( 257 ) Sangakus

Los juegos de ingenio y los acertijos matemáticos son una excelente herramienta de estímulo y divulgación de las matemáticas. Todos nos hemos enfrentado en alguna ocasión a un reto matemático, y el esfuerzo invertido en la búsqueda de la solución, se ve recompensado una vez que se resuelve, con gran satisfacción y una extraña sensación de felicidad.

Sangaku

En esta entrada queremos mostraros un tipo de desafíos matemáticos, los sangakus. Los sangakus, cuyo significado literal es “tablillas matemáticas”, son unas tablillas de origen japonés que contienen problemas matemáticos, principalmente geométricos. Estas tablillas se depositaban en templos y santuarios como ofrendas votivas a los dioses, o como retos destinados a los visitantes de los edificios sagrados. Estaban escritos en en kanbum, una forma antigua de japonés, y esencialmente fueron creadas durante el período Edo o período Tokugawa, que es una división de la historia de Japón que se extiende desde el año 1603 hasta el 1868.

Sangaku colgado en 1854 en el Santuario Sugawara Tenman.

De las 2625 tablillas de este tipo que se supone que existieron, única- mente se conservan 884. La tablilla sangaku más antigua que se conseva proviene de la prefectura de Tochigi (al norte del actual Tokio) y data de 1683, aunque el primer sangaku del que se tiene conocimiento es de 1668, y fue mencionado por el matemático Yamaguchi Kanzan (1781-1850).

Sangaku del Sexteto de Soddy

La mayoría de los problemas que aparecen en los sangakus están relacionados con la geometría euclidiana, y más específicamente sobre círculos, elipses, esferas, cuadrados, triángulos, conos, cubos y volúmenes de diversos sólidos. También se encuentran temas algebraicos, como sistemas de ecuaciones y ecuaciones diofánticas simples. Se podría considerar que una gran parte de estos problemas entrarían en la categoría de la matemática recreativa, necesitando para su resolución resultados sencillos como el Teorema de Pitágoras y conocimientos de semejanza de triángulos. No obstante, algunos requieren de teoremas más complejos como el Teorema de los círculos de Descartes, o incluso se adelantan a famosos resultados occidentales como el Teorema de Malfatti, el Teorema de Casey o el Sexteto de Soddy. 

A continuación os dejamos algunos ejemplos para que os podáis entretener y divertir con su resolución:

Sangaku 1: Pertenece a una tablilla matemática de 1824 encontrada en un templo de la prefectura de Gunma. Dice así: “Las tres circunferencias de la figura son tangentes entre sí y también a la recta horizontal, calcúlese la relación entre los radios de las tres circunferencias”.

Solución:

Si denotamos por r₁, r₂ y r₃ a los radios de las circunferencias C₁, C₂ y C₃, entonces 

Se puede resolver aplicando el Teorema de Pitágoras.

Este problema es un caso particular del problema de las cuatro circunferencias tangentes de Descartes cuando la cuarta circunferencia tiene curvatura cero.

Sangaku 2: Aparece en una tablilla del templo budista de Abe Monju-in, en la prefectura de Tokushima, y data de 1877. El enunciado dice: “Considérese un triángulo equilátero de lado t como se muestra en la figura, un cuadrado de lado s y un círculo, que se tocan entre sí dentro de un triángulo rectángulo ABC cuyo cateto vertical es a. Encontrar t en función de a”.

Solución:

El valor de t es: 

Sangaku 3: Este problema pertenece a una tablilla matemática colgada en el santuario Katayamahiko, en la prefectura de Okayama, en 1873. Dice: “Sea un campo con forma de triángulo rectángulo ABC, con AC = 30 m y BC = 40 m. Como se muestra en la figura, se quiere trazar un camino DEHKJIGF de anchura 2 m y de forma que los tres trozos de campo que quedan tengan la misma área. Encontrar BE, DE, HC, JC, AI y FG”.

Solución:

BE = 21,77 m; DE = 16,33 m; HC = 16,23 m; JC = 10,96 m; AI = 17,04 m y 

FG = 4,87 m.

Sangaku 4: Y por último, os dejamos un sangaku algebraico del santuario Hioki-jinja que dice: “Se tienen dos cubos, A (el más grande) y B. La suma de los volúmenes de A y B es 4463 shaku (80499 cm³) y la diferencia entre los lados de A y B es 4 sun (13.2 cm). Encontrar la longitud del lado de B”.

Solución:

Sean a y b las longitudes respectivas de los lados de los cubos A y B, entonces 

a = 39,6 cm y b = 26,4 cm.

En las últimas décadas se ha producido un renacer de los sangakus, e incluso los profesores en Japón están haciendo uso de ellos para enseñar geometría a los estudiantes. ¡Sin duda es un enfoque más que atractivo!

Nuevo sangaku colgado en el Santuario Kasai en el año 2009

En la web de culturacientifica.com encontraréis mucha más información relativa a la historia de los sangakus, así como más ejemplos de los mismos. 

( 251 ) Métodos de numeración; Sumeria

Sistemas de numeración de la antigüedad.

A lo largo de la historia numerosas civilizaciones se han alzado, llegando a un grado mayor o menor de desarrollo, de la mano de este alzamiento y haciéndolo posible han estado siempre las matemáticas.

Poco preocupaba a un cazador del paleolítico el representar cantidades mediante números y hacer con ellos operaciones, sin embargo eso mismo se tornó en algo vital tras la aparición de la agricultura. Así las primeras sociedades "urbanas" desarrollaron métodos numéricos que respondían a unas mismas, o tal vez más bien similares, necesidades de formas distintas; así aparecieron a lo largo de los siglos diversos métodos para representar símbolos numéricos, algunos más eficientes que otros, sin que esto esté determinado por el orden cronológico de su aparición.

En este artículo y posteriores describiremos tres de ellos, a saber: el sumerio, el griego o romano (siendo estos dos muy similares y tomado como uno solo) y el arábigo.

Haríamos bien en comenzar por el sumerio, dado que fue este el primero que existió, o al menos el primero del que se tiene noticia. Es asimismo un caso verdaderamente particular, puesto que es el único de los aquí tratados con base sexagesimal y, a pesar de su antigüedad, incluye elementos que recuerdan al actual. Aunque antes de hablar de esto me permitiré el describir como se originó aquello de representar números de forma escrita.

A continuación pido al lector que se imagine a sí mismo como un funcionario de una ciudad sumeria, pongamos por ejemplo de Lagash, en donde se han encontrado algunos de los restos arqueológicos con operaciones más antiguos del mundo. Tras la cosecha el rey de la ciudad pide (o más bien ordena) contar cuantos sacos de cebada se han producido, dado el alto precio con el que se paga el error conviene no errar en la cuenta; existe ya un método de contabilidad bien fundamentado y arraigado en las escuelas, el cual le han enseñado e inculcado y con el cual le piden que cuente. El método es el siguiente: Primero se cuentan a mano el número de sacos de cebada, o de lo que fuere que se quiere contar, tras esto se elabora una bolita de barro por cada saco, para que estas no se extravíen se guardan en una urna del mismo material. Durante mucho tiempo el método de representación tenía aquí su fin aquí, a la hora de evaluar el número de bolas se rompía la urna y se contaban, sin embargo, algún contable avispado tuvo la sagaz idea de representar mediante marcas en la superficie de la urna cuantas bolas había, haciendo innecesario el romperla.

Supongo que a nuestro lector-contable le resultará superfluo el crear las bolas y el recipiente, siendo que ya aparecen los números representados en la superficie, pues bien, resultó esa una idea verdaderamente revolucionaria y aunque parece lo que cualquier persona haría, fue algo que tardó mucho en implementarse.

Es incluso surrealista, pero los antiguos pasaron muchas generaciones creando esas urnas superfluas, rompiéndolas y contando; parece que sin que importe la época ni el lugar en la sociedad siempre existirán costumbres absurdas.

Aparece en la imagen previa una de las urnas de las que hablaba, con sus bolas dentro. Como puede observarse no se aprecian signos en su superficie por lo que la apertura de esta si estaba justificada.

Ahora ya por fin, quisiera hablar del método de numeración en si. Como ya he anticipado lo más notorio del sistema sumerio es que se utiliza una base sexagesimal, el motivo exacto de esto se desconoce, aunque existen varias hipótesis. La más extendida es que en esa época se usaban las falanges para contar, teniendo cada mano 12 de estas, con lo que la representación en tablillas pasaría ya a ser tan natural como nuestro sistema basado en dedos.

Otra hipótesis es que se crearon unas unidades que se adaptasen a los calendarios utilizados, los ciclos lunares en que los mesopotámicos contaban sus años son múltiplos de 6, con lo que, dado que se querían hacer cálculos sobre agricultura que tienen en cuenta esos ciclos lunares, parece lógico que se siguiese ese criterio.

En cualquier caso y fuese cual fuese el verdadero origen, gracias a su método se lograron grandes avances y descubrimientos, la eficacia de este está en la simplicidad que ofrece a la hora de hacer cálculos, no parece extraño el gigantesco desarrollo que tuvo la geometría en la Grecia antigua siendo que una operación simple se vuelve un suplicio con su notación. Los números escritos se reducían a un conjunto de clavos y cuñas para los cuales la posición daba la magnitud de lo representado; de forma análoga al sistema actual un clavo puede ser una unidad o sesenta de un orden superior en función de donde esté.

Con este sistema también existía la representación de números racionales, expresados también por sesentavos (1/2=>30/60). Sin embargo, no concebían el número 0, habría que esperar siglos para que esto ocurriese.

Merece también la pena el describir las unidades de medida.

En cuanto a longitud existía el kus (codo) que equivalía a unos 50 centímetros, también se utilizaban el gar (12 kus) y el su-si (1/30 kus).

Las unidades de área, y como es lógico, estaban construidas a partir de las de longitud. Existía el sar (huerto), un cuadrado de 1 gar de lado. También se utilizaba el ese, siendo un cuadrado de 600 sar de área. Las unidades de volumen eran de la misma forma

Se sabe también que existían tablas de "fórmulas" de las que los matemáticos de la época se valían para hallar áreas y volúmenes de figuras geométricas.

En si, el método ideado por esta gente fue magnífico, incluso con las deficiencias que presentaba (la ausencia de 0, mayormente), fue un sistema efectivo que permitió a sus escribas profundizar en los números y dar con expresiones que, con un sistema como el griego, hubiera sido dificilísimo si no imposible determinar. A parte de esto, es buen signo de lo espléndido del sistema el que muchos de sus elementos, como el carácter posicional, fueron retomados por otras culturas y han sobrevivido hasta nuestra época.

Hasta aquí la parte que atañe a Mesopotamia, en entradas posteriores se seguirá con Grecia y Roma.

Diego Munuera Merayo.

( 241 ) Duplicación del cubo

Las matemáticas han sabido fascinar a la humanidad durante siglos, dado este historial uno no puede menos que considerarlas curiosas. En esta entrada he querido rendir homenaje a ese mismo carácter, rescatando, aun sin la atención que merece, el problema de la duplicación del cubo.

Como suele ocurrir en historias tan antiguas e incluso en otras que no lo son tanto, se encuentran distintas versiones en función de dónde se busque. Yo por mi parte he encontrado dos, el cual se quiera considerar auténtica, si bien no se prefiere tomar ambas por verídicas, lo dejo ya a criterio del lector.

Sea pues la primera: Allá por el siglo V ac, en la antigua ciudad griega de Atenas se extendió una epidemia de peste, siguiendo la costumbre se recurrió al oráculo de Apolo, en Delfos (cuyas ruinas aparecen en la imagen), para preguntar que motivaba la cólera de los dioses. La respuesta dada fue que Apolo no estaba satisfecho con su templo, al parecer por considerarlo la deidad  muy pequeño, y quería uno el doble de grande. 

Así, los atenienses comenzaron la construcción del nuevo templo. Tratándose este edificio de un cubo, se planificó ingenuamente duplicar el valor de cada medida. De esta forma, se construyó otro templo con el doble de alto, ancho y largo; efectivamente este nuevo cubo no es el doble de grande que el anterior, sino que es 8 veces mayor.

Al parecer, Apolo no quedó contento con aquella chapuza matemática y la peste no cesó.

La segunda versión pone el cubo como tumba de un príncipe cretense, a cuyo padre le pareció muy pequeña por lo que decidió duplicarla. Siguiendo las indicaciones de Eurípides, un sabio de su corte, se duplicaron las medidas de la misma forma que en la historia anterior.

En cualquier caso y sea cual sea la historia verdadera, el problema cautivó muchas mentes matemáticas a lo largo de la historia.

Por supuesto, encontrar la solución al problema es sencillo, simplemente se necesita hallar una medida tal que el cubo resultante tenga el doble de volumen que el anterior, así:

Sea `a´ la medida del lado del cubo y `b´ la nueva medida, b=(2^(1/3))*a

Dado nuestro sistema numérico es sencillo realizar esta operación. Los números usados en la Grecia antigua complicaban las cosas, animando la resolución de problemas geométricos con regla y compás.
Es justo ese el caso interesante, el intentar hallar nuestro `b´ con regla y compás.

Aparecen a continuación una serie de intentos.

Hipócrates de Quíos fue por lo que se sabe el primero en llegar a hacer un avance. Para ello utilizó el concepto de proporción continua.

Sean x e y longitudes de dos segmentos y a, b las longitudes desde el principio de los segmentos a unos ciertos puntos; se dice que  x e y están en proporción continua si y solo si verifican: a/x=x/y=y/b.

Así, para (a/x)^3=a/x*x/y*y/b=a/b

Con que x^3=b/a*a^3

Para duplicar a^3 solo habrá que usar b=2a, sin embargo, Hipócrates no pudo encontrar tales medidas.

Merece también ser nombrado Arquitas de Tarento (quien aparece en la imagen), el cual allá por el siglo IV a.c. se aproximó bastante a la solución operando sobre 3 dimensiones, contrastando con las figuras planas que solían emplearse.

Otro nuevo intento fue el de Menecmo, este llegó a una solución mediante la intersección de la parábola x^2=y y de la hipérbola y=2/x. Siendo efectivamente la solución la medida buscada. Sin embargo, Menecmo tampoco pudo llegar a representar esa cantidad.

En la imagen aparece la representación de las dos gráficas.

El problema siguió sin solución durante muchos siglos, durante los cuales un gran número de geómetras fueron aproximando el resultado y acercándose cada vez más a esa medida que nunca se lograba representar.

No fue hasta la primera mitad del siglo XIX cuando el matemático francés Pierre Wantzel dio con una demostración de la imposibilidad de hallar esta medida mediante regla y compás.

No incluiré la demostración entera, por extensa y por lo complicado que resulta escribir matemáticas en estos medios. Dejo, no obstante, un enlace a disposición de los interesados:

http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/Suzuki.pdf

En esencia, la demostración se basa en que solo podemos representar con regla y compás raíces de exponente 2^n (para todo n natural) pero no para cualquier exponente que no sea de esa forma.

Así, la distancia `b´ al ser raíz de un polinomio de grado 3, no es un número construible, siendo estos aquellos que pueden hallar a partir de una serie finita de operaciones.

En definitiva, este problema sirve como prueba de los inconvenientes de las matemáticas de la antigüedad, las cuales se veían ampliamente limitadas por los medios de que se disponían. En general, basando la ciencia en un sistema representativo muchísimas operaciones como esta son imposibles de realizar. Cosas como esta constituyen las razones de que hayamos llegado a nuestro sistema numérico actual.

Diego Munuera Merayo.

( 239 ) El maravilloso mundo de los fractales (I)

Las matemáticas son preciosas (al menos cuando no nos examinamos de ellas). Pero para alguien que no ha dedicado su vida al estudio de estas, es muy difícil discernir algo bello entre la inmensa cantidad de símbolos esotéricos con los que a los matemáticos nos gusta tanto decorar nuestras hojas en sucio. Por lo tanto, si queremos convencer al mundo de la belleza de esta disciplina, debemos ofrecer un resultado más visual que meras fórmulas… ¿Y qué mejor candidato que los famosos fractales?

Comenzaremos con una brevísima introducción histórica: la idea de un objeto que se parezca a una parte del mismo recursivamente ya fue explorada por Leibniz a finales de siglo XVII, pero la idea no fue muy aceptada ni investigada en la época. No fue hasta la llegada de Weierstrass dos siglos después, con su muy patológica función (de la que hablaremos más adelante), cuando el mundo presenció el nacimiento de los fractales. Durante el siglo XX, diversos matemáticos produjeron más ejemplo de fractales, pero la falta de ordenadores y una teoría matemática sólida sobre los fractales dificultaron el florecimiento del campo.

Esto cambió con la llegada de Benoît Mandelbrot. Mandelbrot fue el primer matemático interesado en la naturaleza de los fractales que tuvo acceso a los rudimentarios ordenadores de la época, y con ellos produjo modestas pero muy útiles y novedosas visualizaciones. Fue él además quien acuñó el término fractal en 1975, refiriéndose a “figuras geométricas fracturadas o con bordes intricados que pueden ser divididas en partes, cada una de las cuales es una copia idéntica o aproximada de la original”. Debido a la variedad de objetos que satisfacían estas propiedades, a Mandelbrot le resultó difícil encontrar una definición formal de fractal, hasta que en 1983 escribió:

 “Por definición, un fractal es un subconjunto de un espacio métrico cuya dimensión de Hausdorff es estrictamente mayor que su dimensión topológica (dimensión de Lebesgue).”

Aún con esta definición, Mandelbrot no quedó satisfecho, pues había varios conjuntos autosimilares que no caían en la categoría de fractal. De todos modos, pese a este inconveniente, el trabajo de Mandelbrot resultó fundamental para la solidificación y formalización del campo de los fractales. Este campo no es una simple moda, sino que sigue ganando fuerza en las últimas décadas, presentándose como una valiosa herramienta matemática para comprender ciertos fenómenos del mundo que nos rodea.

Volviendo a la definición anterior, aparecen dos términos que posiblemente resulten desconocidos al lector: la dimensión de Lebesgue y la dimensión de Hausdorff. Si el lector siente curiosidad sobre la definición más formal de estos conceptos, dejaremos un comentario durante los próximos días en esta entrada, que contendrá un enlace a un segundo artículo que las presenta algo más rigurosamente. Dicho artículo, si bien es algo más complicado que lo que solemos tratar en el blog, es sin duda también muy interesante. Si al lector no le apetece leer el artículo extra, bastará con que se crea las siguientes "proposiciones":

-La dimensión de Lebesgue de un conjunto es lo que pensamos intuitivamente: segmento o curva, 1, figura plana o superficie, 2, cuerpo geométrico, 3.

-La dimensión de Hausdorff  es la misma que la de Lebesgue para las conjuntos “normales”, pero es mayor en el caso de los fractales (por definición de fractal).

-Podemos calcular la dimensión de Hausdorff (en realidad calcularemos la de Minkowski, pero no importa, pues lo haremos cuando coincidan) de la siguiente manera: Un fractal es autosimilar, es decir, está formado por copias más pequeñas de sí mismo. Si podemos obtener N copias con una proporción entre el original y cada copia r, entonces la dimensión es D= log(N)/log(r). El lector avispado se habrá dado cuenta de que está fórmula no es exactamente igual a la que aparece en la pizarra detrás de la fotografía de Mandelbrot. Esto es una mera cuestión de notación, en esta entrada consideraremos que r = 2 si podemos extraer de una figuras varias con la mitad de tamaño, mientras que Mandelbrot consideraría en ese mismo caso r = 1/2.

Ahora que ya hemos visto las proposiciones anteriores, podemos comenzar. El modo más fácil e intuitivo de construir fractales es iterando una “operación” geométrica. Comenzaremos con uno de los fractales más simples, el copo de nieve de Koch. Inicialmente se toma un triángulo equilátero, y la operación que se itera es la siguiente: se sustituye el tercio central de cada lado por un triángulo equilátero sin base. Con tres o cuatro iteraciones ya toma una forma característica:

En el copo de Koch, la dimensión de Lebesgue es 1. Veamos cómo calcular la dimensión de Minkowski (que en este caso será igual que la de Hausdorff). Observamos que cada “lado” se transforma en 4 con una longitud igual a 1/3 de la anterior. Al aplicar la fórmula hallada anteriormente nos da que su dimensión es log(4)/log(3) (aprox. 1,2619), que puede ser interpretado como que este conjunto se aproxima más a ser una recta unidimensional que a ser una figura bidimensional.

También se construye con este principio la famosa curva del dragón de Heighway.  Se puede construir partiendo de  un segmento, y en cada iteración recorrer la figura desde un extremo, sustituyendo cada segmento por dos segmentos que formen un ángulo recto, con orientación que siempre comience hacia la derecha y se vaya alternando. Esto hace que se pueda construir muy fácilmente en papel cuadriculado, o plegando una tira de papel (como se observa en la segunda figura). En las imágenes se ve mucho más claro:
 

Su dimensión de Lebesgue es 1, mientras que la de Hausdorff es 2, como bien se aprecia en estas dos figuras. Esto significa que la curva es "densa" sobre el plano, lo cual no resulta del todo sorprendente teniendo en cuenta como se construye y lo que pasa en las regiones interiores (rodeadas por cuatro segmentos de la curva). Sin embargo, la dimensión de su frontera no es tan sencilla: como se menciona en el artículo extra, es aproximadamente 1,52, cosa que simplemente nos vamos a creer, pero el lector es libre de consultar el artículo correspondiente. También cabe remarcar que la curva del dragón encaja consigo misma para “embaldosar el plano”, produciendo estos curiosos patrones.

Ante la cantidad de fractales que se originan siguiendo el sistema expuesto anteriormente, se ha llegado a desarrollar un sistema formal para expresarlos, que resulta de mucha utilidad en campos como la biología, ya que muchas plantas presentan estructuras autosimilares (sin ir más lejos, las ramas de los árboles).

De todos modos, la sustitución no tiene por qué ser de segmentos. Dos de los fractales más característicos, el triángulo y la alfombra de Sierpinski , se construyen sustituyendo polígonos. Como una imagen vale más que mil palabras, su construcción es la que sigue:

Aquí la dimensión de Lebesgue también es 1. Calculemos la dimensión de Minkowski. En el triángulo de Sierpinski para r = 2 es fácil notar que N = 3, por lo que D es log(3)/log(2) (aprox. 1,5850). Tiene sentido,

pues parece que es más “sólido” que el copo de Koch. Por otro lado, para la alfombra de Sierpinski, obtenemos por otra parte una dimensión de log(8)/log(3) (aprox. 1,8927), ya que para r = 3, N = 8. Como curiosidad, estos fractales  tienen primos-hermanos en el espacio tridimensional. Más concretamente, el equivalente de la alfombra de Sierpinski en tres dimensiones se llama esponja de Merger , figura que en el momento de la redacción de esta entrada es la imagen de fondo del blog.

 

Pero no todos los fractales provienen de polígonos regulares… Como contraejemplo, podemos mostrar los tamices de Apolonio, que se basan en inscribir circunferencias tangentes a otras tres sucesivamente (en la imagen se muestra el tamiz con simetría triangular):

El análisis de la dimensión en este caso es más complicado, así que nos limitaremos a decir que la dimensión de Lebesgue es de nuevo 1, y la de Hausdorff aproximadamente 1,3057.

 Debemos, eso sí, destacar también que los fractales no son simples curiosidades matemáticas en forma de dibujitos. El primer fractal con el que se encuentra un estudiante del grado de Matemáticas es el conjunto de Cantor, conjunto que se obtiene empezando con un intervalo cerrado [0,1] y sustrayendo en cada paso de los intervalos cerrados [a,b] que haya el intervalos abierto (2a/3+b/3,a/3+2b/3), que en el caso del intervalo cerrado inicial, será (1/3,2/3). Este simple procedimiento da lugar a un fractal, pues cada tercio en el que queda dividido es una copia idéntica del conjunto, con un tercio de la longitud, y cada tercio de esos tercios con un noveno de la longitud, y así sucesivamente.

Para el conjunto de Cantor, la dimensión de Lebesgue es 0 y la dimensión de Minkowski  es log(2)/log(3) (aprox. 0,6309), lo cual podría indicar que es “menos” que una línea recta, pero aun así, más que un punto. A estas alturas, al lector no le será difícil deducir cual es el valor exacto como cociente de logaritmos.

Además de ser fractal, este conjunto tiene numerosas propiedades interesantes: pese a que su medida es cero, contiene un número incontable de puntos. Además, por parte de su topología, es un conjunto compacto y denso que no contiene ningún intervalo abierto y es completamente inconexo. En conclusión, los fractales no son una “figura” sin más.

También debemos volver a la función de Weierstrass, que sirvió para mostrar que la continuidad de una función no implicaba la diferenciabilidad en ningún punto (más técnicamente, podemos construir una función continua en un intervalo tal que el conjunto de puntos en los que la función sea diferenciable tenga medida 0). Se define a partir de la siguiente serie de Fourier,

con a y b cumpliendo que 0<a<1, b es un natural positivo, y 

 




Como dijimos antes, esta función presenta un gran interés en análisis como contraejemplo, y además su gráfica es un fractal. En la imagen se aprecia su carácter autosimilar, y su dimensión de Hausdorff está acotada por

 


que se cree que es el valor exacto.  Gaussianos estudia más en detalle la función de Weierstrass en el siguiente artículo.

En resumen, en esta entrada hemos explorado los fractales clásicos, los que se conocían antes del nacimiento de la computación. En la siguiente entrada exploraremos los fractales nuevos, entre ellos el más famoso de todos, el conjunto de Mandelbrot.

( 233 ) Descubierto un nuevo primo de Mersenne

     No es habitual que en la prensa generalista (lo que vienen siendo los diarios de toda la vida) aparezcan noticias relacionadas con las matemáticas. Entendámonos, tampoco es que no salgan nunca. De vez en cuando las matemáticas del bachillerato se hacen notar (por ejemplo, conflictos en la selectividad: el año pasado, o también el año anterior con un problema que se hace especialmente difícil) o se da algún premio a algún matemático (por ejemplo, un premio de este año y también, aunque es ya más antiguo una noticia que ayuda a luchar contra la discriminación de género) o incluso, y esto es el tipo de artículos que no podemos dejar de recoger en este blog, sale de vez en cuando una noticia sobre lo bien que se colocan los matemáticos (eso ya lo hemos tratado anteriormente en otras entradas, como esta) o sobre la importancia que tienen las matemáticas en nuestra sociedad. En esta línea tenemos este artículo de noviembre pasado, "El boom de las matemáticas", del cual nos permitimos reproducir el primer párrafo para animar a su lectura:

Decía el novelista Graham Greene que «una pasión tiene que tener algo de clandestino, algo de transgresor y algo de perverso». En un mundo en el que los números se pueden usar para cosas tan dispares como navegar por internet o explicar el funcionamiento de las estrellas, las matemáticas pueden ser la pasión de muchas personas. Pero no todos los afortunados con este don lo reconocen, quizás porque al ser tan complejas y abstractas como la realidad en sí misma, las matemáticas pueden llegar a ser abrumadoras para los profanos en la materia. Por eso no sorprende que los apasionados por los números a veces queden encajados en la categoría de los raros.

     Pero también alguna vez, y esto es todavía más raro, lo que aparece en la prensa es la noticia de un descubrimiento matemático. Eso es justo lo que ha ocurrido el pasado mes de enero, así que nosotros vamos a recogerlo aquí para intentar explicar un poco la noticia y, quien sabe, quizá ayudar a difundirla un poco (¿es posible que haya estudiantes de matemáticas que no lean periódicos y como consecuencia, no estén al tanto de la evolución de la ciencia objeto de sus estudios?, ¿es incluso probable?..., demasiadas preguntas para responder en este humilde blog). 

Logotipo del GIMPS

     El responsable del descubrimiento es un grupo de trabajo (¿quizá deberíamos llamarlo un proyecto de investigación?) llamado GIMPS (iniciales de Great Internet Mersenne Prime Search, o dicho en castellano Gran Búsqueda de Primos de Mersenne por Internet) y la nota de prensa con la que comunican su hallazgo la emitieron el 7 de enero de 2016. El hallazgo que anunciaban es que habían encontrado el mayor número primo que se conoce, que, como se puede esperar dado el nombre del grupo, es un primo de Mersenne. Naturalmente, no el mayor primo que existe porque ya los antiguos matemáticos griegos habían demostrado que hay infinitos números primos. El mayor que conocemos hasta ahora, que dicho sea de paso, es bastante grande. Y esta frase es sólo una excusa para sacar a colación que hemos dedicado ya una entrada a números grandes y tenemos pendiente alguna más, pero digamos que el primo encontrado tiene más de 22 millones de cifras (22.338 618 para ser exactos). Por poner un ejemplo, en el Quijote que tengo en casa caben unos 62 símbolos por linea (incluyendo espacios) y unas 30 líneas por página, así que escribiendo las cifras del primo hallado seguidas, sin huecos, línea tras línea y página tras página a ese mismo tamaño ocuparían aproximadamente 12000 páginas. Mi Quijote ocupa unas 1550 páginas, así que tenemos un número de casi 8 Quijotes.
       El contenido de la nota de prensa acabó apareciendo en los periódicos clásicos (por ejemplo la noticia sale en el ABC el 21 de enero), en los digitales (aquí ponemos un articulo de El Español del 28 de enero que encontramos especialmente claro y completo) o en los blogs de divulgación matemática (el estupendo blog Gaussianos lo ha tenido como entrada con el título: Confirmado el descubrimiento del primo de Mersenne número 49). El número concreto, el primo de Mersenne más grande que se conoce, que aún no lo hemos dicho, es el que aparece en la foto que colocamos aquí debajo (tranquilos que no estan los 22 millones de cifras):

El nuevo primo descubierto (foto sacada del ABC)

     Básicamente, eso es lo que teníamos que contar, pero ya que estamos metidos en harina, que menos que incluir algunos comentarios aclaratorios sencillos. El primero, ¿qué es un primo de Mersenne?, pues simplemente un número primo que es una unidad menor que una potencia de dos. Es decir un primo de la forma 2^P-1. No es difícil ver que entonces el exponente P también tiene que ser un número primo. Ojo, pero no basta con que P sea primo para que 2^P-1 lo sea. Eso sólo pasa para algunos pocos primos.

Portada de una obra del padre Mersenne

      De hecho la hipótesis del cura que los estudió y les dio nombre, el padre Marin Mersenne, es que a partir de P=257 ya ningún número de esa forma es primo, lo cual no es cierto.  El padre Mersenne fue compañero de colegio de René Descartes y estudió teología, filosofía, teoría musical y, claro está, matemáticas (de hecho fue miembro de la orden de los mínimos, que no tiene nada que ver pero suena a orden para matemáticos). Volviendo a su estudio de primos, no hagamos sangre, se equivocó, pero tampoco hay tantos primos de esa forma especial. Hasta ahora sólo se conocen 49 primos de Mersenne (el número 13 es 2²⁵¹-1, de hecho justo el 2²⁵⁷-1 no es primo, luego hay 36 hasta ahora con los que el padre Marsenne no contaba). Conviene aclarar que los primeros que se conocen son todos los que hay, es decir, que hasta el primo de Marsenne número 44, que es el 2^32.582.657-1 (que se acerca a las diez millones de cifras, exactamente 9.808.358, unos tres Quijotes y medio), todos los numeros de esa forma (una unidad menos que una potencia de dos) y menores que este, distintos de los 44 conocidos, seguro que no son primos. Pero de ahí para arriba es distinto. Se conocen cinco primos más, pero puede que haya algún primo más de esa forma menor que los conocidos. Es decir que el 49 primo de Mersenne, el que se acaba de encontrar, todavía puede acabar siendo el 50 o el 51.
       La ventaja de estos números, de los que son una unidad menos que una potencia de dos, es que hay métodos de cálculo que permiten saber con más rapidez si son primos o no (quiere decir comparado con saber si es primo o no un número de un tamaño parecido pero que no tiene esa forma). De ahí que si uno mira la lista de los primos que fueron en su momento los más grandes conocidos, los 16 últimos encontrados son primos de Mersenne (el último que no lo era se encontró en 1989, entonces era el primo más grande conocido y fue el (391581×2²¹⁶¹⁹³)-1 que tiene 65087 dígitos (tan pequeño que casi ni merece la pena pasarlo a Quijotes, 35 páginas, poco más de tres capítulos). Aclaremos que eso no es lo mismo que los primos más grandes que se conocen ahora (hay primos que no han sido los más grandes conocidos cuando se encontraron, pero al encontrarse en, por decir algo, 2007, eran mayores que el que tuvo el record en 1989). Los 11 primos mayores que se conocen ahora son primos de Marsenne pero el décimo segundo, encontrado en 2007, es el (19249×2^13018586)+1 que tiene casi cuatro millones de cifras (exactamente 3.918.990, este ya pesa algo más de un Quijote).
     Esta característica de los primos de Mersenne hizo que surgiera un proyecto para buscar primos muy grandes de ese tipo, el ya mencionado GIMPS. Como, aún con todas las facilidades ya aprovechadas, la cantidad de cálculos que hay que hacer es muy grande, este proyecto utiliza a través de internet ordenadores que voluntarios le prestan. De ahí que los que figuran como descubridores de los números no son siempre los mismos, aunque todos lo hagan a través del GIMPS, o que puedan aparecer noticias curiosas como este titular de El País de hace 11 años: Un oculista alemán halla el número primo más alto conocido. Se refería al primo de Mersenne número 42 (7.816.230 cifras, algo menos de tres Quijotes de número).
      Sólo nos quedan dos cosas más para terminar esta entrada. La primera, agradecer a Diego Alonso, que nos envió un correo alertándonos del descubrimiento de este primo de Mersenne. Y la segunda, disculparnos con él porque pese a su sugerencia, no tratamos aquí de números perfectos y su relación con primos de Mersenne. No es que el tema no sea interesante, pero prefiero no alargarme más. Tal vez más adelante podría venir otra entrada hablando de números perfectos (y ayudaría si hubiera varios comentarios interesándose en el tema, que no conseguimos temas que os animen a comentar las entradas).

(229) Planilandia, una novela de muchas dimensiones

Bien, en este artículo me gustaría hablar sobre un libro, que a saber y como anticipa el título, se trata de Planilandia.
Un lector avispado, como son comunes en un blog de matemáticas, supondrá que se trata de algo que puede interesar a un estudiante o incluso a un docto de estas. Para motivar la lectura podría limitarme a decir que su autor, dentro, eso sí, de la obra, es un cuadrado; fuera de ella, en una realidad más aburrida, este libro fue escrito por Edwin Abbot Abbot, en 1884. Tiene la obra un carácter de crítica social, representando una sociedad clasista y machista, ideología que no coincide con la del autor; aclarado esto podemos seguir.

Convendría asimismo hacer un resumen de su argumento: la novela nos pone en la perspectiva de un cuadrado que vive en un mundo de dos dimensiones y toma contacto con otros mundos de otras dimensiones. Pero antes de relatarnos sus andanzas por ellos, nos cuenta como es la vida en ese mundo suyo. He aquí algunos episodios curiosos:

Las clases sociales de Planilandia se miden en función de los lados que uno tenga; sí, sus habitantes son todos figuras geométricas; caso aparte es la mujer, que consiste en una línea, estando así de acuerdo a sus lados, en el eslabón más bajo.

No entraré en detalles para no destripar la historia, pero sí me permitiré el explicar cómo pueden los planilandeses captar los lados de quien esté frente a ellos. Recordemos que, habiendo dos dimensiones, y no pudiendo ver desde "arriba", todo objeto se reduce a una mera línea; se desarrolló así un método curioso, este es: aprovechando la niebla los puntos más lejanos se difuminan con más rapidez, mientras que un polígono con muchos lados, verá su línea más constante, como se dice en el propio libro: "si puedo hacer que mi mirada biseccione un ángulo (A) del desconocido que se acerca, mi visión se hallará equitativamente emplazada, como si dijésemos, entre los dos lados suyos que se encuentran próximos a mí (es decir, CA y AB), de tal manera que contemplaré los dos con imparcialidad y parecerán los dos del mismo tamaño. ¿Qué veré ahora en el caso (1) del comerciante? Veré una línea recta DAE en la que el punto medio (A) será muy brillante, porque es el que está más cerca de mí; pero a ambos lados la línea se hará enseguida borrosa, debido a que los lados AC y AB se pierden rápidamente en la niebla y lo que a mí me parecen las extremidades del comerciante, es decir D y E, serán realmente muy imprecisos. Por otra parte, si pasamos (2) al médico, aunque también veré en este caso una línea (D'A'E') con un centro brillante (A'), se hará borrosa menos rápidamente que en la niebla: y lo que a mí me parecen las extremidades del médico, es decir, D' y E', no están tan tenues como las extremidades del comerciante."

 

En sí, la novela trata de dimensiones, y resulta utilísima en cuanto a entender qué son estas, un concepto que, viciado por años de confinamiento en tres dimensiones, de los que la generalidad de la gente se niega a despedirse, resulta extraño, y, al menos para mí, difícil de entender.

Tiene el libro un episodio curioso, en el cual nuestro cuadrado le explica geometría a su nieto, contándole como se construye una línea a partir de un punto, desplazándolo en una dirección, y un cuadrado con una línea de la misma manera, tras esto se queda sin respuesta ante la pregunta de que surge al desplazar un cuadrado hacia otra dirección que no sean las anteriores, por supuesto nosotros sabemos que es un cubo, pero, ¿y si desplazamos ese cubo? Necesitaríamos, en primer lugar, una dirección que no fuese ninguna de las anteriores, tras mucho pensar y tratar de imaginarme llegué a la conclusión de que, la mente humana, o tal vez sea la mía, solo puede imaginarse tres de las infinitas dimensiones; así, harto de pensar sobre tal cuestión, decidí escribir, para dar a quien lea esto, algo sobre lo que también hartarse a pensar.

También diré que existe una animación basada en la novela, por si se prefiere eso a la lectura, aunque yo, por mi parte, recomiendo mucho más el libro.

No la he encontrado en español (esta es la versión en inglés) no sé siquiera si existe.