{def}}{=}-\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1)$ es la fuerza de reacción, es decir, la fuerza ejercida sobre el sistema ya que hay una variación de masa. Si se pasa al otro término vemos una relación mucho más familiar: $$\vec{F}_\text{ext} + \vec{F}_\text{reac} = m\vec{a}$$ Es justamente por este término de donde surge la paradoja: la fuerza que aparece en la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] hace referencia a la suma de todas las fuerzas externas, es decir, a la fuerza neta (o resultante), pero una variación en la masa del objeto se puede deber a una fuerza interna, a un empuje, etc.
De aquí se saca la conocida Ecuación de Meshchérskiy (también transliterado como Meshchérskij , del ruso Меще́рский , también escrito como Меще́рскій anterior a la reforma ortográfica de $1918$), donde $\vec{v}_\text{rel} =-(\vec{v}-\vec{v}_1) $ : $$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} + \frac{\text{d} m}{\text{d}t}\vec{v}_\text{rel} = m \frac{\text{d} \vec{v}}{\text{d}t} }$$ Su caso particular con $\vec{F}_\text{ext}\equiv\vec{0}$ se conoce como Ecuación del cohete de Tsiolkóvskiy (también transliterado como Tsiolkóvskij , del ruso Циолко́вский , también escrito como Ціолко́вскій anterior a la reforma ortográfica de $1918$), que implica resolver la ecuación diferencial: $$ -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) = m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} \iff -\frac{\text{d}m}{m} = \frac{\text{d}\vec{v}}{\vec{v}-\vec{v}_1} $$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(587) - Pseudovectores. Los vectores que no son vectores - falsos vectores

En el día de hoy traemos una entrada sobre qué es un pseudovector.

Consideremos dos vectores: $\vec{u}$ , $\vec{v}$ . Coloquemos un espejo perpendicular a cada uno en sendos orígenes. Si reflejamos los vectores obtendremos: $-\vec{u}$ , $-\vec{v}$ , ergo son euvectores [vectores verdaderos o vectores polares].

Sin embargo si consideramos ahora el producto vectorial de los no-reflejados: $\vec{u}\times\vec{v}$ , y el de los sí-reflejados: $(-\vec{u})\times(-\vec{v})$ , ambos son el mismo vector. Este vector no ha cambiado de signo tras una reflexión, por lo que es un pseudovector [vector axial].

Un pseudovector es una magnitud física que se transforma como un euvector ante una rotación debida, pero que en el espacio tridimensional obtiene un cambio de signo bajo una rotación impropia (e.g. reflexión).

Veamos algunos ejemplos en física, ya que es una materia donde se puede explicar todo a través de vectores:

Los vectores posición $\vec{r}$ , desplazamiento $\Delta\vec{r}$ , velocidad $\vec{v}$ , aceleración $\vec{a}$ , tirón $\vec{\jmath}$ , momento lineal $\vec{p}$ , impulso lineal $\vec{I}$ , o fuerza $\vec{F}$ son euvectores.

Los vectores posición angular $\vec{\theta}$ , desplazamiento angular $\Delta\vec{\theta}$ , velocidad angular $\vec{\omega}$ , aceleración angular $\vec{\alpha}$ , tirón angular $\vec{\zeta}$ , momento angular $\vec{L}$ , impulso angular $\vec{\phi}$ , o torque $\vec{\tau}$ son pseudovectores.

Para terminar, he aquí una tabla con los correspondientes productos vectoriales.

x	euvector	pseudovector
euvector	pseudovector	euvector
pseudovector	euvector	pseudovector

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(577) - ¿Qué es un vector? 4 "definiciones"-interpretaciones según el tipo de matemático

En el día de hoy traemos una entrada sobre qué es un vector según diferentes enfoques.

Antes de empezar, cabe resaltar que para tanto algebristas como analistas prefieren representar un vector como sus componentes tal cual, mientras que los físicos pueden preferir representarlo como el producto de su módulo por su vector unitario correspondiente.

· Para un informático, o un estadista-probabilista, un vector es una forma eficaz de almacenar información que aparece como un listado o un array de diferentes números donde se considera la posibilidad de haber elementos repetidos.

· Para un algebrista, un vector es un elemento de un espacio vectorial: una n-tupla [pareja, trío, cuarteto…] de variables, constantes, parámetros o incluso funciones que vive en un espacio vectorial.

· Para un analista, su concepción de vector es muy similar a la de un algebrista, pues lo ve como una yuxtaposición ordenada y consecutiva de funciones (o similar).

· Para un físico, sin embargo, la concepción de un vector es la que más se asemeja a la que se da en ESO y Bachillerato: un vector es un “viaje”, una distancia flechada entre dos puntos del espacio bi- o tridimensional (uno que es el origen y otro, el destino)

Esto está muy bien para definir los vectores como posición ( $\vec{r}$ ), desplazamiento ( $\Delta\vec{r}$ ), o fuerza ( $\vec{F}$ ), pero, ¿y vectores como velocidad ( $\vec{v}$ ), aceleración ( $\vec{a}$ ), campo ( $\vec{E},\vec{g},...$ ), o momentos ( $\vec{p},\vec{L},...$ )? Muy fácil: mediante derivadas, integrales, límites, y productos escalares y vectoriales. Toda la física se puede describir mediante el vector posición ( $\vec{r}$ ) y aplicado a varios operadores de derivación, integración,… Esto es el inicio de la cinética.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.