(937) - Notación de Landau ampliada

Veamos algunos ejemplos de notación de las llamadas O:

Denotamos $f(x)\in{\scriptsize \mathcal{O}}\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ si existe $M>0$ para $|x-a|<\delta$ tal que $|f(x)|\lneq M g(x)$ o con su definición de límites, $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$

Denotamos $f(x)\in\mathcal{O}\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ si existe $M>0$ para $|x-a|<\delta$ tal que $|f(x)|\leqslant M g(x)$ o con su definición de límites, $\displaystyle \limsup_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}<\infty$

Denotamos $f(x)\in\omega\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ si existe $M>0$ para $|x-a|<\delta$ tal que $f(x)> M g(x)$ ocon su definición de límites, $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty$.

Denotamos $f(x)\in\Omega\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ si existe $M>0$ para $|x-a|<\delta$ tal que $|f(x)|\geqslant M g(x)$ ocon su definición de límites, $\displaystyle \limsup_{x\to a}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|>0$, es decir, si $f(x)\not\in{\scriptsize \mathcal{O}}\big(g(x)\big)$.

Denotamos $f(x)\in\Omega_{+}\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ con su definición de límites, $\displaystyle \limsup_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}>0$.

Denotamos $f(x)\in\Omega_{-}\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ con su definición de límites, $\displaystyle \liminf_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}<0$.

Denotamos $f(x)\in\Theta\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ si existe $M_1,M_2>0$ para $|x-a|<\delta$ tal que $M_1g(x)\leqslant|f(x)|\leqslant M_2g(x)$ o con su definición de límites, $\displaystyle \liminf_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}>0 \quad \limsup_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}<\infty$

Denotamos $f(x)\sim g(x)$ cuando $x\to a$ si existe $\varepsilon>0$ para $|x-a|<\delta$ tal que $\displaystyle \left|1-\frac{f(x)}{g(x)}\right|<\varepsilon$ o con su definición de límites, $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$

También equiste la notación con virgulilla, por ejemplo $f(x)\in\tilde{\mathcal{O}}\big(g(x)\big)$, que que significa que existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $f(x)\in\mathcal{O}\Big(g(x)\ln^k\!\big(g(x)\big)\Big)$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(751) - Racionales en trigonometría de racionales. Teorema de Niven-Hadwiger

La pregunta de hoy es bien simple: ¿Qué ángulos que son un número racional de vueltas tienen como seno, coseno o tangente también un número racional?Este resultado se concoce como Teorema de Niven ($1915-1999$) de $1956$, pero el matemático Hadwiger ($1908-1981$) ya hizo una demostración en $1948$.
Una primera idea descartable es argumentando como las funciones trigonométricas se pueden expresar como series, pero la serie de racionales no es necesariamente racional ( el ejemplo más claro $\displaystyle \frac{1}{n!}\in\mathbb{Q}$ pero $\displaystyle e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \not\in\mathbb{Q}$ ).

Otra idea sería considerar los polinomios de Chebyshov de I especie [Чебышёв - Čebyšëv], polinomios de coeficientes enteros, $T_N(x)\in\big(\mathbb{Z}[x]\big)_N $ , que satisfacen la relación: $T_N\big(\cos(\theta)\big)=\cos(N\theta)$ . Sin embargo, este método solo nos dice que $\cos(2\pi\theta)\in\mathbb{Q} \implies \cos(2\pi N\theta)\in\mathbb{Q}$ , es decir, si el coseno es racional, el coseno de múltiplos de ángulo también lo es. No podemos decir lo mismo de los de II especie $U_N(x)\in\big(\mathbb{Z}[x]\big)_N $ , que satisfacen la relación: $\sin(\theta)U_{N-1}\big(\cos(\theta)\big)=\sin(N\theta)$ .

La idea es buscar los conjuntos maximales $\varnothing\subset Q_{0,r},Q_{1,r}\subset\mathbb{Q}$ donde $Q_{1,r}\overset{\text{def}}{=}\operatorname{r}(2\pi Q_{0,r})$ para alguna razón trigonométrica $\operatorname{r}$ , es decir, hallar los ángulos racionales, $\varphi\in\mathbb{Q}$ , tales que alguna razón trigonométrica es racional, $\operatorname{r}(2\pi\varphi)\in\mathbb{Q}$ .
Si $\varphi\in Q_{0,r}\subsetneq\mathbb{Q} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in\mathbb{Q}$ , es decir que si el ángulo $\varphi$ es "racional de Niven", su razón trigonométrica también es racional.
Si $\varphi\in(\mathbb{Q}\setminus Q_{0,r})\subsetneq\mathbb{Q} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$, es decir que si el ángulo $\varphi$ es racional pero no "[racional] de Niven", su razón trigonométrica es estrictamente irracional.
Si $\varphi\in (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\subsetneq\mathbb{R} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in \big((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\bigcup \hspace{ -7pt }\raise-.5ex{\scriptsize | } \hspace{3pt} (\mathbb{Q}\setminus Q_{1,r})\big) \triangleq (\mathbb{R}\setminus Q_{1,r}) $ , es decir que si el ángulo $\varphi$ es irracional, su razón trigonométrica también es o bien irracional o bien racional.

Si para algún ángulo el seno o coseno es $\displaystyle \frac{p}{q}$ donde $0\leqslant |p| \leqslant |q| $ y $p,q\in\mathbb{Z}$ , entonces el otro es $\displaystyle \pm\frac{\sqrt{q^2-p^2\;}}{q}$ . La pregunta es entonces $\sqrt{q^2-p^2\;}\overset{\text{?}}{\in}\mathbb{N}$ . Esta pregunta es equivalente a preguntar si existe una terna pitagórica con hipotenusa $|q|$ y un cateto $|p|$ . Al final resulta ser que los únicos que seno y coseno son racionales son las soluciones triviales.

Veamos los pocos valores que satisfacen la relación en $\displaystyle 0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{2}$ (en otros cuadrantes solo hay que tener en cuenta las relaciones de los demás cuadrantes con el primero):

Para el seno se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}$ que valen respectivamente $\displaystyle  0,\frac{1}{2},1$ .

Para el coseno se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}$ que valen respectivamente $\displaystyle  0,\frac{1}{2},1$ .

Para la tangente se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{4}$ que valen respectivamente $\displaystyle  0,1$ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(739) - GIFs descargables: Integral de Lebesgue y su Teorema del Valor Medio

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales de Lebesgue.

Integrales superior e inferior de Lebesgue

Suma inferior de Lebesgue

Suma superior de Lebesgue

Recordemos que habíamos acuñado los conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue como $\displaystyle E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; y_n\gneq\big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \Big\} $ con $\displaystyle E_n \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$ (cada conjunto está en $\Omega$ , por lo que su unión también), entonces se tiene la desigualdad tipo Chebyshov:

$$\displaystyle \inf\left( \sum_{n\in\mathbb{N}_0} {y_n}^p\, \mu(E_n)\right) \gneq \int\limits_E|f|^p\;\mathrm{d}\mu \geqslant \sup\left( \sum_{n\in\mathbb{N}_0} {y_{n-1}}^p\, \mu(E_n) \right)$$
Integral asociada de Lebesgue

Recordemos que habíamos acuñado los conjuntos elementales de Riemann-Lebesgue (o conjuntos elementales asociados de Lebesgue) como $\displaystyle E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; 0\leqslant\big|f(x)-y_n\big|\lneq\varepsilon \Big\}$ con $\displaystyle E_n \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$ (cada conjunto está en $\Omega$ , por lo que su unión también) , entonces se tiene la desigualdad tipo Chebyshov: $$\displaystyle \Bigg|\int\limits_E f\;\mathrm{d}\mu-\sum_{n\in\mathbb{N}_0}y_n\, \mu(E_n)\Bigg|\lneq \varepsilon\, \mu(E) $$

Integral asociada de Lebesgue

Integral asociada de Lebesgue - variando la secuencia de los $y_n$

Teorema del valor medio integral (formulación para la integral de Lebesgue):
¿Cómo se puede entender el teorema del valor medio?

Geométricamente es una reinterpretación de las áreas de los sucesivos rectángulos: dada una sucesión de rectángulos con sendas bases y alturas, el valor medio integral es hallar la altura de un rectángulo equivalente que tiene por base la suma de las bases y por área la suma de las áreas.

Analíticamente es hallar el valor de la función idénticamente constante (hallar el valor $\eta_y$ de la función escalonada $\eta_y\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E}(x)$ ) tal que tenga la misma integral en $E$ que la función $f(x)$ .
En las desigualdades se vuelve para las integrales superiores e inferiores de Lebesgue: $$ \inf\left( \sum_{n\in\mathbb{N}_0} \frac{\mu(E_n)}{\mu(E)}{y_n}^p\right) \gneq \frac{1}{\mu(E)}\int\limits_E|f|^p\;\mathrm{d}\mu \geqslant \sup\left( \sum_{n\in\mathbb{N}_0} \frac{\mu(E_n)}{\mu(E)}{y_{n-1}}^p \right) $$ En las desigualdades se vuelve para la integral asociada de Lebesgue: $$\Bigg|\frac{1}{\mu(E)}\int\limits_E f\;\mathrm{d}\mu-\sum_{n\in\mathbb{N}_0}\frac{\mu(E_n)}{\mu(E)}y_n \Bigg|\lneq \varepsilon $$ En virtud de la propiedad de Darboux (teorema del valor intermedio), realmente de un análogo para sucesiones, podemos asegurar que el valor medio $\eta_y$ está entre dos términos sucesivos de la sucesión creciente $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}_0}$ .


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(709) - Función simple y límite de una sucesión de funciones escalonadas (con GIFs descargables)

En la última entrada comentamos cómo podemos crear una función escalonada, es decir, constante en conjuntos casi a modo de una escalera.
Estos conjuntos no son necesariamente intervalos, sino que pueden ser uniones de intervalos monopuntuales o no. Por ejemplo, se puede definir el conjunto donde la función seno, $\operatorname{sen}(x)$, sea positiva, es decir, $\displaystyle E = \{x\in\mathbb{R} / \operatorname{sen}(x) \geqslant 0 \} = \bigcup_{n\in\mathbb{Z}} \big[2 \pi n, (2n+1)\pi\big]$ , es decir, es unión (disjunta) de infinitos intervalos.
$$\begin{array}{ cccc }\displaystyle \phi_n \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n y_k \chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_k} : & \Omega & \longrightarrow & \{0\}\cup\big\{y_k\;\big/\; k=1,\cdots , n \big\} \subsetneq\mathbb{R} \\& x & \longmapsto & \displaystyle \begin{matrix} 0 & \big| & x\not\in \displaystyle \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_k \subseteq \Omega\\ y_k & \big| & x\in E_k \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_k \subseteq \Omega \end{matrix}\end{array}$$ Es decir, a esta función $\phi_n(x)$ se le asigna el valor $0$ si $x$ no está en ningún $E_k$ (y por lo tanto no está en la unión de todos), y si sí está en $E_k$ , para algún $k$ entre $1,\cdots,n$ , se le asigna $y_k$ . Lo bueno de esta definición es que se puede "ir hacia atrás" y averiguar, dado un valor de la función $\phi_n(x)$ , de qué conjunto proviene ese $x$ , es decir: $\displaystyle {\phi_n}^{[-1]}(y_k) = {\phi_n}^{[-1]}\big(\{y_k\}\big) = E_k$ lo que hace que para el conjunto de todos los poibles valores se tenga $\displaystyle {\phi_n}^{[-1]}\big(\{y_k\;\big/\; k=1,\cdots , n\}\big) = \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_k $ . Estos conjuntos elementales $E_k$ se tienen que contruir de una manera que luego nos faciliten la cuentas, ya que estamos intentando aproximar la integral de una función $f(x)$ genérica por la de una función escalonada $\phi_n(x)$ contruida a partir de dichos conjuntos elementales $E_k$ . Los conjuntos de la forma $\displaystyle E_k = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; f(x)=y_k \in \mathbb{R} \Big\} \subseteq\bigcup_{k=1}^n \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_k \subseteq \Omega $ nos pueden dar problemas. Por ejemplo, la función seno, $\operatorname{sen}(x)$ , toma cualquier valor, $1$ por ejemplo, en puntos separados, es decir en intervalos unipuntuales. ¿Cuánto mide de ancho un punto? Nada, cero. Por ello la medida de todos esos conjuntos puede ser $0$ y no nos puede decir mucho. Recordemos que la integral se puede entender como una forma de medir áreas, que solemoss hacer por medio de rectángulos usualmente, donde se necesita una base y una altura. Si las bases son todas $0$ nos daría una área $0$ .

Dada una sucesión $\{y_n\}_{n=0}$ de números positivos, voy a definir y acuñar yo dos familias de conjuntos elementales que nos van a ayudar. Estos conjuntos están prediseñados para poder usar la Desigualdad de Chebyshov ( [Чебышёв - Čebyšëv]) o con la misma idea que esta:
Los conjuntos elementales de Riemann-Lebesgue o conjuntos elementales asociados de Lebesgue , que nos permitirán contruir la integral de Lebesgue coon una idea análoga a la de Riemann. $$ E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; 0\leqslant\big|f(x)-y_n\big|\lneq\varepsilon \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega $$

Función $\phi_n(x)$ creada con los conjuntos elementales de Riemann-Lebesgue

Los conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue o conjuntos elementales superiores e inferiores de Lebesgue , que nos permitirán contruir la integral de Lebesgue coon una idea análoga a la de Darboux. $$ E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; y_n\gneq\big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$$

Función $\phi_n(x)$ inferior creada con los conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue

Función $\phi_n(x)$ superior creada con los conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue

 
Con esta contrucción de los conjuntos $E_n$ se puede definir la función $\phi_n(x)$ y su integral, que al ser los conjuntos disjuntos nos facilitan muchas cuentas: $$ \phi_n(x) \overset{\text{def}}{=} \sum_{n\in\mathbb{N}_0} y_n \chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \implies \int\limits_{\bigcup \hspace{ -6.5pt }\raise-.5ex{\scriptsize | } \hspace{3pt} E_n} \!\! \phi_n \,\text{d}\mu \triangleq \sum_{n\in\mathbb{N}_0} y_n \, \mu(E_n) $$ Refinando los elementos en la secuencia $\{y_n\}_{n=0}$ o refinando el valor de $\varepsilon$ se llega a una función que cada vez dista tan poco como queramos. Recordamo que no hemos hablado de distancia, y que ningún artículo de este blog pretende ser un sustituto de ninguna asignatura. Al final pretendemos crear una sucesión de funciones escalonadas tal que $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\phi_n(x) \triangleq f(x)$ ya que se pueden construir funciones $\phi(x)$ tales que $\phi(x) \underset{\mu\text{ae}}{\overset{\text{def}}{=}} f(x) $ ( $\phi$ se define para que sean igual casi siempre a $f$ ), lo que implica $\displaystyle \int\limits_I \! \phi \,\text{d}\mu \triangleq \int\limits_I \! f\,\text{d}\mu \iff \int\limits_I \! \big| f-\phi\big| \,\text{d}\mu \triangleq 0 $ . En la próxima entrada veremos cómo hallar dichas integrales.

 
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(647) - Las dos ecuaciones de Maxwell olvidadas: Gravitación

En este artículo vamos a tratar unas identidades que tienen la forma de las ecuaciones de Maxwell, pero para gravitación en vez de electromagnetismo: En $1865$ Maxwell ($1831-1879$) publicó A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (Una teoría dinámica del campo electromagnético) donde exponía varias fórmulas que serían conocidas como Ecuaciones de Maxwell, pero se tuvo que esperar hasta $1884$ cuando Oliver Heaviside ($1850-1925$) y Williard Gibbs ($1839-1903$) las reformularon en la notación vectorial que usamos hoy día, y simplificando el número de ecuaciones. Veámoslas: $$ \begin{matrix} \displaystyle\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 4\pi K \rho & \quad & \displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0 \\ \displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{E} = - \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} & \quad & \displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \\ \end{matrix} $$ Vamos a tratar con la fuerza gravitatoria según la formulación Hooke-Newton ($a.\text{abril }1686$), la Ley de Gravitación Universal. En especial, para su notación diferencial del campo gravitatorio, $\text{d}\vec{g}$ , nos da la relación con la masa puntal, $\text{d}m$ . En mecánica newtoniana el Teorema de la cáscara (Shell's theorem) establece la equivalencia gravitatoria entre un cuerpo (con cualquier distribución de masa) con respecto a su centro de masa (con toda la masa localizada ahí). $$ \vec{F} = \frac{GMm}{{{\|\vec{r}\|}_2}^2} \widehat{r} \implies \text{d}\vec{g} = G\frac{\text{d}m}{{{\|\vec{r}\|}_2}^2} \widehat{r} $$ Muchas veces para intentar visualizar campos vectoriales es recomendable imaginarse un "fluido virtual" que nos ayude a conceptuar lo que estudiamos. Veamos dichas ecuaciones y veamos qué significan: $$ \boxed{ \vec{\nabla}\cdot\vec{g} = -4\pi G \rho \qquad\qquad \vec{\nabla}\times\vec{g} = \vec{0} } $$ Nótese que la constante $4\pi G$ (donde $G$ es la constante de Cavendish para la gravitación universal) solo nos cuenta cómo se amplifica/disminuye el efecto de la divergencia. La densidad de la fórmula, $\rho$ , hace referencia a la de un entorno alrededor de dicho punto, es decir, que puede ser $0$ (un punto del espacio) o estrictamente positiva (un punto con masa). Esto implica que cualquier superficie cerrada virtual que imaginemos (gaussiana) "crea" un campo gravitatorio atrayente hacia sí. De forma equivalente si existiesen densidades negativas (masas negativas) repelerían a las positivas (como en electromagnetismo).

La divergencia nos dice cuánto un campo apunta hacia adentro o hacia fuera de un punto concreto. En particular, la divergencia del campo gravatatorio, $\vec{\nabla}\cdot\vec{g}$ , nos dice que no hay fuentes de ese "fluido virtual", sino que todo punto o bien fluye a través, o bien es un sumidero. En especial, para cualquier superficie gaussiana, entra tanto o más fluido virtual del que sale. Piénsese en una bañera llena en el instante en el que se quita el tapón: el grifo está cerrado (no hay fuentes), y el agua está calma (divergencia $0$ ), o se va por el desagüe (sumidero).

El rotacional no es sobre el campo en sí, sino lo que el campo puede causar: nos dice en qué sentido algo dentro del campo girará o circulará (en condiciones "normales"). En particular, el rotacional del campo gravitatorio, $\vec{\nabla}\times\vec{g}$ , nos dice que si consideramos una barra con centro fijado (estático) no empezará a rotar.

Todo esto es un poco idealización porque según nos dice la teoría de la relatividad general de Einstein, no existe una fuerza gravitatoria, sino que es la percepción que tenemos de la deformación del espacio-tiempo. Y no es la masa en sí lo que lo crea sino el tensor energía-esfuerzo.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(643) - Gauss no sabía integrar. ¿O sí?

Lo primero que uno pensaría ante esta premisa es: ¿qué tontería es esto? ¿Cómo es posible que Princeps Mathematicorum (en latín), der Fürst der Mathematiker (en alemán), es decir, el Príncipe de las Matemáticas no supiera integrar? ¿No tiene acaso Gauss una familia de integrales llamadas en su honor? Así es. Es más en $1809$, en su obra Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Teoría del Movimiento de los Cuerpos Celestes que giran alrededor del sol en secciones cónicas), no solo describe el movimiento planetario e introduce la idea de mínimos cuadrados, sino que además supone que los errores o desviaciones que tienen estos parámetros siguen una distribución normal o gaussiana, y para ello calculó esta familia de integrales:
$$ \begin{matrix} \displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha (x+\beta)^2}\;\text{d}x & = & \displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}\;} \\
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{- a x^2 + b x + c}\;\text{d}x & = & \displaystyle e^{\frac{b^2}{4a\;}+c}\sqrt{\frac{\pi}{a}\;} \end{matrix} \implies \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}x^2}\;\text{d}x = \sqrt{2\pi\;} $$
Entonces, ¿por qué la proclama original? La integral (aunque se pueda encontrar algún caso de proto-integral desde la Antigüedad Clásica) tiene sus orígenes en la segunda mitad del $\text{siglo XVII}$ con el alemán Leibniz y el inglés Newton, al desarrollarse el cálculo "clásico". Muchos matemáticos posteriores usaron la integral en sus trabajos como Euler o Lagrange, por mencionar unos pocos.

Sin embargo, hubo que esperar hasta mediados del $\text{siglo XIX}$ , casi dos siglos después, para obtener una definición concisa y rigurosa de la integral y de la integración. Bernhard Riemann fue quien dio dicha definición casi "accidentalmente" en $1854$ . Uso accidental aquí con significado del platonismo: no parte de su esencia, no-intrínseco, es decir, del mismo modo que sucedió así, podría no haber ocurrido, y no habría sido muy diferente. Riemann propuso su modelo en el capítulo «Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit» (Sobre el concepto de una integral definida y [sobre] el alcance de su validez) de su artículo «Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» (Sobre la posibilidad de representación de una función a través de una serie trigonométrica). Si a Riemann se le hubiese ocurrido otro procedimiento, u otra demostración a la hora de abordar el problema, puede que no hubiésemos tenido la definición de la integral. Tal importancia tiene esta definición que si Riemann no hubiese hecho ningún descubrimiento matemático más, todavía sería un matemático con fama.

Riemann presentó este artículo en $1854$ , un año antes de que su mentor, Gauss, muriese ( $1855$ ). Ambos hechos ocurrieron en la ciudad de Gotinga. El artículo era un documento interno a la Universidad de Gotinga. La finalidad de este artículo era ser su Habilitationsschrift (disertación de habilitación) para poder convertirse en profesor. Dicho artículo se publicó póstumamente en $1868$ (Riemann murió en $1866$ ) en la recién creada revista divulgativa Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Procedimientos de la Real Sociedad de las Ciencias de Gotinga).

La premisa que expongo es que Gauss nació, vivió y trabajó sin conocer una teoría de integración concisa, rigurosa, y más o menos completa. Esto no significa que no supiese integrar del todo, ni que no supiera qué es una integral (Gauss daría cien vueltas a muchos matemáticos y a otros, mil), sino que desde un punto de vista moderno, su formación y algún trabajo suyo ahora mismo parecerían incompletos, o parcialmente erróneos dadas las ampliaciones y mejoras que han ido surgiendo a lo largo de los años. Por ejemplo, cualquier estudiante de ciencias en bachillerato acaba con una formación matemática y física a veces superior a Newton (padre del cálculo y de la mecánica clásica) en especial en cálculo de derivadas por ejemplo. Esto no significa que el bachiller medio sea mejor matemático que Newton, sino que al crecer con diferentes conocimientos a sendas disposiciones, se desarrollan de diferentes formas.

Asimismo uno podría exponer la misma premisa con Riemann, ya que su integral flaquea con ciertos tipos de funciones que la integral de Lebesgue ( $1904$ ) mejora. Empero la integral de Lebesgue es mejorable para procesos estocásticos con la integral de Страто́нович [Stratónovich], o con la de 伊藤 (Itô) de $1944$ . Además este modelo de integración se puede mejorar para funciones que oscilan infinitamente en torno a un punto como Henstock-Kurzweil ( $1912$ ) , o para funciones cuyo diferencial sea en sí una función, la integral de Stieltjes de $ 1894 $ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(617) - Trigonometría Racional. Una reformulación curiosa

Empecemos diciendo esto qué no es: no es un artículo sobre trigonometría cuyos ángulos, o cuyos valores sean números racionales (para eso habrá que esperar a la entrada del Teorema de Niven-Hadwiger), sino de una reformulación más "racional" (en el sentido estricto), más lógica de la trigonometría. 

El canadiense Norman J. Wildberger, profesor de matemáticas en la Universidad de Nueva Gales del Sur (Australia), se propuso hacer esta reformulación que terminó $\text{a.}2005$ con la publicación de su libro (enlace), y que luego fue relatando en una serie de vídeos de su canal de Youtube (enlace). 

En vez de tratar con ángulos, distancias a modo de catetos opuesto, y adyacente, o hipotenusa, o algunos ratios, se utilizan los términos cuadranza, extensión, y cruce (en menor medida). 

· Cuadranza (quadrance), $Q$ : Reemplaza el concepto de distancia. Mide el área del cuadrado dados dos de sus vértices, es decir, mide el cuadrado de la distancia, $d^2$ . Los griegos muchas veces, como en el teorema de Pitágoras, hablaban más de áreas que de longitudes.

· Extensión (spread) , $s$ : Reemplaza el concepto de ángulo. Mide la ratio entre la cuadranza ascendida entre la cuadranza recorrida, es decir, mide el cuadrado del seno, $\sin^2(\theta)$ . 

· Cruce (cross), $1-s$ : Es el complementario a la extensión, es decir, mide el cuadrado del coseno, $\cos^2(\theta)\triangleq 1-\sin^2(\theta)$ . 

Triángulo trigonométrico racional

 

Muchas de los resultados clásicos tienen sus análogos en este reformulación, veamos algunos ejemplos:  

$$ \begin{matrix} 
\text{Teorema de Pitágoras} & a^2 = b^2 + c^2 &\qquad& Q_1 = Q_2 + Q_3 \\ 
\text{Teorema del seno} & \displaystyle \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)} & \qquad & \displaystyle \frac{Q_1}{s_1}=\frac{Q_2}{s_2}=\frac{Q_3}{s_3} \\ 
\text{Teorema del coseno} & \displaystyle -a^2+b^2+c^2 = 2bc\cos(\alpha) &\qquad& (-Q_1+Q_2+Q_3)^2 = 4Q_2Q_3(1-s_1) \end{matrix} $$

Caben resaltar dos fórmulas más:

$$ (Q_1+Q_2+Q_3)^2=2\big({Q_1}^2+{Q_2}^2+{Q_3}^2\big) \qquad (s_1+s_2+s_3)^2=2\big({s_1}^2+{s_2}^2+{s_3}^2\big)+4s_1s_2s_3 $$

Casi todas estas relaciones se pueden obtener partiendo de las relaciones clásicas y modificándolas hasta alcanzar una expresada en los términos deseados. Cabe resaltar a su vez que la trigonometría racional a veces hace uso de relaciones de cuadrados a los que Euclides les dedica algunas proposiciones en su obra magna Los Elementos, como por ejemplo:

$$ (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2) \qquad (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab $$

O haciendo uso de la Identidad de Brahmagupta-Fibonacci/de Diofanto:

$$ (a_2b_1-a_1b_2)^2+(a_1a_2+b_1b_2)^2=\big({a_1}^2+{b_1}^2\big)\big({a_2}^2+{b_2}^2\big) $$

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(593) - Cuando la regla del producto falla en el caso más simple. Ecuación de Meshchérskiy-Tsiolkóvskiy

En el día de hoy intentamos entender una paradoja al usar mal la regla del producto al derivar: Partamos de la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] (no en su formulación newtoniana, sino con el Teorema del momento lineal), y de la definición newtoniana de momento lineal ( $\vec{p}$ ). $$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t}\qquad\wedge\qquad \vec{p}\overset{\text{def}}{=} m\vec{v}$$ Ahora combinemos ambas, y apliquemos la regla de la cadena: $$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}(m\vec{v})}{\text{d}t} \implies \sum\vec{F} \overset{???}{=} \frac{\text{d}m} {\text{d}t}\vec{v} + m\frac{\text{d}\vec{v}} {\text{d}t} $$ Esto no cumple el Principio de Relatividad bajo las Trasformaciones galileanas (Invarianza galileana): para un objeto de masa variable cuando $\displaystyle \sum\vec{F}\equiv\vec{0}$ , la expresión anterior implicaría que permanece en reposo en un sistema que originalmente está en reposo, pero lo acelera una "fuerza ficticia" $\displaystyle -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}\vec{v}\not\equiv\vec{0}$ en un sistema que se mueve con velocidad $\vec{v}$ .

Para resolver esta paradoja aparente, consideremos una acreción de masas (colisión donde se suman las masas), pues es más intuitivo que el caso de eyección (donde también se llega al mismo resultado): Consideremos en un instante $t$ dos partículas cuyas masas instantáneas son $\text{d}m$ , y $m$ con sendas velocidades instantáneas $\vec{v}_1$ , y $\vec{v}$ , por lo que tienen un momento lineal total de $\vec{p}\vert_{t}=\text{d}m\cdot\vec{v}_1+m\vec{v}$ .

Tras la colisión, en un instante $t+\text{d}t$ , la masa instantánea será $m+\text{d}m$ , y tendrá una velocidad instantánea $\vec{v}+\text{d}\vec{v}$ , ergo tiene un momento lineal $\vec{p}\vert_{t+\text{d}t}=(m+\text{d}m)\cdot(\vec{v}+\text{d}\vec{v})$ .

El impulso instantáneo es $\vec{I}\overset{\text{def}}{=}\vec{p}\;\big\vert_t^{t+\text{d}t}=\text{d}\vec{p} = \text{d}m\cdot(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\text{d}\vec{v}$ (despreciando el producto de dos diferenciales) que ha transcurrido en un intervalo $\text{d}t$ , en $[t,t+\text{d}t]$ .

Nótese que $\vec{v}-\vec{v}_1$ es la velocidad relativa de la partícula de masa instantánea $m$ respecto a la otra partícula, la de masa instantánea $\text{d}m$ .

Si se halla la fuerza, se llega a una expresión similar, pero corregida respecto a la inicial ( $\vec{F}\neq m\vec{a}$ ) : $$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} = \frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} }$$ El término $\displaystyle \vec{F}_\text{reac}\overset{\text{def}}{=}-\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1)$ es la fuerza de reacción, es decir, la fuerza ejercida sobre el sistema ya que hay una variación de masa. Si se pasa al otro término vemos una relación mucho más familiar: $$\vec{F}_\text{ext} + \vec{F}_\text{reac} = m\vec{a}$$ Es justamente por este término de donde surge la paradoja: la fuerza que aparece en la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] hace referencia a la suma de todas las fuerzas externas, es decir, a la fuerza neta (o resultante), pero una variación en la masa del objeto se puede deber a una fuerza interna, a un empuje, etc.
De aquí se saca la conocida Ecuación de Meshchérskiy (también transliterado como Meshchérskij , del ruso Меще́рский , también escrito como Меще́рскій anterior a la reforma ortográfica de $1918$), donde $\vec{v}_\text{rel} =-(\vec{v}-\vec{v}_1) $ : $$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} + \frac{\text{d} m}{\text{d}t}\vec{v}_\text{rel} = m \frac{\text{d} \vec{v}}{\text{d}t} }$$ Su caso particular con $\vec{F}_\text{ext}\equiv\vec{0}$ se conoce como Ecuación del cohete de Tsiolkóvskiy (también transliterado como Tsiolkóvskij , del ruso Циолко́вский , también escrito como Ціолко́вскій anterior a la reforma ortográfica de $1918$), que implica resolver la ecuación diferencial: $$ -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) = m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} \iff -\frac{\text{d}m}{m} = \frac{\text{d}\vec{v}}{\vec{v}-\vec{v}_1} $$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.