(997) - Integrales trigonométricas de Fresnel

¿Qué crees que nos pondrá? ¿Algo díficil de integrar? - A lo que respondí: No sé, pero mientras no nos ponga ninguna como el seno o coseno de Fresnel, que se definen como una integral... - A lo que me respondieron: ¡No, hombre, no! ¡Cómo va a poner algo de eso! - Al recibir el examen vimos que había que integrar a lo largo de una curva parametrizada, donde según la parametrización indicada se tenían que usar estas funciones.

Empecemos con el seno normalizado de Fresnel: $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{S}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\sin\!\left(\frac{\pi}{2}t^2\right) \;\mathrm{d}t
\end{array}$$ De forma análoga se define el coseno normalizado de Fresnel $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{C}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t^2\right) \;\mathrm{d}t
\end{array}$$ Veamos una gráfica de las funciones:

Con esta definición es fácil ver que son funciones $\mathscr{C}^\infty$ cuyo desarrollo en serie viene dado por: $$ \operatorname{S}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\pi^{2n+1}}{2^{2n+1}(4n+3)(2n+1)!}x^{4n+3} \qquad \operatorname{C}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\pi^{2n}}{2^{2n}(4n+1)(2n)!}x^{4n+1} $$ Uno de los límites interesantes que tienen estas funciones son: $$ \lim_{x\to\pm\infty}\operatorname{S}(x) = \lim_{x\to\pm\infty}\operatorname{C}(x) = \pm\frac{1}{2} $$ Veamos la curva conocida como espiral de Cornu $\Big\{\big(\operatorname{C}(x),\operatorname{S}(x)\big)\,/\,x\in\mathbb{R}\Big\}$

Estas funciones están íntimamente relacionadas con la función error gaussiano, $\varepsilon\!\operatorname{rf}(x)$. Estas funciones no solo aparecen en óptica, sino también en ecuaciones diferenciales, al considerar los iterantes de Picard para la ecuación diferencial del péndulo simple.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(977) - El nieto de Darwin & Weber corrigen a Coulomb & Maxwell. Los otros Darwin

"Un matemático es un ciego en un cuarto a oscuras buscando un gato negro, que no está ahí" es una frase normalmente asociada al biólogo Charles Robert Darwin ($1809-1882$). Sin embargo, es una cita falsa. En su propia biografía escribió: "Me he arrepentido profundamente de que no seguí lo suficientemente lejos para al menos entender los grandes principios gobernantes de la matemática, que para aquellos que los entienden, parece que tienen un sentido extra."

Estos fuertes sentimientos se los transmitió a su hijo George Howard Darwin ($1845-1912$), matemático y astrónomo, y este al suyo, Charles Galton Darwin ($1887-1962$), un físico.

En el artículo de hoy, tratamos un tema entre la mecánica teórica y la electrodinámica semi-clásica. La ley de Coulomb se suele plantear como una ley empírica para cargas puntuales en reposo (luego se suele generalizar para distribuciones varias de cargas). Nótese el "en reposo". Dos cargas tendrán una interacción tipo Coulomb entre ellas, que perturbará su estado de reposo. El lagrangiano que describe la interacción entre dos partículas es el debido a las partículas sin interacción (simplemente con la energía cinética clásica y una corrección relativista a primer order), y el de la interacción per se entre las partículas: el de la interacción Coulombiana y el lagrangiano de Darwin, que describe las interacciones a primer orden relativista entre dos partículas, que se debe a que cada partícula reacciona al campo magnético generado por la otra.

El físico alemán Wilhelm Eduard Weber ($1804-1891$) es el padre de una concepción de la electrodinámica que lleva su nombre, donde ahora la Ley de Coulomb se corrige para ser dependiente de la velocidad: $$ \vec{F} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0r^2}\left(1-\frac{\dot{\vec{r}}\cdot\dot{\vec{r}}}{2 c^2}+\frac{\vec{r}\cdot\ddot{\vec{r}}}{c^2}\right) \widehat{r} $$ Darwin no paró ahí sus contribuciones a la electridinámica. Por ejemplo en el tratamiento del átomo de hidrógeno hay muchos matices: normalmente se resuelve la ecuación de la forma más simple posible y luego se tiene en cuenta a posteriori los diferentes efectos que hay presentes, que se introducen como términos extra sucesivos. Entre ellos, está el término de Darwin (en la expansión no-relativista de la ecuación de Dirac, que proviene en las fluctuaciones cuánticas del movimiento del electrón - Zitterbewegung).




Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(953) - Polinomios de Bernstein

El teorema de aproximación polinómica de Weierstrass indica que toda función continua en un intervalo cerrado se puede aproximar uniformememte por una sucesión de polinomios. Por ejemplo, podemos usar los polinomios de Bernsteins para aproximar $f(x)$ en $[a,b]$. $$ B_N(x) = \sum_{k=0}^N f\left(a+\frac{b-a}{N}k\right)\binom{N}{k} \frac{(x-a)^k(b-x)^{N-k}}{(b-a)^N} \qquad B_N(x) = \sum_{k=0}^N \beta_k B_{N,k}(x) ;$$
Como se puede ver, se ha aproximado por un polinomio como una combinación lineal de los elementos de una base polinómica (los polinomios de Bernstein), con $(N+1)$ polinomios de grado $N$ , $\Big\{ B_{N,k}(x)\Big\}_{k=0}^N$ vienen dados por: $$ B_{N,k}(x) = \binom{N}{k} \frac{(x-a)^k(b-x)^{N-k}}{(b-a)^N} \qquad \beta_k = f\left(a+\frac{b-a}{N}k\right) $$ Donde $\beta_k$ son los coeficientes de Bernstein-Bézier

Tras una normalización donde se define la nueva variable $t=\displaystyle \frac{x-a}{b-a}$, ahora $t\in[0,1]$, por lo que se simplifican las expresiones: $$ B_N(t) = \sum_{k=0}^N f\left(\frac{k}{N}\right)\binom{N}{k} t^k(1-t)^{N-k} $$

Los polinomios satisfacen estas relaciones $$ \binom{N}{k} \left(\frac{k}{N}\right)^k\left(1-\frac{k}{N}\right)^{N-k} = \binom{N}{k}\frac{k^k (N-k)^{N-k}}{N^N} \geqslant B_{N,k}(t) \geqslant 0 \implies \frac{N!}{2^N \displaystyle \left(\frac{N}{2}\right)!^2} \geqslant B_{N,\frac{N}{2}}(t) \geqslant 0 $$ Nótese que los polinomios tienen cierta simetría: $$ B_{N,k}(t)=B_{N,N-k}(1-t) $$
En particular se satisface: $$ 0 \leqslant t \leqslant 1 \implies \sum_{k=0}^N B_{N,k}(t) = 1 $$ Veamos algunos ejemplos:

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(887) - Trigonometría elíptica de Jacobi

¿Alguien se ha preguntado el lector por qué cuando se ve el péndulo simple en bachillerato, siempre se aproxima, nunca dando su solución exacta, aun siendo un problema ideal? Esto a veces ocurre hasta en los cursos inferiores de universidad. El problema no es que no tenga una solución analítica cerrada, sino que la introducción matemática previa para poder comprenderlo, es demasiado a veces.

En física hay ciertas ecuaciones diferenciales cuyas soluciones hacen necesario emplear una familia de funciones: las funciones elípticas de Jacobi. Algunos de estos casos son el péndulo simple (como ya hemos comentado), el oscilador de Duffing, o la solución de la I Ley de Kepler en Relatividad general.

Esta familia de funciones puede ser muy laboriosa y engorrosa de trabajar y lidiar con ellas, ya que son funciones univariables que se definen en función de un parámetro a través de integrales. Algunas se definen simplemente como la inversa de otra, añadiendo otro grado de dificultad en algunos puntos.

Ecuación diferencial y solución para el ángulo de un péndulo simple: $$ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} \theta(t) + {\omega_0}^2 \sin\!\big(\theta(t)\big) = 0 \implies \theta(t) = 2\operatorname{am}\!\left( \frac{\sqrt{2+c_1\,}}{2}(\omega_0t+c_2) \Big| \frac{4}{2+c_1} \right) $$ Las funciones elípticas de Jacobi se definen como un conjunto de funciones integrales paramétricas: Veamos algunos ejemplos de cómo varían según este parámetro: $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{sn}(u|m) = \sin(u) \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{sn}(u|m) = \operatorname{tgh}(u) $$ $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{cn}(u|m) = \cos(u) \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{cn}(u|m) = \frac{1}{\cosh(u)} $$ $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{dn}(u|m) = 1 \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{dn}(u|m) = \frac{1}{\cosh(u)} $$ $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{am}(u|m) = u \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{am}(u|m) = \operatorname{gd}(u) $$ Donde $\operatorname{gd}(u)$ es la función gundermaniana, definida como $$ \operatorname{gd}(u) \overset{\mathrm{def}}{=} \int_0^u \frac{1}{\cosh(t)}\;\mathrm{d}t = \arctan\!\big(\sinh(u)\big) $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(883) - Una de las joyas de la corona de la geometría moderna. Simedianas

Consideremos un triángulo cualquiera de vértices A, B, C. Dibujemos el punto medio de cada pareja de vértices A’, B’, C’. Unamos cada vértice con el punto medio del lado opuesto. A este segmento de recta se lo conoce como mediana.

Volvamos ahora a nuestro triángulo original, y dibujemos en cada vértice la bisectriz, es decir, la recta que subdivide el ángulo en dos subángulos iguales.

Ahora tenemos dos segmentos que pasan por cada vértice. En cada uno de los vértices, reflejemos cada mediana por su bisectriz, es decir, trazar la imagen especular de la mediana la situar un espejo en la bisectriz. Este segmento de recta se le conoce como simediana (en inglés symmedian de symmetric median – mediana simétrica por su construcción). La simediana tiene una importante propiedad: forma con su bisectriz el mismo ángulo que la bisectriz forma con la mediana, dicho de otro modo, la bisectriz del par mediana-simediana es la misma que la del vértice en el que parten.

Sabemos que las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro (centro de la circunferencia circunscrita al triángulo - X(1) en la enciclopedia de centros de triángulos), y las medianas en el centroide (el centro de masa al colocar masas idénticas en los vértices - X(4) en la enciclopedia de centros de triángulos). Las tres simedianas de un triángulo también se cortan en un punto: el punto de Lemoine-Grebe o el punto simediano (el X(6) en la enciclopedia de centros de triángulos).

Esta construcción que en principio parece tan arbitraria tiene su por qué: Tanto la mediana, la bisectriz, o la simediana son cevianas, ternas de rectas o de segmentos de rectas que pasan por los vértices de un triángulo y algún punto del lado opuesto. A los pares de rectas reflejados respecto a la bisectriz se los llama conjugados isogonales (nótese que la bisectriz es su conjugada reflejada isogonal). Además, esta propiedad además de ser la mediana una ceviana hace que la simediana herede propiedades muy buenas y deseables. Por ejemplo, un teorema nos dice que si tres cevianas se cortan en un punto, sendas tres conjugadas isogonales también se cortan en un punto.

Las rectas a rayas son las medianas, las punteadas son las bisectrices, y las rayadas-punteadas son las simedianas. En magenta el centroide, en cian el incentro, y en amarillo el punto de Lemoine-Grebe.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(647) - Las dos ecuaciones de Maxwell olvidadas: Gravitación

En este artículo vamos a tratar unas identidades que tienen la forma de las ecuaciones de Maxwell, pero para gravitación en vez de electromagnetismo: En $1865$ Maxwell ($1831-1879$) publicó A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (Una teoría dinámica del campo electromagnético) donde exponía varias fórmulas que serían conocidas como Ecuaciones de Maxwell, pero se tuvo que esperar hasta $1884$ cuando Oliver Heaviside ($1850-1925$) y Williard Gibbs ($1839-1903$) las reformularon en la notación vectorial que usamos hoy día, y simplificando el número de ecuaciones. Veámoslas: $$ \begin{matrix} \displaystyle\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 4\pi K \rho & \quad & \displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0 \\ \displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{E} = - \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} & \quad & \displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \\ \end{matrix} $$ Vamos a tratar con la fuerza gravitatoria según la formulación Hooke-Newton ($a.\text{abril }1686$), la Ley de Gravitación Universal. En especial, para su notación diferencial del campo gravitatorio, $\text{d}\vec{g}$ , nos da la relación con la masa puntal, $\text{d}m$ . En mecánica newtoniana el Teorema de la cáscara (Shell's theorem) establece la equivalencia gravitatoria entre un cuerpo (con cualquier distribución de masa) con respecto a su centro de masa (con toda la masa localizada ahí). $$ \vec{F} = \frac{GMm}{{{\|\vec{r}\|}_2}^2} \widehat{r} \implies \text{d}\vec{g} = G\frac{\text{d}m}{{{\|\vec{r}\|}_2}^2} \widehat{r} $$ Muchas veces para intentar visualizar campos vectoriales es recomendable imaginarse un "fluido virtual" que nos ayude a conceptuar lo que estudiamos. Veamos dichas ecuaciones y veamos qué significan: $$ \boxed{ \vec{\nabla}\cdot\vec{g} = -4\pi G \rho \qquad\qquad \vec{\nabla}\times\vec{g} = \vec{0} } $$ Nótese que la constante $4\pi G$ (donde $G$ es la constante de Cavendish para la gravitación universal) solo nos cuenta cómo se amplifica/disminuye el efecto de la divergencia. La densidad de la fórmula, $\rho$ , hace referencia a la de un entorno alrededor de dicho punto, es decir, que puede ser $0$ (un punto del espacio) o estrictamente positiva (un punto con masa). Esto implica que cualquier superficie cerrada virtual que imaginemos (gaussiana) "crea" un campo gravitatorio atrayente hacia sí. De forma equivalente si existiesen densidades negativas (masas negativas) repelerían a las positivas (como en electromagnetismo).

La divergencia nos dice cuánto un campo apunta hacia adentro o hacia fuera de un punto concreto. En particular, la divergencia del campo gravatatorio, $\vec{\nabla}\cdot\vec{g}$ , nos dice que no hay fuentes de ese "fluido virtual", sino que todo punto o bien fluye a través, o bien es un sumidero. En especial, para cualquier superficie gaussiana, entra tanto o más fluido virtual del que sale. Piénsese en una bañera llena en el instante en el que se quita el tapón: el grifo está cerrado (no hay fuentes), y el agua está calma (divergencia $0$ ), o se va por el desagüe (sumidero).

El rotacional no es sobre el campo en sí, sino lo que el campo puede causar: nos dice en qué sentido algo dentro del campo girará o circulará (en condiciones "normales"). En particular, el rotacional del campo gravitatorio, $\vec{\nabla}\times\vec{g}$ , nos dice que si consideramos una barra con centro fijado (estático) no empezará a rotar.

Todo esto es un poco idealización porque según nos dice la teoría de la relatividad general de Einstein, no existe una fuerza gravitatoria, sino que es la percepción que tenemos de la deformación del espacio-tiempo. Y no es la masa en sí lo que lo crea sino el tensor energía-esfuerzo.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(643) - Gauss no sabía integrar. ¿O sí?

Lo primero que uno pensaría ante esta premisa es: ¿qué tontería es esto? ¿Cómo es posible que Princeps Mathematicorum (en latín), der Fürst der Mathematiker (en alemán), es decir, el Príncipe de las Matemáticas no supiera integrar? ¿No tiene acaso Gauss una familia de integrales llamadas en su honor? Así es. Es más en $1809$, en su obra Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Teoría del Movimiento de los Cuerpos Celestes que giran alrededor del sol en secciones cónicas), no solo describe el movimiento planetario e introduce la idea de mínimos cuadrados, sino que además supone que los errores o desviaciones que tienen estos parámetros siguen una distribución normal o gaussiana, y para ello calculó esta familia de integrales:
$$ \begin{matrix} \displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha (x+\beta)^2}\;\text{d}x & = & \displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}\;} \\
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{- a x^2 + b x + c}\;\text{d}x & = & \displaystyle e^{\frac{b^2}{4a\;}+c}\sqrt{\frac{\pi}{a}\;} \end{matrix} \implies \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}x^2}\;\text{d}x = \sqrt{2\pi\;} $$
Entonces, ¿por qué la proclama original? La integral (aunque se pueda encontrar algún caso de proto-integral desde la Antigüedad Clásica) tiene sus orígenes en la segunda mitad del $\text{siglo XVII}$ con el alemán Leibniz y el inglés Newton, al desarrollarse el cálculo "clásico". Muchos matemáticos posteriores usaron la integral en sus trabajos como Euler o Lagrange, por mencionar unos pocos.

Sin embargo, hubo que esperar hasta mediados del $\text{siglo XIX}$ , casi dos siglos después, para obtener una definición concisa y rigurosa de la integral y de la integración. Bernhard Riemann fue quien dio dicha definición casi "accidentalmente" en $1854$ . Uso accidental aquí con significado del platonismo: no parte de su esencia, no-intrínseco, es decir, del mismo modo que sucedió así, podría no haber ocurrido, y no habría sido muy diferente. Riemann propuso su modelo en el capítulo «Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit» (Sobre el concepto de una integral definida y [sobre] el alcance de su validez) de su artículo «Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» (Sobre la posibilidad de representación de una función a través de una serie trigonométrica). Si a Riemann se le hubiese ocurrido otro procedimiento, u otra demostración a la hora de abordar el problema, puede que no hubiésemos tenido la definición de la integral. Tal importancia tiene esta definición que si Riemann no hubiese hecho ningún descubrimiento matemático más, todavía sería un matemático con fama.

Riemann presentó este artículo en $1854$ , un año antes de que su mentor, Gauss, muriese ( $1855$ ). Ambos hechos ocurrieron en la ciudad de Gotinga. El artículo era un documento interno a la Universidad de Gotinga. La finalidad de este artículo era ser su Habilitationsschrift (disertación de habilitación) para poder convertirse en profesor. Dicho artículo se publicó póstumamente en $1868$ (Riemann murió en $1866$ ) en la recién creada revista divulgativa Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Procedimientos de la Real Sociedad de las Ciencias de Gotinga).

La premisa que expongo es que Gauss nació, vivió y trabajó sin conocer una teoría de integración concisa, rigurosa, y más o menos completa. Esto no significa que no supiese integrar del todo, ni que no supiera qué es una integral (Gauss daría cien vueltas a muchos matemáticos y a otros, mil), sino que desde un punto de vista moderno, su formación y algún trabajo suyo ahora mismo parecerían incompletos, o parcialmente erróneos dadas las ampliaciones y mejoras que han ido surgiendo a lo largo de los años. Por ejemplo, cualquier estudiante de ciencias en bachillerato acaba con una formación matemática y física a veces superior a Newton (padre del cálculo y de la mecánica clásica) en especial en cálculo de derivadas por ejemplo. Esto no significa que el bachiller medio sea mejor matemático que Newton, sino que al crecer con diferentes conocimientos a sendas disposiciones, se desarrollan de diferentes formas.

Asimismo uno podría exponer la misma premisa con Riemann, ya que su integral flaquea con ciertos tipos de funciones que la integral de Lebesgue ( $1904$ ) mejora. Empero la integral de Lebesgue es mejorable para procesos estocásticos con la integral de Страто́нович [Stratónovich], o con la de 伊藤 (Itô) de $1944$ . Además este modelo de integración se puede mejorar para funciones que oscilan infinitamente en torno a un punto como Henstock-Kurzweil ( $1912$ ) , o para funciones cuyo diferencial sea en sí una función, la integral de Stieltjes de $ 1894 $ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(631) - GIFs descargables: Integrales de Darboux, y de Riemann

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales de Darboux, y de Riemann. Definamos los subintervalos de la partición $I_k \overset{\text{def}}{=} [x_{k-1},x_k] \in\mathcal{P}\big([a,b]\big)$ .
Integral de Daboux
La suma inferior de Darboux, $s(f,\mathcal{P}_n)$ , hace referencia a la suma de las áreas de los rectángulos-verticales maximales que están contenidos entre el eje de abscisas y la función $f$ , mientras que la suma superior de Darboux, $S(f,\mathcal{P}_n)$ , hace referencia a la suma de las áreas de los rectángulos-verticales minimales que contienen en su interior la función $f$ . Según se aumenta el número de subintervalos $n$ , mejor se aproxima al valor del área bajo la función $f$ . $$ \begin{matrix}\displaystyle s(f,\mathcal{P}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n \inf_{x\in I_k}\!\big\{f(x)\big\} \Delta x_k &\quad & \displaystyle S(f,\mathcal{P}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n \sup_{ x\in I_k}\!\big\{f(x)\big\} \Delta x_k \\\displaystyle \mkern2.5mu\underline{\vphantom{\intop}\mkern15mu}\mkern-15mu\int_a^b \!\!\! f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \sup_{\mathcal{P}_n\,\in\,\mathcal{P}}\!\big\{s(f,\mathcal{P}_n)\big\} &\quad &  \displaystyle \mkern2.5mu\overline{\vphantom{\intop}\mkern15mu}\mkern-20mu\int_a^b \!\!\! f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \inf_{\mathcal{P}_n\,\in\,\mathcal{P}}\!\big\{S(f,\mathcal{P}_n)\big\} \\ \end{matrix} $$

Integral de Riemann
La suma asociada de Riemann, $\sigma(f,\mathcal{P}_n,T)$ , es la suma de las áreas de los rectángulos-verticales que aproximan la función $f$ en cada subintervalo $I_k$ , es decir, en cada subintervalo $I_k$ se considera un nodo $t_k$ tal que el valor de la función $f$ en dicho nodo, $f(t_k)$, sea una buena aproximación de la altura media de la función en dicho subintervalo. Según se aumenta el número de subintervalos $n$ , mejor se aproxima al valor del área bajo la función $f$ . $$ \begin{matrix} \displaystyle \sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n f(t_k)\Delta x_k \quad\displaystyle \int_a^b f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \lim_{\|\mathcal{P}_n\hspace{1pt}\|\to 0}\!\!\! \sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \\ \displaystyle \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n f(t_k)\Delta x_k \quad\displaystyle \int_a^b f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \lim_{\|\dot{\mathcal{P}}_n\hspace{1pt}\|\to 0}\!\!\! \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) \end{matrix} $$

Integral de Riemann - variando los nodos
Aquí vemos variando el nodo $t_k$ en cada subintervalo $I_k$ (tomando cada uno con la misma definición respecto a los extremos del subintervalo). Así pues pasamos de una suma de Riemann por la izquierda ( $\lambda=0$ ) a una del punto medio ( $\lambda=0.5$ ) y finalmente a una por la derecha ( $\lambda=1$ ). $$ \lambda_k\in[0,1] \,/\, t_k \overset{\text{def}}{=} (1-\lambda_k)x_{k-1}+\lambda_k x_k\in I_k \in \mathcal{P}_n\big([a,b]\big) \\ \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) = \sum_{k=1}^n f\big((1-\lambda)x_{k-1}+\lambda x_k\big) \Delta x_k $$

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(613) - Valor principal de Cauchy. Integrando al límite y al infinito

Aclaremos una cosa: esta entrada no trata el problema del valor inicial de Cauchy para ecuaciones diferenciales (en el que se halla la única solución a una ecuación diferencial dada una condición inicial concreta).

Supongamos que tenemos una función $f(x)$ de la que queremos hallar su integral en el intervalo $[a,b]$ (realmente da igual si es abierto o cerrado). Sin embargo, esta función no es continua en todo el intervalo, sino que tiene una discontinuidad en algún punto intermedio $\xi\in[a,b]$ .

• Si fuera una discontinuidad evitable, es decir, si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) = \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) \not = f(\xi) $, entonces la integral sería: $\displaystyle \int_a^b \hspace{-5pt} f = \int_a^{\to\xi^{-}} \hspace{-8pt} f+ \int_{\to\xi^{+}}^b \hspace{-3.5pt} f $ .
• Si fuera una discontinuidad inevitable de salto finito ( $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) - \lim_{x\to\xi^{+}} f(x)\lneq\infty$ ), es decir, si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) \not = \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) $, entonces la integral sería: o bien $\displaystyle \int_a^b \hspace{-5pt} f = \int_a^{\to\xi^{-}} \hspace{-8pt} f + \int_\xi^b \hspace{-6pt} f $ (si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) = f(\xi) $ ), o bien $\displaystyle \int_a^b \hspace{-5pt} f = \int_a^\xi \hspace{-6pt} f + \int_{\to\xi^{+}}^b \hspace{-3.5pt} f $ (si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) = f(\xi) $ ).
• Si fuera una discontinuidad inevitable de salto infinito ( $\displaystyle |\lim_{x\to\xi^{-}} f(x) - \lim_{x\to\xi^{+}} f(x)| = \infty$ ) es decir, si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) = \pm\infty = \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) $ [particularizando al caso que queremos estudiar], entonces la integral numérica no tendría del todo sentido siempre: 

1. Si ambos límites laterales convergen en valor absoluto a infinito y tienen el mismo signo, la integral numérica da $\pm\infty$ . 
2. Sin embargo, si ambos convergen en valor absoluto a infinito, pero tienen distinto signo, uno podría preguntarse cómo calcular [numéricamente] el valor de la integral. La respuesta es a través de un límite: 

$$\boxed{ ―\hspace{-11.5pt}\int_a^b \hspace{-5pt} f \overset{\text{def}}{=} \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} \Bigg( \int_a^{\xi-\varepsilon}\hspace{-5pt} f + \int_{\xi+\varepsilon}^b \hspace{-5pt} f \Bigg) }$$ 

Nótese que se está evaluando la integral en $[a,b]\setminus[\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon] \triangleq [a,\xi-\varepsilon) \cup (\xi+\varepsilon,b] $, y por las propiedades de la integración, la integral en ese subintervalo (bajo ciertas condiciones), $\displaystyle \int_{\xi-\varepsilon}^{\xi+\varepsilon}\hspace{-5pt} f = 2\varepsilon\cdot f(\eta) \!\underset{\varepsilon\to 0}{\longrightarrow}\! 0 $ donde $\eta\in (\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon)$ .

Con la definición del valor principal de Cauchy, uno puede dar un resultado numérico a integrales tipo: $ \displaystyle ―\hspace{-11.5pt}\int_{-1}^2 \frac{1}{x} \text{d}x = \ln 2 $ , o puede incluso definir funciones más difíciles como la integral logarítmica (de la que hablaremos más adelante): $$ \displaystyle \operatorname{li}(x) \overset{\text{def}}{=} ―\hspace{-11.5pt}\int_0^x \frac{1}{\ln(t)} \text{d}t $$

El valor principal de Cauchy es una generalización para ciertas integrales numéricas que sigue abarcando los casos más simples.
En cuanto a notación el valor principal de Cauchy se denota como $\displaystyle ―\hspace{-11.5pt}\int$ que corresponde al comando \fint en LaTeX , y en otras ocasiones $\displaystyle \int_L^\ast$ , $\displaystyle \mathcal{C}\int$ , $\displaystyle (CPV)\int$ , $\displaystyle P\int$ , $\displaystyle PV\int$ , $\displaystyle \operatorname{P.V.}\int$ , $\displaystyle P_v\int$ , $\displaystyle \operatorname{V.P.}\int$ , $\displaystyle \operatorname{p.v.}\int$ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(593) - Cuando la regla del producto falla en el caso más simple. Ecuación de Meshchérskiy-Tsiolkóvskiy

En el día de hoy intentamos entender una paradoja al usar mal la regla del producto al derivar: Partamos de la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] (no en su formulación newtoniana, sino con el Teorema del momento lineal), y de la definición newtoniana de momento lineal ( $\vec{p}$ ). $$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t}\qquad\wedge\qquad \vec{p}\overset{\text{def}}{=} m\vec{v}$$ Ahora combinemos ambas, y apliquemos la regla de la cadena: $$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}(m\vec{v})}{\text{d}t} \implies \sum\vec{F} \overset{???}{=} \frac{\text{d}m} {\text{d}t}\vec{v} + m\frac{\text{d}\vec{v}} {\text{d}t} $$ Esto no cumple el Principio de Relatividad bajo las Trasformaciones galileanas (Invarianza galileana): para un objeto de masa variable cuando $\displaystyle \sum\vec{F}\equiv\vec{0}$ , la expresión anterior implicaría que permanece en reposo en un sistema que originalmente está en reposo, pero lo acelera una "fuerza ficticia" $\displaystyle -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}\vec{v}\not\equiv\vec{0}$ en un sistema que se mueve con velocidad $\vec{v}$ .

Para resolver esta paradoja aparente, consideremos una acreción de masas (colisión donde se suman las masas), pues es más intuitivo que el caso de eyección (donde también se llega al mismo resultado): Consideremos en un instante $t$ dos partículas cuyas masas instantáneas son $\text{d}m$ , y $m$ con sendas velocidades instantáneas $\vec{v}_1$ , y $\vec{v}$ , por lo que tienen un momento lineal total de $\vec{p}\vert_{t}=\text{d}m\cdot\vec{v}_1+m\vec{v}$ .

Tras la colisión, en un instante $t+\text{d}t$ , la masa instantánea será $m+\text{d}m$ , y tendrá una velocidad instantánea $\vec{v}+\text{d}\vec{v}$ , ergo tiene un momento lineal $\vec{p}\vert_{t+\text{d}t}=(m+\text{d}m)\cdot(\vec{v}+\text{d}\vec{v})$ .

El impulso instantáneo es $\vec{I}\overset{\text{def}}{=}\vec{p}\;\big\vert_t^{t+\text{d}t}=\text{d}\vec{p} = \text{d}m\cdot(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\text{d}\vec{v}$ (despreciando el producto de dos diferenciales) que ha transcurrido en un intervalo $\text{d}t$ , en $[t,t+\text{d}t]$ .

Nótese que $\vec{v}-\vec{v}_1$ es la velocidad relativa de la partícula de masa instantánea $m$ respecto a la otra partícula, la de masa instantánea $\text{d}m$ .

Si se halla la fuerza, se llega a una expresión similar, pero corregida respecto a la inicial ( $\vec{F}\neq m\vec{a}$ ) : $$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} = \frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} }$$ El término $\displaystyle \vec{F}_\text{reac}\overset{\text{def}}{=}-\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1)$ es la fuerza de reacción, es decir, la fuerza ejercida sobre el sistema ya que hay una variación de masa. Si se pasa al otro término vemos una relación mucho más familiar: $$\vec{F}_\text{ext} + \vec{F}_\text{reac} = m\vec{a}$$ Es justamente por este término de donde surge la paradoja: la fuerza que aparece en la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] hace referencia a la suma de todas las fuerzas externas, es decir, a la fuerza neta (o resultante), pero una variación en la masa del objeto se puede deber a una fuerza interna, a un empuje, etc.
De aquí se saca la conocida Ecuación de Meshchérskiy (también transliterado como Meshchérskij , del ruso Меще́рский , también escrito como Меще́рскій anterior a la reforma ortográfica de $1918$), donde $\vec{v}_\text{rel} =-(\vec{v}-\vec{v}_1) $ : $$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} + \frac{\text{d} m}{\text{d}t}\vec{v}_\text{rel} = m \frac{\text{d} \vec{v}}{\text{d}t} }$$ Su caso particular con $\vec{F}_\text{ext}\equiv\vec{0}$ se conoce como Ecuación del cohete de Tsiolkóvskiy (también transliterado como Tsiolkóvskij , del ruso Циолко́вский , también escrito como Ціолко́вскій anterior a la reforma ortográfica de $1918$), que implica resolver la ecuación diferencial: $$ -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) = m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} \iff -\frac{\text{d}m}{m} = \frac{\text{d}\vec{v}}{\vec{v}-\vec{v}_1} $$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(569) - Integrales. Riemann vs Darboux (con GIFs descargables)

En el día de hoy traemos una entrada bastante útil: ¿En qué se diferencian la integral de Riemann de la integral de Darboux?

Riemann propuso su integral en un artículo de la universidad de Gotinga en 1854, pero se publicó póstumamente en 1866. Unos años después, en 1875, Darboux propuso su integral.

Cabe resaltar que ambas son equivalentes, es decir, una función es Riemann-integrable si y solo si es Darboux-integrable. Ambas empiezan haciendo una partición del intervalo de integración, y considerando la suma de las áreas de los rectángulos que aproximan la integral.

La integral de Riemann para cada subintervalo toma un nodo tal que la función evaluada en dicho nodo sea una aproximación de la altura promedia del rectángulo, cuya área aproxima el área de la función en dicho subintervalo.

Suma de Riemann del punto medio en una partición uniforme.

La integral de Darboux para cada subintervalo halla el ínfimo y el supremo que toma la función en dicho subintervalo. Luego calcula las áreas del “rectángulo inferior” (el rectángulo de área maximal que está contenido por la función) y del “rectángulo superior” (el rectángulo de área minimal que contiene la función).

Sumas inferior y superior de Darboux en una partición uniforme.

La construcción de Darboux es probablemente la más intuitiva, la que se utiliza muchas veces a la hora de demostrar proposiciones, y la que se enseña en Bachillerato, mientras que la de Riemann se suele usar a la hora de computar numéricamente una integral.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(571) - Integral de Stieltjes. Integrales sin dx .

En el día de hoy traemos una entrada bastante curiosa y olvidada hasta por los profesores de análisis: La integral de Stieltjes, de $1894$ .

Cuando nos explicaban qué era una integral veíamos qué significaba el signo integral, qué es el integrando (la función que se integra) y el integrador (con respecto a qué se integra) que solía aparecer como $\text{d}x$ . Pero, ¿qué pasa cuando el integrador es una función en sí, $\alpha(x)$ ?

Por ejemplo, ¿qué significan $\displaystyle\int\,\text{d}x^3$ o por ejemplo $\displaystyle \int x\,\text{d}e^x$ ?

La integral de Stieltjes da respuesta a esta pregunta centrándose en el integrador más que en el integrando, cumpliendo las siguientes propiedades respecto al integrador:

·Es lineal.

·Para un integrando positivo, se conserva la monotonía (sino, se invierte).

·El valor absoluto de la integral es menor igual que la integral del valor absoluto

·Cumple la identidad de Chasles.

·Si (el integrador) es diferenciable, se puede sustituir  $\text{d}\alpha(x)=\alpha^{(1)}(x)\,\text{d}x$ .

Combinando esta construcción de la integral con otras, nos da dos equivalentes: la de Darboux-Stieltjes y Riemann-Stieltjes (donde las integrales de Darboux y Riemann a secas son sendos casos particulares más simples). Las integrales de D.-S. y R.-S. son aplicaciones bilineales asimétricas que son un paso anterior a la introducción de la integral de Lebesgue.

Aunque esto pueda parecer en un principio muy raro, integrar por partes es aplicar la integración de Stieljes con dos funciones diferenciables. (Es más usando la integración por partes se llega a una aplicación bilineal simétrica y/o antisimétrica de la integral de D.-S. y de R.-S. )

Las integrales de Darboux, Riemann, o Lebesgue nos dicen cómo ha tratarse la integral según el integrando, mientras que la de Stieltjes, según el integrador.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.