(1201) - Problemas varios al derivar

• Si tenemos una fórmula explícita, podemos escribir utilizando cálculo simbólico una fórmula para la derivada. Para este caso no hace falta que la función original sea cerrada pues se puede dar como un sumatorio, como una serie, etc. Así se tiene una fórmula conocida para la derivada y se puede ver fácilmente cómo se compara dicha fórmula con la función original.



• Supongamos en cambio que no tenemos una fórmula cerrado, o no para la función original, pero que dado cualquier argumento que le demos (input) nos dice cuánto es la función evaluada en dicho punto (output). Aquí podemos usar el límite de la definición de derivada para poder aproximar numéricamente la derivada en cada punto. A su vez podemos calcular la derivada una vez más donde dado un argumento nos dice cuánto vale en dicho punto. Sin embargo, como tomar el límite muchas veces solo se puede hacer desde un punto de vista simbólico, y no desde un punto de vista numérico, a la hora del cómputo lo que se suele hacer es tomar la función de evaluada de manera inteligente en ciertos nodos tal que con diferencias divididas se puede aproximar la derivada con una de precisión arbitrariamente alta.



• Sin embargo, muchas veces se tiene que la función está tabulada, o sea, solo sabemos los outputs en terminados inputs, es decir, solo sabemos el valor de la ordenada para ciertas abscisas. Este es un caso muy diferente al anterior ya que si bien en el caso anterior aunque no tuviéramos una fórmula explícita y no pudiéramos sacar una fórmula ni para la función original ni para la derivada, sí que mediante la evaluación de la función y los puntos podíamos acercarnos al valor numérico de la derivada con la precisión quisiéramos. Aquí en cambio la función solo está tabulada para ciertos valores y uno se tiene que apañar con esos valores tabulados de tal forma que la derivada no se va a poder calcular con precisión arbitraria, pues la precisión de la derivada dependerá del número de cifras significativas que tenga y la longitud del intervalo.
  
  Algunos manuales de análisis numérico lo que sugieren para calcular la derivada en un punto es estimar la derivada en los puntos tabulados e interpolar entre dichos puntos al valor que se quiere. Otros sugieren que a través de los puntos de la tabla construir un polinomio interpolador, derivarlo y evaluar la derivada en dicho punto. El problema este último razonamiento es que el polinomio interpolador cuando se van añadiendo más puntos tiene el problema del fenómeno de Runge (donde hay muchas oscilaciones en torno a los extremos del intervalo). Aun así, incluso si se coge o incluso si los datos están tabulados en los nodos del Chebyshev (de tal forma que el fenómeno de Runge no ocurra y se minimice la norma infinito de error, que es la función menos el polinomio interpolador), el teorema de aproximación polinómica de Weierstrass nos asegura solo la convergencia de los polinomios a una función continua, no necesariamente derivable. De hecho, hay bastantes ejemplos de sucesiones de polinomios (todos ellos infinitamente derivables), cuyo límite es una función continua, pero no-derivable.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(907) - Fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes (Integración Numérica)

Las fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes son un conjunto de expresiones para aproximar la integral numérica de una función dada.
Consideremos una función $f(x)\in\mathcal{C}\big([a,b]\big)$, es decir, una función continua en un intervalo genérico. Tomemos una sucesión de nodos equiespaciados (para simplificar): $$\Delta: a=x_0\leqslant x_1 \leqslant \cdots \leqslant x_i \leqslant \cdots \leqslant x_N \qquad x_i = a+\frac{b-a}{N}i \quad i=0,1,\cdots,N$$ Construyamos ahora el polinomio interpolador en los nodos ya definidos. El teorema de aproximación de Weierstrass nos afirma que hay una sucesión que polinomios que converge uniformente a cualquier función continua en el intervalo $[a,b]$ (en otros términos el conjunto de polinomios es denso en el conjunto de funciones continuas con la norma infinito). Esto nos permite acotar el error al aproximar una función por un suma ponderada de la función evaluada en los nudos: $$ \left| \int_a^b\! f(x)\;\mathrm{d}x - \int_a^b\! P_N(x)\;\mathrm{d}x \right| = \left| \int_a^b\! \big(f(x)-P_N(x)\big)\;\mathrm{d}x \right| \leqslant \int_a^b\! \big|f(x)-P_N(x)\big|\;\mathrm{d}x \leqslant \int_a^b \|f-P_N\|_\infty \;\mathrm{d}x = \|f-P_N\|_\infty (b-a) \leqslant \varepsilon\,(b-a) $$ El polinomio interpolador de Lagrange se puede escribir de la forma $$ P_N(x) = \sum_{i=0}^N f(x_i) \ell_i(x) \implies \int_a^b\! P_N(x)\;\mathrm{d}x = \int_a^b\! \sum_{i=0}^N f(x_i) \ell_i(x) \;\mathrm{d}x = \sum_{i=0}^N f(x_i) \int_a^b \ell_i(x) \;\mathrm{d}x = \sum_{i=0}^N \omega_i f(x_i) $$ Donde se satisface que: $$ \omega_i = \int_a^b\! \ell_i(x) \;\mathrm{d}x \qquad \sum_{i=0}^N \omega_i = b-a $$ La regla del trapecio ($N=1$), de Simpson $1/3$ ($N=2$), de Simpson $3/8$ ($N=4$), y de Boole ($N=5$) son ejemplos de fórmulas de cuadraturas de Newton-Cotes tomando los extremos del intervalo. Si en cambio no se toman los extremos como nodos de interpolación se tiene la regla del rectángulo/punto medio ($N=2$), la del trapecio ($N=3$) o la de Milne ($N=4$).
De hecho hay una familia de fórmulas de cuadraturas que por su similitud se podrían considerar también de Newton-Cotes como la regla adaptativa de Simpson ($N=4$), la de Hardy ($N=6$), la de Weedle ($N=6$), la de Shovelton ($N=10$), las dos de Woolhouse ($N=10,28$), o la de Durand para un $N$ genérico.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(839) - El mejor físico-matemático medieval. Nicolás de Oresme

Si hay un escolástico que me ha captado la atención en los últimos meses es Nicole d'Oresme (nació c.$1320-1325$ en Fleury-sur-Orne, Normandía y murió el $11$ de julio de $1382$ en Lisieux, Normandía). Veamos qué hizo este clero del siglo XIV.

Consideremos cuánto vale la suma de la serie armónica, es decir, la suma de infinitos términos de los inversos de los números naturales ($1,2,3,4,5,\cdots$). Él empieza acotando inferiormente cada sumando por el inverso de una potencia de $2$, aquella que sea la mejor cota ($1,2,4,8,16,32,64,\cdots$) $$ \begin{matrix} 1 & + & \displaystyle\frac{1}{2} & + & \displaystyle\frac{1}{3} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{5} & + & \displaystyle\frac{1}{6} & + & \displaystyle\frac{1}{7} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{9} & + & \cdots \\= & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \\ 1 & + & \displaystyle\frac{1}{2} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{16} & + & \cdots \end{matrix}$$ De aquí se ve cómo, sumando ciertos términos de la cota, aparecen infinitas veces el sumando $\frac{1}{2}$ . En particular se tiene: $$ \sum_{n=1}^{2^N}\frac{1}{n} > 1 + \frac{N}{2} \implies \sum_{n=1}^k \frac{1}{n} > 1 + \frac{\log_2k}{2}$$ Por lo que dedujo que la serie armónica divergía. Es más, siglos después se demostró que la serie armónica tenía el mismo crecimiento que el logaritmo neperiano: $$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim_\infty \ln(n) + \gamma$$ Donde $\displaystyle \gamma = \int_1^\infty \left( \frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x}\right) \;\mathrm{d}x$ es la constante de Euler-Mascheroni.

También se le atribuye la demostración del Teorema de la velocidad media, cuyo redescubrimiento y popularización se debe a Galileo. El teorema dice: un objeto en un movimiento uniformemente acelerado recorre en un intervalo el mismo espacio que recorrería un objeto con velocidad uniforme, cuya velocidad es la velocidad media del primero. Pongamos esto con notación algebraica con dos ecuaciones que nos son muy conocidas $$ d = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \qquad d=\bar{v}t$$ Donde $d$ es el espacio recorrido, $v_0$ es la velocidad inicial en $t=0$, $t$ es el tiempo, $a$ es la aceleración constante, $\bar{v}$ es la velocidad media del móvil y $v=v(t)$ es la velocidad final. Usando las siguientes identidades es trivial probarlo algebraicamente: $$ \bar{v}=\frac{v_0+v}{2} \qquad v=v_0+at $$ Sin embargo, Nicolas de Oresme lo hizo de una manera puramente geométrica y con razonamientos, ya que se tardaría siglos en desarrollar el álgebra para escribirlo.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(691) - El origen numérico de los logaritmos (con Teoría de Grupos)

Ya vimos en una entrada pasada cómo se propuso la prostaféreis, un algoritmo para agilizar el producto, pero aún así era muy costoso, largo, y tedioso. Por ejemplo, para calcular el producto de cinco números había que aplicarlo por lo menos tres veces con las sucesivas pérdidas de precisión en cada iteración. El matemático escocés John Napier of Merchinston ($1550-1617$) se le ocurrió una forma mejor. En términos modernos se puede imaginar su idea como buscar una aplicación $\psi$ que transformase un producto de elementos $xy$ del dominio en una operación $\star$ de sendas imágenes [de los factores]: un producto se convertía en operación computacionalmente mucho más fácil, $\star$ [luego veremos por cuál se decantó].

La aplicación satisface: $\psi(k\,xy) = \psi(x)\star\psi(y)$ para alguna constante $k$ , que se puede entender como un parámetro de reescala.
Para proceder se usarían los valores tanto $\psi(x)$ como $\psi(y)$ para hacer $\psi(x)\star\psi(y)=\psi(k\,xy)$ , y luego ver el qué argumento da $\psi(k\,xy)$ . Así pues solo hay que tener tabulado los valores $x\overset{\psi}{\mapsto}\psi(x)$ además de $y\overset{\psi}{\mapsto}\psi(y)$ (las búsquedas directas), asimismo como $\psi(k\, xy)\overset{\psi^{[-1]}}{\longmapsto} xy$ (la búsqueda inversa). El lector habitual del blog verá la rápida conexión con la prostaféresis.

 
Ya que el producto es conmutativo, la operación $\star$ también lo es: $$ \psi(k\,xy) = \psi(k\,yx) \implies \psi(x)\star\psi(y)=\psi(y)\star\psi(x) $$ Veamos que a su vez como el producto es asociativo, la operación $\star$ también lo es [usar $k^2$ sigue siendo un parámetro para simplificar resultados]: $$ \psi(k^2\,xyz) = \left\{ \begin{matrix} \psi(k\, (kxy)z) & = & \psi(kxy) \star\psi(z) & = & \big(\psi(x)\star\psi(y)\big)\star\psi(z)\\= & & = & & = \\\psi(k\, x(kyz)) & = & \psi(x) \star\psi(kyz) & = & \psi(x)\star\big(\psi(y)\star\psi(z)\big)\\ \end{matrix} \right.$$ Veamos cómo la operación $\star$ tiene un elemento neutro, $\psi(k^{-1})$ : $$ \psi(k\,tk^{-1})=\psi(t) = \psi(t)\star\psi(k^{-1}) = \psi(k^{-1})\star\psi(t)$$ Veamos ahora cómo todo elemento $\psi(t)$ tiene un elemento inverso $\psi(k^{-2}t^{-1})$ con la operación $\star$ [dada la conmutatividad de antes es tanto el inverso por la izquierda como por la derecha]: $$\psi(k\;t\,k^{-2}t^{-1})=\psi(k^{-1}) = \psi(t)\star\psi(k^{-2}t^{-1}) = \psi(k^{-2}t^{-1})\star\psi(t)$$ Sobre la aplicación $\psi$ queremos que sea inyectiva (elementos distintos tienen imágenes distintas), y además que sea biyectiva para que no haya problemas a la hora de multiplicar (que nos diera un posible producto erróneo). $$\begin{array}{ cccc }
\psi : & \mathbb{K}_1 & \longrightarrow & \mathbb{K}_2\\[2.5ex]
& t & \longmapsto & \psi(t) \\[8pt]
& k\,x_1\cdot x_2 & \longmapsto & \begin{matrix} \psi(x_1) & \star & \psi(x_2) \\ =&&= \\ y_1 & \star & y_2 \end{matrix}
\end{array} \qquad \begin{array}{ cccc }
\psi^{[-1]} : & \mathbb{K}_2 & \longrightarrow & \mathbb{K}_1 \\[2.5ex]
& z & \longmapsto & \psi^{[-1]}(z) \\[8pt]
& y_1 \star y_2 & \longmapsto & \begin{matrix} k & \psi^{[-1]}(y_1) & \cdot & \psi^{[-1]}(y_2)\\ & =&&= \\ k & x_1 & \cdot & x_2 \end{matrix}
\end{array}$$ Donde $\cdot$ es el producto usual en $\mathbb{K}_1$ , mientras que $\star$ es nuestra operación en $\mathbb{K}_2$ . La operación $\star$ realmente puede ser cualquiera que satisfaga las propiedades descritas, por lo que Napier usó $\star$ como la suma usual (según cuál se tome, cambia cómo es $\psi$ , por ejemplo con la suma se tiene que $\psi(k^{-1})=0$ para el neutro y $\psi(k^{-2}t^{-1})=-\psi(t)$ para el inverso). Llamó a su aplicación $\psi$ como logarithmus en latín, del griego antiguo λόγος (lógos) “palabra, razón” y ἀριθμός (arithmós) “número” , muy similar a la construcción número racional (también del latín) pero aquí el apellido racional indicando “razonadamente, con una razón de ser”. Napier definió su logaritmo $\operatorname{logN}$ : $$ n = 10^7\,\big(1-10^{-7}\,\big)^L \overset{\triangle}{\iff} L\overset{\text{def}}{=}\operatorname{logN} n$$ La relación entre el logaritmo de Napier , $\operatorname{logN}$ , y el logaritmo natural, $\ln$ , es: $$ \operatorname{logN} n \triangleq \frac{\displaystyle \ln\left(\frac{n}{10^7}\right)}{\ln\big(1-10^{-7}\,\big)} \iff \ln n \triangleq \ln\big(1-10^{-7}\,\big)\operatorname{logN} n + 7\ln 10$$ Es más, ambos para algún $n$ toman el mismo valor, $\displaystyle \frac{7\ln10}{1-\ln(1-10^{-7}\,)}$ . De esto se deducen las propiedades $$\begin{matrix} \displaystyle \operatorname{logN}\sqrt{x_1x_2\;} & = & \displaystyle \frac{\operatorname{logN}x_1+\operatorname{logN}x_2}{2} \\[3pt] \displaystyle \operatorname{logN}\big(10^{-7}x_1x_2\big) & = & \displaystyle \operatorname{logN}x_1+\operatorname{logN}x_2 \\[5pt] \displaystyle \operatorname{logN}\bigg(10^7\sqrt{\frac{x_1}{x_2}\;}\,\bigg) & = & \displaystyle \frac{\operatorname{logN}x_1-\operatorname{logN}x_2}{2} \\[3pt] \displaystyle\operatorname{logN}\Big(10^7\frac{x_1}{x_2}\Big) & = & \displaystyle \operatorname{logN}x_1-\operatorname{logN}x_2 \end{matrix}$$ Nótese que el logaritmo de Napier no satisface exactamente esas propiedades tan directas de los logaritmos a las que estamos muy habituados, en parte por la presencia de esa constante $10^{-7}$ . Unos pocos años después, Henry Briggs ($1561-1630$) simplifició en gran medida el trabajo de de Napier, creando el logaritmo briggsiano o común [decimal], $\log_{10}$ o también $\lg$ . Con este mero cambio, se popularizó muchísimo más el trabajo de Napier al hacerse más intuitivo, pues el logaritmo decimal de un número se puede entender como el número de cifras que tiene en su representación decimal (y las cifras del número original por cómo está entre dos unidades contiguas en una escala logarítmica decimal).

Ahora el algortimo para multiplicar $xy$ ha pasado a consultar los valores de $\log(x)$ además de $\log(y)$ [independientemente de la base], calcular $\log(x)+\log(y)$ y consultar en una búsqueda inversa el valor de $\operatorname{antilog}\big(\log(x)+\log(y)\big)$ (con respecto a la misma base que antes, siendo $\operatorname{antilog}$ la función antilogaritmo, es decir, la aplicación inversa al logaritmo). $$ xy = x\cdot y \iff xy = \operatorname{antilog}\big(\log(x)+\log(y)\big) $$ Es más, esto no se complica innecesariamente comparado con la prostaféresis, ya que: $$\prod_{k=1}^n x_k = x_1\cdot\ldots\cdot x_n \iff \prod_{k=1}^n x_k = \operatorname{antilog}\left(\sum_{k=1}^n\log(x_n)\right) $$ Que es una forma muy efectiva, útil y rápida para programar la función factorial, $x!$ , en algunos lenguajes como $R$ . Un pequeño esquema de lo que planteamos es: $$ \begin{matrix} \{x,y\} & \longrightarrow & x\cdot y \\ \underset{\text{Logartimo}}{\Downarrow} & & \underset{\text{Antilogaritmo}}{\Uparrow} \\ \big\{\log(x),\log(y)\big\} & \overset{\text{Suma}}{\implies} & \log(x)+\log(y) \end{matrix} $$ Para multiplicar varios números es mucho más efectivo usar logaritmos:

• Para multiplicar números usando el algoritmo logarítmico, primero se hace una búsqueda directa de los logaritmos de los factores en tablas, se calcula su suma total, y por último con una búsqueda inversa se tiene el producto.
• Para multiplicar números usando el algoritmo prostaferético, primero hay que hacer parejas y aplicar el algoritmo para cada una de las parejas (si hay un número impar de factores se omite uno y se lo lleva directamente a la próxima etapa), ahora hay que volver a hacer parejas con los productos intermedios y así recursivamente hasta que se llega al producto final.

Para multiplicar dos números en prostaféresis hay que hacer primero dos búsquedas inversas, una suma y una resta, dos búsquedas directas, y por último una suma y dividir entre $2$ , mientras que con logaritmos solo hay que hacer primero dos búsquedas directas, una suma, y por último una búsqueda inversa.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(569) - Integrales. Riemann vs Darboux (con GIFs descargables)

En el día de hoy traemos una entrada bastante útil: ¿En qué se diferencian la integral de Riemann de la integral de Darboux?

Riemann propuso su integral en un artículo de la universidad de Gotinga en 1854, pero se publicó póstumamente en 1866. Unos años después, en 1875, Darboux propuso su integral.

Cabe resaltar que ambas son equivalentes, es decir, una función es Riemann-integrable si y solo si es Darboux-integrable. Ambas empiezan haciendo una partición del intervalo de integración, y considerando la suma de las áreas de los rectángulos que aproximan la integral.

La integral de Riemann para cada subintervalo toma un nodo tal que la función evaluada en dicho nodo sea una aproximación de la altura promedia del rectángulo, cuya área aproxima el área de la función en dicho subintervalo.

Suma de Riemann del punto medio en una partición uniforme.

La integral de Darboux para cada subintervalo halla el ínfimo y el supremo que toma la función en dicho subintervalo. Luego calcula las áreas del “rectángulo inferior” (el rectángulo de área maximal que está contenido por la función) y del “rectángulo superior” (el rectángulo de área minimal que contiene la función).

Sumas inferior y superior de Darboux en una partición uniforme.

La construcción de Darboux es probablemente la más intuitiva, la que se utiliza muchas veces a la hora de demostrar proposiciones, y la que se enseña en Bachillerato, mientras que la de Riemann se suele usar a la hora de computar numéricamente una integral.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(571) - Integral de Stieltjes. Integrales sin dx .

En el día de hoy traemos una entrada bastante curiosa y olvidada hasta por los profesores de análisis: La integral de Stieltjes, de $1894$ .

Cuando nos explicaban qué era una integral veíamos qué significaba el signo integral, qué es el integrando (la función que se integra) y el integrador (con respecto a qué se integra) que solía aparecer como $\text{d}x$ . Pero, ¿qué pasa cuando el integrador es una función en sí, $\alpha(x)$ ?

Por ejemplo, ¿qué significan $\displaystyle\int\,\text{d}x^3$ o por ejemplo $\displaystyle \int x\,\text{d}e^x$ ?

La integral de Stieltjes da respuesta a esta pregunta centrándose en el integrador más que en el integrando, cumpliendo las siguientes propiedades respecto al integrador:

·Es lineal.

·Para un integrando positivo, se conserva la monotonía (sino, se invierte).

·El valor absoluto de la integral es menor igual que la integral del valor absoluto

·Cumple la identidad de Chasles.

·Si (el integrador) es diferenciable, se puede sustituir  $\text{d}\alpha(x)=\alpha^{(1)}(x)\,\text{d}x$ .

Combinando esta construcción de la integral con otras, nos da dos equivalentes: la de Darboux-Stieltjes y Riemann-Stieltjes (donde las integrales de Darboux y Riemann a secas son sendos casos particulares más simples). Las integrales de D.-S. y R.-S. son aplicaciones bilineales asimétricas que son un paso anterior a la introducción de la integral de Lebesgue.

Aunque esto pueda parecer en un principio muy raro, integrar por partes es aplicar la integración de Stieljes con dos funciones diferenciables. (Es más usando la integración por partes se llega a una aplicación bilineal simétrica y/o antisimétrica de la integral de D.-S. y de R.-S. )

Las integrales de Darboux, Riemann, o Lebesgue nos dicen cómo ha tratarse la integral según el integrando, mientras que la de Stieltjes, según el integrador.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(563) - Antilogaritmos, cologaritmos, ⁊ más...

En el día de hoy traemos una entrada un poco corta, algo ya mencionado en el artículo de la trigonometría olvidada. ¿Qué son los antilogaritmos, y cologaritmos?

Básicamente son dos funciones auxiliares para el cálculo de logaritmos definidas a partir de composición de funciones elementales con funciones estrictamente logarítmicas.

El antilogaritmo (antilogarithm) es una función cuya composición con la función logaritmo da la función original, es decir, es la función inversa al logaritmo: la exponencial.

Comparación antilogaritmo - logaritmo

El cologaritmo (cologarithm) es una función cuya suma con la función logaritmo da la función idénticamente nula, es decir, es menos la función logaritmo. 

Comparación cologaritmo - logaritmo

¿Se podrían definir anticologaritmo y coantilogartimo?

El anticologaritmo (anticologarithm) fuera la función inversa del opuesto del logaritmo, es decir, la exponencial con exponente cambiado de signo.

El coantilogartimo  (coantilogarithm) fuera el opuesto de la función inversa al logaritmo, es decir, menos la función exponencial.

Comparación coantilogaritmo - anticologaritmo

   Tabla de simetrías

	Logb	CoLogb	AntiLogb	CoAntiLogb	AntiCoLogb
Logb	(sí misma)	y = 0	y = +x
CoLogb	y = 0	(sí misma)		y = -x	y = +x
AntiLogb	y = +x		(sí misma)	y = 0	x = 0
CoAntiLogb		y = -x	y = 0	(sí misma)	y = -1/b x
AntiCoLogb		y = +x	x = 0	y = -1/b x	(sí misma)

Esta es una perla olvidada de las matemáticas dejada de lado  ya que ahora ya no es necesario recurrir a tablas para saber cuáles son los valores de logaritmos, y como las funciones verseno, vercoseno, coverseno, covercoseno, exsecante, y excosecante, ya nadie se acuerda de ellas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(557) - Diferintegral. Derivada fractal. (Epílogo)

En el día de hoy traemos una entrada que en un principio no estaba planificada: hemos hecho dos (sobre la derivada y la integral) para poder entender mejor la última (sobre la diferintegral y la derivada fraccionaria), pero investigando sobre el cálculo fraccional, descubrimos el cálculo fractal.

Debemos a Newton y Leibniz la invención del cálculo clásico a finales del siglo XVII y principios del XVIII. Sin embargo no ha sido hasta finales del siglo XIX cuando el cálculo no-newtoniano empezó a coger impulso (en especial el cálculo fraccionario),  y en particular hemos tenido que esperar hasta la década de 1970 para el cálculo fractal.

En el cálculo newtoniano los cocientes de incrementos siempre eran con un número entero de puntos, es decir, se comparaba un incremento entero de la función con otro incremento entero de la variable.

El cálculo fraccionario expandió esta idea a números racionales en un principio, y luego, aplicando el mismo método, a números irracionales y complejos-no-reales.

El cálculo fractal se propuso: ¿es necesario que los incrementos de la función sean del mismo orden que los de la variable?

¿Qué significa esto para las funciones más simples?

Ya habíamos visto que la derivada clásica de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de afines] eran a su vez polinomios de menor grado, sinusoides con desfase perpendicular, o exponenciales respectivamente.

A su vez habíamos visto que la derivada fraccional de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de afines] eran a su vez radicaciones, sinusoides con desfase oblicuo, o exponenciales respectivamente

Sin embargo, para el cálculo fractal la derivada fractal de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de afines] son el producto de una radicación por un polinomio [clásico] de menor grado, un polinomio trigonométrico del mismo grado pero con desfase, o exponenciales respectivamente.

A diferencia del cálculo fraccionario, el cálculo fractal mantiene la regla de la cadena de una forma muy directa, que relaciona la derivada fractal con la derivada clásica.

Aunque todo esto pueda parecer muy bonito en papel, pero sin ninguna aplicación real, el cálculo fractal es muy importante en ciertas ramas como en mecánica de fluidos donde acuíferos, medios porosos, o turbulencias presentan las propiedades fractales, que no siguen necesariamente una geometría euclídea.

El cálculo fractal es el que se tiene que usar en geometría no-euclídea, y sus aplicaciones, como el estudio del espacio-tiempo, donde las nociones tan simples como la velocidad tienen que ser redefinidas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(547) - Diferintegral. Media derivada. (3/3)

En las últimas entradas no he usado una terminología muy estricta: ya hemos visto qué es una derivada, y qué es una integral (en ambos casos a grandes rasgos). Derivadas e integrales son dos operadores inversos entre sí. Ahora bien, se define operador diferintegral como la combinación del operador diferencial e integral.

El operador diferintegral es un operador lineal, es decir, la diferintegral de la suma de unos escalares por sendas funciones es la suma de los escalares por sendas diferintegrales aplicadas a dichas funciones.

Se puede definir un endomorfismo entre el conjunto de funciones diferintegrales.

Ahora vamos a responder a la pregunta que nos incumbe. Todo estudiante de matemáticas sabrá lo fácil de encontrar la fórmula recursiva tras n derivadas para polinomios, y para seno, coseno, y exponencial de funciones afines. Dicha fórmula se puede generalizar para un n no natural, y luego para un n no entero. Entonces, ¿qué significa la n-ésima diferintegral para un n no entero?

Considerémoslo para n = ½ , la media derivada.

La ½-ésima-derivada no es la mitad de la derivada, sino una nueva función asociada a la función original cuya ½-ésima-derivada es la I-derivada. Aplicar el operador +½-ésima-diferintegral dos veces consecutivas da como resultado la I-derivada.

Si la I-derivada indicaba la monotonía, y la II-derivada, la curvatura. ¿Qué información proporciona la α-ésima derivada? Esa es una pregunta que no consigo resolver, pero sí que he averiguado lo siguiente:

Si la +α-ésima diferintegral da una determinada cualidad o propiedad (del tipo monotonía o curvatura por ejemplo) respecto a la función original, la función original dice también dicha propiedad respecto a la (0–α)-ésima diferintegral, la +I-diferintegral dice también dicha propiedad respecto a la (1–α)-ésima diferintegral, …

¿Para qué son útiles las ½-ésima-derivadas, o las ½-ésima-integrales? Por ejemplo, deducir el tiempo que tarda un objeto en la braquistócrona (el problema de la tautócrona), se reduce a resolver una ½-ésima-integral, tras haber calculado antes una ½-ésima-derivada.

Nótese que no solo se puede definir la ½-ésima-derivada, sino para cualquier número racional, real, y complejo incluso. Por ejemplo, se puede hallar la π-ésima-derivada de x^π, que da π!= Γ(π+1). Aun si se toma í:= √–1 , se puede hasta definir el operador í-diferintegral tal que tras aplicarlo  –í veces da la integral de la función original.

p-ésima derivada de 1/2 x^2 con 0<p<2 .

Esta entrega ha sido bastante dura de leer, y de comprender, y recomiendo al lector haberse leído las dos anteriores para intentar apreciar la belleza, y rareza, de una de las cosas más comunes en matemáticas, pero que pasan muy desapercibidas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(541) - Diferintegral. ¿Qué es una integral? (Breve introducción) (2/3)

En el día de hoy traemos una entrega donde queremos explicar qué es una diferintegral, pero para ello ya hemos explicado que es una derivada, y ahora toca saber qué es una integral.

La última semana habíamos visto qué significaba la n-ésima derivada con n = –1 : era una nueva función (función primitiva) cuya derivada es la función original, es decir, hablando mal y pronto, derivar e integrar son operaciones inversas entre sí. Hemos respondido a la pregunta ¿qué significa la función original para la integral?, pero necesitamos responder ¿qué significa la primitiva para la función original?

La integral en un intervalo nos da el área neta de la función con respecto al eje de abscisas (eje X). ¿Qué diferencia hay entre área total y área neta? El área neta establece un signo a las áreas según estén por “encima” (positivas) o por “debajo” (negativas) del eje, mientras que el área total es toda el área recubierta, sin importar su posición relativa al eje.

Cabe resaltar que hay dos “tipos” de integrales: integrales definidas, que dan como resultado un número que representa el área neta entre la función y el eje en un intervalo, e integrales indefinidas, que hacen referencia a la fórmula matemática que da los valores de integrales definidas.

Ya vimos cómo una función tiene solo una I-derivada asociada, pero no tiene una única integral indefinida asociada, sino un conjunto de funciones que varía en una constante. ¿Por qué? Sumar una constante a una función no influye su tasa de variación, y por tanto tampoco su derivada. Ergo un endomorfismo entre funciones integrables nunca será inyectivo.

Debemos a grandes matemáticos como Darboux, Riemann, o Lebesgue teorías rigurosas sobre cómo hallar integrales definidas.

Ya hemos visto qué significan la n-ésima derivada para un n natural, lo extendimos para n = 0 , y para n estrictamente entero hemos visto que hay que integrar n veces. En la próxima entrega intentaremos cerrar esta serie para dar un significado a la n-ésima derivada para un n genérico.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(523) - Diferintegral. ¿Qué es una derivada? (1/3)

En el día de hoy traemos una entrega donde queremos explicar qué es una diferintegral, pero para ello hay que explicar antes que es una derivada, y qué es una integral.

Supongamos que tenemos una función que queremos evaluar cómo varía en un intervalo. Bastaría con evaluar la pendiente entre los extremos de dicho intervalo, es decir, hallar su tasa de variación media.

Sin embargo, esto solo nos daría cómo varía globalmente en dicho intervalo, es decir, si en general crece (pendiente positiva), o en general decrece (pendiente negativa). Si queremos saber qué pasa en cada punto, qué valor tendrá dicha función en el punto inmediatamente siguiente a un punto dado, hay que considerar qué pasa a la pendiente al tender el intervalo a un único punto:

Se calcula su tasa de variación instantánea, más conocida como derivada. Esta nueva función es muy especial, y está asociada a la función original (tan especial que si una función tuviese dos derivadas, esas dos derivadas fueran idénticas).

Nótese que tasa de variación instantánea es un oxímoron (para que haya una variación se necesita un tiempo donde transcurra), y además conlleva al cálculo de un límite de la forma 0÷0 .

Si se deriva la derivada, se obtiene una función llamada II-derivada de la función original. 

Si se deriva esta nueva función ahora, se obtiene la III-derivada de la función original... 

Si se deriva n veces, se obtiene la n-ésima derivada de la función original.

Nótese que la p-ésima derivada de la q-ésima derivada es la (p+q)-ésima derivada, o equivalentemente, es la q-ésima derivada de la p-ésima derivada.

La I-derivada nos da la información de los intervalos de monotonía (crecimiento, y decrecimiento) sobre la función original. 

La II-derivada nos da la información de los intervalos de curvatura (concavidad, y convexidad) sobre la función original.

¿Qué significa la n-ésima derivada con n = 0 ? Es una función que se ha derivado un total de 0 veces, es decir, una función que no se ha hecho nada, la función original.

¿Qué significa la n-ésima derivada para n = –1 entonces? Por una regla que hemos visto antes, si derivamos esta función, da la función original, es decir, es una nueva función cuya derivada es la función original. Aquí hace falta introducir la idea de integrales, que se verá en la próxima entrega.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.