(503) - ¿Qué es el centro de un triángulo? Centros de Kimberling

En el día de hoy traemos una entrega que da que reflexionar: ¿qué constituye el centro del triángulo?

Unos 800 centros de Kimberling

Si se toma como centro de un triángulo el centro de alguna circunferencia relevante al triángulo, los dos ejemplos más relevantes serían:
Incentro - X(1) : centro de la circunferencia inscrita al triángulo e intersección de las tres bisectrices internas al triángulo.
Circuncentro - X(3) : centro de la circunferencia circunscrita al triángulo e intersección de las tres mediatrices al triángulo.

Se podría pedir al centro de un triángulo que optimice la suma de las distancias a los vértices o a los lados. Sin embargo, esto significa que podría haber hasta cuatro centros diferentes, cada uno con sendas propiedades.

Si se toma como centro de un triángulo el que fuese el centro de masas del triángulo esto significa que podría haber varios puntos, entre ellos:
El centro de masas respecto a los vértices, (e.g. que pendan masas uniformes), es decir, centroide-X(2) , la intersección de las tres medianas de un triángulo.
El centro de masas respecto a los lados (e.g. cables uniformes), es decir, centro de Spieker - X(10) , el incentro del triángulo media

l. Se podría definir el centro de un triángulo la intersección algunas de sus cevianas. Cabe resaltar dos aún por nombrar:
Ortocentro - X(4), intersección de las alturas de un triángulo. Su triángulo ceviano asociado también es un triángulo podal.
Punto simediano de Lemoine-Grebe - X(6), intersección de las simedianas de un triángulo (la simediana la recta simétrica a la mediana respecto a la bisectriz interna, es decir la simediana es isogonal a la mediana respecto a la bisectriz interna).

Incluso se puede describir un centro que sea el punto de máximo potencial electroestático dentro del triángulo con distribución de carga homogénea por la superficie - X(5.626).

Cualquier posible centro documentado está en la ETC (Encyclopaedia of Triangle Centres) creada por Clark Kimberling (Hinsdale 1942 - ) y catalogado de la forma X(n). Dichos puntos se conocen en general por centros de Kimberling. Actualmente hay 36.758 centros de Kimberling descritos hasta el miércoles, 05 de febrero de 2020 (fecha de la publicación), todos ellos con su utilidad y con la certeza de que para ciertos casos, son el centro del triángulo "preferente".

He aquí un vídeo con los diez primeros.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Adenda del autor: Desde el día de ayer, domingo 21 de noviembre de 2021, el centro de potencial electrostático, X(5626), tiene una versión en GeoGebra en la web creada por un servidor. La web ya cuenta con 46.065 centros de Kimberling, lo que implica un crecimiento del 25,32% en 19 meses y medio.

(463) - Teorema de Morley para las trisectrices. Centros de Morley

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa: un teorema de geometría que involucra la trisección de ángulos, algo perseguido por los griegos mediante regla y compás, que siglos después se comprobó que era imposible.

Frank Morley, un matemático estadounidense de finales del siglo XIX, y principios del XX, descubrió este teorema en 1899. Según él mismo, los antiguos griegos ya tenían conocimiento, o al menos sospechaban, este resultado, pero no consta en ningún texto, ni la proposición en sí, ni la demostración.

Seguramente no se llegó a plantear el problema anterior hasta que no se entendió cómo trisecar un ángulo, en especial con regla y compás. Nótese que el problema general de la trisección de un ángulo no se resolvió hasta 1837 por Pierre Wantzel, y unos años después, 1846 por Évariste Galois.

 

El triángulo original en anaranjado, y el triángulo de Morley en rojo.

El Teorema establece que: “Las intersecciones de las trisecciones de un triángulo son los vértices de un triángulo equilátero”.

El triángulo equilátero resultante se le suele llamar triángulo de Morley.

Nótese que las trisectrices son las cevianas que dividen en tres partes iguales un ángulo.

Veamos ahora dos Centros de Kimberling asociados a este teorema.

El centro del triángulo de Morley, se llama I Centro de Morley y se le conoce como X(356) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo de Morley (circunferencia de Morley). Curiosamente ningún centro de Kimberling está en esta circunferencia.

I Centro de Morley - X(356)
[Nótese la circunferencia de Morley en azul]

La intersección de las cevianas que unen los vértices con sendos vértices opuestos del triángulo de Morley (pasando entre medias de las trisectrices) se llama II Centro de Morley, o a veces como I Centro e Morley-Taylor-Marr, y se le conoce como X(357) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

El II Centro de Morley es el centro de perspectiva respeto al triángulo original del I Centro de Morley.

 

II Centro de Morley / I Centro de Morley-Taylor-Marr - X(357)

Este teorema es una joya casi perdida y olvidada y que demuestra que a veces resultados increíblemente bellos parten de premisas simplonas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(461) - Teorema de Napoleón. Centros de Napoleón

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa: un teorema de geometría que se le atribuye Napoleón Bonaparte, ni más ni menos.

Realmente no se sabe si de verdad fue Napoleón en persona quien lo descubrió. Se sabía que tenía buenos conocimientos de la geometría para la época, pero se duda si los suficientes para haberlo descubierto. Tampoco sería el primer francés que paga a un matemático para presentar los trabajos de aquel como propio [L’Hôpital].

La primera vez que se tiene mención a este teorema fue en una recopilación de exámenes de Dublín, de fl.1824, que apareció en el examen de geometría para obtener la “medalla de oro” en el examen general de la Universidad de Dublín en octubre de 1820. Volvió a aparecer en 1825 en el “Ladies' Diary” obteniendo una mayor difusión.

Sin embargo, es altamente improbable que Napoleón dedujera este teorema, en especial en estas fechas pues estaba recluido en la Isla de Santa Helena, en medio del Atlántico Sur hasta su muerte en mayo de 1821.

El triángulo original en rojo, los triángulos equiláteros trazados en verde, y el triángulo de Napoleón en azul.

El Teorema establece que: “Al trazar triángulos equiláteros sobre cada lado de  cualquier triángulo, sendos centros [de los nuevos triángulos] definen a su vez un nuevo triángulo equilátero”.

Es más, no importa si se trazan los [triángulos] equiláteros hacia “dentro” o hacia “fuera”, siempre que sea en el mismo sentido.

El triángulo equilátero resultante se le suele llamar triángulo de Napoleón

Además, como un corolario de la desigualdad de Weitzenböck, el área del triángulo original es menor o igual que el promedio de las áreas de los triángulos equiláteros [la igualdad se da si, y solo si, el triángulo original también es equilátero].

Si se define ceviana de Napoleón como cada segmento que une un vértice del triángulo original con el centro del triángulo equilátero opuesto, las tres cevianas de Napoleón intersecan en un centro asociado al triángulo original, conocido como punto de Napoleón.

Si los triángulos equiláteros se habían trazado externamente, dicho centro se llama I Punto de Napoleón, y se le conoce como X(17) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

I Punto de Napoleón - X(17)

Si los triángulos equiláteros se habían trazado internamente, dicho centro se llama II Punto de Napoleón, y se le conoce como X(18) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

II Punto de Napoleón - X(18)
[Nótese que se ha simplificado el número de elementos con respecto a la anterior figura para visualizarlo mejor]

Este teorema es un caso particular del teorema de Petr-Douglas-Neumann y del teorema de Napoleón-Barlotti. Probablemente este teorema no tenga tantas aplicaciones como otros en geometría, ni sea tan amplio como sus generalizaciones, pero eso no le quita de ser un resultado verdaderamente sorprendente. 

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.