(1193) - Oligonomios. Polinomios lacunarios o los polinomios de pocos términos

Los oligonomios o polinomios lacunarios son polinomios con muy pocos términos. Los polinomios se definen como suma de monomios, que muchas veces los monomios se definen a posteriori como cada uno de los términos o sumandos de los polinomios (dando una definición circular). Un polinomio de grado $d$ en $n$ variables tendrá a lo sumo $\displaystyle\binom{d+n}{n}=\binom{d+n}{d}$. Es decir, si denotamos al grado $d$, un polinomio en $1$ variable tendrá a lo sumo $d+1$ términos; un polinomio en $2$ tendrá a lo sumo $\displaystyle\frac{(d+2)(d+1)}{2}$ términos, ... Un bonito resultado que se deja al lector como ejercicio. Nótese que: $$ \binom{d+n}{n} = \binom{d+n}{d} \sim_\infty \frac{d^n}{n!} + \mathcal{O}(d^{n-1}) \qquad (d\to\infty) $$ O lo que es lo mismo $$ \binom{d+n}{n} = \binom{d+n}{d} \sim_\infty \frac{n^d}{d!} + \mathcal{O}(n^{d-1}) \qquad (n\to\infty) $$ Los oligonomios, al tener solo unos pocos términos, son mucho más fáciles de evaluar y operar. Por ejemplo, dado un polinomio cúbico mónico, $x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, si uno quiere saber sus raíces, primero hay que llevarlo a la forma de Cardano $z^3+pz+q$ donde ha desaparecido un término. Si casualmente o bien $p$, o bien $q$ son 0, hallar las raíces es mucho más fácil aún. O consideremos un polinomio cuadrático mónico, $x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$. Si es par, es decir, $a_3=a_1=0$, se convierte en un bicuadrático donde de los 5 posibles términos solo aparecen 3 y cuyas raíces se pueden obtener con la fórmula cuadrática en vez del horror que es la cuártica. Otro ejemplo son los polinomios quínticos mónicos, $x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, que se pueden llevar a la forma de Bring–Jerrard, $z^5+z+a$, donde de los 6 posibles términos solo hay 3, y de los 5 coeficientes arbitrarios, solo hay 1, lo que facilita el estudio de este tipo de polinomios. A veces los oligonomios aparecen en la suma o producto de polinomios "completos". Veamos algunos ejemplos: $$ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 $$ Donde de los 10 posibles términos solo aparecen 2. $$ (x - y)(x^{d-1}+x^{d-2}y+\cdots+xy^{d-2}+y^{d-1}) = (x-y) \sum_{k=0}^{d-1} x^k y^{d-1-k} = x^d - y^d $$ Veamos un oligonomio cuya factorización es producto de polinomios bastante largos $(x^2+x+1)(x^5-x^4+x^3-x+1)=x^7+x^5+1$:

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1163) - ¿Dados ideales pero no honestos?

¿Existen dos dados ideales (que cada cara sea equiprobable), con otros números en las caras con respecto al dado estándar, tales que al tirarlos conjuntamente den la misma probabilidad que al tirar dos dados ideales?

La respuesta simple y llanamente es sí. Incluso de casos no triviales como $\{0,1,2,3,4,5\}$ y $\{2,3,4,5,6,7\}$ o similares. La solución se conoce como dados de Sicherman, y la solución es única si se impone que no pueda tener ninguna cara un $0$. Dichos dados tienen por caras: $\{1,2,2,3,3,4\}$ y $\{1,3,4,5,6,8\}$.

Cómo llegar a la solución es realmente curioso al asignar a cada dado un polinomio $p(x)$ donde cada monomio tiene como grado la el número de la cara y su coeficiente es cuántas caras tienen ese número. Por ejemplo, el dado estándar es $x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6$, mientras que los de Sicherman son $x+2x^2+2x^3+x^4$ y $x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8$. En general para hallar los coeficientes de la solución no-trivial uno debe imponer que ningún dado tenga una cara con $0$, es decir $p(0)=0$, y que el dado tenga $6$ caras, es decir, $p(1)=6$.

Así pues buscamos dos polinomios $P(x),Q(x)$ tal que $P(x)Q(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^2=x^2(1+x)^2(1-x+x^2)^2(1+x+x^2)^2$. La condición de que $p(0)=0$ implica que $x|P(x)$ y $x|Q(x)$, mientras que las de $p(1)=6$ implica que $(1+x)(1+x+x^2)|P(x)$ y $(1+x)(1+x+x^2)|Q(x)$. Nos queda el factor $(1-x+x^2)^2$ por determinar. Si se "reparte por igual" entre ambos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$, se vuelve a tener el mismo polinomio, mientras que si ponemos $P(x)=x(1+x)(1+x+x^2)=x+2x^2+2x^3+x^4$ y $Q(x)=x(1+x)(1+x+x^2)(1-x+x^2)^2=x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8$.

Para más información y sobre el vídeo que inspiró en parte esta entrada, vea el lector el vídeo en este enlace


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(601) - Eligir la base óptima y su significado físico. Aceleración tangencial ⁊ normal

La elección de una buena base es muy importante, en especial si se quieren simplificar los cálculos. Sin embargo, hay un motivo ulterior en escoger buenas bases, y entre estas, la óptima: buscamos una con un significado físico-geométrico.
Elegir una base donde los vectores que la definen sean perpendiculares entre sí (ortogonales) es muy útil a la hora de calcular y a la de representar el resultado. Para ilustrar mejor el resultado, tomemos un vector como la velocidad ( $\vec{v}$ ), derivable al menos una vez, y expresémoslo (ya relatado en un artículo sobre qué son los vectores) como el producto de su módulo por su vector unitario, y derivemos:
\begin{align*}
\vec{v} = & \|\vec{v}\| \cdot \hat{v} \\
\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} = & \frac{\text{d}(\|\vec{v}\| \hat{v} )}{\text{d}t} \\
\vec{a} = & \frac{\text{d}\|\vec{v}\|}{\text{d}t}\hat{v} + \|\vec{v}\| \frac{\text{d}\hat{v}}{\text{d}t} \\
\end{align*}En estos dos sumandos tienen dimensiones de aceleración, ergo tiene sentido darle nombres de aceleración:
· Definamos aceleración tangencial como $\vec{a}_\parallel \overset{\text{def}}{=} \dfrac{\text{d}\|\vec{v}\|}{\text{d}t}\hat{v}$ , paralela a la velocidad compartiendo el punto de aplicación. Aparece, en especial, en movimientos rectilíneos.
· Definamos aceleración normal como $\vec{a}_\perp \overset{\text{def}}{=} \|\vec{v}\|\dfrac{\text{d}\hat{v}}{\text{d}t}$ , perpendicular a la velocidad compartiendo el punto de aplicación. Aparece, en especial, en movimientos circulares.
Nótese que la aceleración tangencial no es necesariamente la derivada temporal de la "velocidad tangencial" (de una misma deducción), y lo mismo para la normal.

Estos dos tipos de aceleración son perpendiculares entre sí donde caben resaltar las siguientes dos propiedades:
· $\displaystyle \vec{a} \triangleq \vec{a}_\parallel + \vec{a}_\perp$ 
· $\displaystyle \left\|\vec{a}\right\|^2 \triangleq \left\|\vec{a}_\parallel\right\|^2 + \left\|\vec{a}_\perp\right\|^2$ Teorema de Pitágoras
¿Qué significa todo esto? Hemos descompuesto un vector genérico, $\vec{a}$ , en suma de dos vectores perpendiculares entre sí, $\vec{a}_\parallel \perp \vec{a}_\perp$ , por ende sendos módulos son una terna pitagórica (al describir ellos tres en todo momento un triángulo rectángulo). 
No solo eso, sino que además, ambos vectores descompuestos tienen un significado físico-geométrico entre sí, en el sistema de referencia, y además con respecto a la integral del vector suma. Esto tiene mucha relevancia porque descomponer un vector en suma de ortogonales con conciertas propiedades (que simplifican mucho calcular sendas normas) no es especialmente trivial.

Esta deducción con el vector aceleración ( $\vec{a}$ ), se puede hacer con cualquier vector genérico, constante o no, y con vectores que a lo mejor no concibamos su integral, como el vector posición, ( $\vec{r}$ ), sobre el que ya vendrá un artículo al respecto...

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(577) - ¿Qué es un vector? 4 "definiciones"-interpretaciones según el tipo de matemático

En el día de hoy traemos una entrada sobre qué es un vector según diferentes enfoques.

Antes de empezar, cabe resaltar que para tanto algebristas como analistas prefieren representar un vector como sus componentes tal cual, mientras que los físicos pueden preferir representarlo como el producto de su módulo por su vector unitario correspondiente.

· Para un informático, o un estadista-probabilista, un vector es una forma eficaz de almacenar información que aparece como un listado o un array de diferentes números donde se considera la posibilidad de haber elementos repetidos.

· Para un algebrista, un vector es un elemento de un espacio vectorial: una n-tupla [pareja, trío, cuarteto…] de variables, constantes, parámetros o incluso funciones que vive en un espacio vectorial.

· Para un analista, su concepción de vector es muy similar a la de un algebrista, pues lo ve como una yuxtaposición ordenada y consecutiva de funciones (o similar).

· Para un físico, sin embargo, la concepción de un vector es la que más se asemeja a la que se da en ESO y Bachillerato: un vector es un “viaje”, una distancia flechada entre dos puntos del espacio bi- o tridimensional (uno que es el origen y otro, el destino)

Esto está muy bien para definir los vectores como posición ( $\vec{r}$ ), desplazamiento ( $\Delta\vec{r}$ ), o fuerza ( $\vec{F}$ ), pero, ¿y vectores como velocidad ( $\vec{v}$ ), aceleración ( $\vec{a}$ ), campo ( $\vec{E},\vec{g},...$ ), o momentos ( $\vec{p},\vec{L},...$ )? Muy fácil: mediante derivadas, integrales, límites, y productos escalares y vectoriales. Toda la física se puede describir mediante el vector posición ( $\vec{r}$ ) y aplicado a varios operadores de derivación, integración,… Esto es el inicio de la cinética.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.