(1181) - La ratio plástica (número plástico). El hermano del número áureo

Todos bien conocemos el número áureo, $\varphi$ donde la definición que se suele dar es dados $a>b>0$ se define como la proporción: $$ \varphi = \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \implies \varphi = \frac{1+\sqrt{5\,}}{2} $$ La ratio plástica $\rho$ se define de una mana similar: dados $a>b>c>0$ se define como la razón $$ \rho = \frac{b+c}{a} = \frac{a}{b} = \frac{b}{c} $$ Esto nos llega a la ecuación de tercer grado $x^3-x-1=0$ es bastante similar a la de la razón áurea, $x^2-x-1=0$. Como es una ecuación cúbica en función de la formula de Cardano $$ \rho = \sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{23}{3}\,}}{2}\,}+\sqrt[3]{\frac{1-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{23}{3}\,}}{2}\,} = \frac{2}{\sqrt{3\,}}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{argcosh}\left(\frac{3\sqrt{3\,}}{2}\right)\right) = 1\text{'}3247179572447460259609088544781\cdots $$ De forma similar, hay relaciones similares con sendos polinimios: $$ \frac{x^2-x-1}{x-\varphi} = x+\frac{1}{\varphi}= x+(\varphi-1) \qquad \frac{x^3-x-1}{x-\rho} = x^2 + \rho x + \frac{1}{\rho} = x^2+\rho x + (\rho^2-1) $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1171) - La constante y secuencia de TRIBONACCI

El lector bien conoce la constante de Fibonacci, la raíz mayor que $1$ a la ecuación cuadrática $x^2=x+1$, que surge al estudiar el comportamiento asintótico de la sucesión recursiva definida como $F_0=0,F_1=1, F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$.

Consideremos ahora otro caso, otro tipo de sucesión, la dada por $T_0=0,T_1=0,T_2=1,T_{n+1}=T_n+T_{n-1}+T_{n-2}$. Mientras que en la de Fibonacci cada elemento se definía como la suma de los dos anteriores, aquí se define como la suma de los 3 anteriores. Esta secuencia es la A000073 en la OEIS. Otras secuencias también reciben el nombre de secuencia de Tribonacci según los iterantes iniciales, pero todas satisfaciendo la misma relación de recurrencia, y por ende el mismo comportamiento asintótico.

Aquí la constante de Tribonacci es la raíz mayor que $1$ a la ecuación cúbica $x^2=x^2+x+1$, que se puede reescribir como $x^4-2x^3+1=0$. Este constante es la misma independientemente de la definición de iterantes iniciales, ya que solo depende de la relación de recurrencia. En virtud de la fórmula de Cardano, este número acepta una fórmula cerrada para poder escribirse: $$ x = \frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33\,}\,}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33\,}\,}}{3} = \frac{1}{3}+\frac{4}{3}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{argcosh}\left(\frac{19}{8}\right)\right) \approx 1\text{'}8392867552141611325518525646533\cdots $$ Veamos algunos gráficos:

Sucesión en escala logarítimica. Nótese que tiene un comportamiento geométrico asintóticamente

Ratio de dos términos consecutivos de la sucesión de Tribonacci

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.