(997) - Integrales trigonométricas de Fresnel

¿Qué crees que nos pondrá? ¿Algo díficil de integrar? - A lo que respondí: No sé, pero mientras no nos ponga ninguna como el seno o coseno de Fresnel, que se definen como una integral... - A lo que me respondieron: ¡No, hombre, no! ¡Cómo va a poner algo de eso! - Al recibir el examen vimos que había que integrar a lo largo de una curva parametrizada, donde según la parametrización indicada se tenían que usar estas funciones.

Empecemos con el seno normalizado de Fresnel: $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{S}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\sin\!\left(\frac{\pi}{2}t^2\right) \;\mathrm{d}t
\end{array}$$ De forma análoga se define el coseno normalizado de Fresnel $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{C}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t^2\right) \;\mathrm{d}t
\end{array}$$ Veamos una gráfica de las funciones:

Con esta definición es fácil ver que son funciones $\mathscr{C}^\infty$ cuyo desarrollo en serie viene dado por: $$ \operatorname{S}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\pi^{2n+1}}{2^{2n+1}(4n+3)(2n+1)!}x^{4n+3} \qquad \operatorname{C}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\pi^{2n}}{2^{2n}(4n+1)(2n)!}x^{4n+1} $$ Uno de los límites interesantes que tienen estas funciones son: $$ \lim_{x\to\pm\infty}\operatorname{S}(x) = \lim_{x\to\pm\infty}\operatorname{C}(x) = \pm\frac{1}{2} $$ Veamos la curva conocida como espiral de Cornu $\Big\{\big(\operatorname{C}(x),\operatorname{S}(x)\big)\,/\,x\in\mathbb{R}\Big\}$

Estas funciones están íntimamente relacionadas con la función error gaussiano, $\varepsilon\!\operatorname{rf}(x)$. Estas funciones no solo aparecen en óptica, sino también en ecuaciones diferenciales, al considerar los iterantes de Picard para la ecuación diferencial del péndulo simple.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(967) - Trigonometría integral

Consideremos dos funciones definidas a partir de integrales. El seno integral se define como: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{Si}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\frac{\sin(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ Sin embargo, hay quienes prefieren la definición: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{si}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle -\int_x^\infty \!\frac{\sin(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ Donde ambas están interrelacionadas por $$ \operatorname{Si}(z)-\operatorname{si}(z)=\frac{\pi}{2}$$ La función coseno integral viene definida por $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{ci}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle -\int_x^\infty \!\frac{\cos(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ A su vez, hay quien recurre a la función coseno integral entero para definir la anterior, donde se tiene que: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{Cin}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\frac{1-\cos(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ Si denotamos $\gamma$ la constante de Euler-Mascheroni, se tiene que: $$\operatorname{Ci}(z)=\gamma+\ln(z)-\operatorname{Cin}(z)$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(877) - La Identidad de Euler con funciones integrales

La última vez veíamos la identidad de Euler con cuaterniones. Veámosla hoy con funciones integrales. Primero recordemos cómo es en su forma usual. $$ e^{\pi\mathrm{í}}+1=0 \qquad e^{\mathrm{í}\theta}=\cos\theta + \mathrm{í}\sin\theta \qquad e^z = e^{\Re(z)}\Big(\cos\big(\Im(z)\big)+\mathrm{í}\sin\big(\Im(z)\big)\Big) $$ Tomemos esta versión para poder trabajar $$ e^{-\mathrm{í}t}=\cos t - \mathrm{í}\sin t $$ Dividamos ahora entre el argumento e integremos en el intervalo $[z,\infty)$ tal que: $$ \int_z^\infty \frac{e^{\mathrm{í}t}}{\mathrm{í}t} \mathrm{í}\;\mathrm{d}t = \int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t + \mathrm{í} \int_z^\infty -\frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t $$ Ahora haciendo un pequeño cambio de variable: $$ \int_{\mathrm{í}z}^\infty \frac{e^{-s}}{s} \;\mathrm{d}s = \int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t + \mathrm{í} \int_z^\infty -\frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t $$ Por lo que se tiene la Identidad de Euler: $$ \operatorname{E}_1(\mathrm{í}z) = -\operatorname{ci}(z) + \mathrm{í} \operatorname{si}(z) $$ Donde se tienen que: $$ \operatorname{E}_1(z)\overset{\mathrm{def}}{=} \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t} \;\mathrm{d}t \qquad \operatorname{ci}(z)\overset{\mathrm{def}}{=} -\int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t \qquad \operatorname{si}(z)\overset{\mathrm{def}}{=} -\int_z^\infty \frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t$$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.