Con el curso ya empezado, arrancó el jueves 3 de octubre la segunda edición de la Liga Matemática de la ANEM. En esta primera jornada, la Universidad de Valladolid se enfrentó a la Universidad de Sevilla a las 16:00.
El equipo vallisoletano, más experimentado y reforzado con un nuevo delegado y varios flamantes fichajes, llegó muy motivado al primer partido de la temporada. El subcampeón de la pasada edición alineó a Juan, Sergio, Guillermo, Nicolás, Javier y Jaime para intentar conseguir la primera victoria de la campaña, quienes tuvieron que resolver los siguientes problemas:
Problema 1:
¿Es posible encontrar 2024 números enteros positivos distintos tales que ninguno es un cuadrado perfecto y al sumar dos o más de ellos tampoco se obtiene un cuadrad perfecto?
Problema 2:
En un triángulo ABC isósceles, con lado AB desigual, el punto D es el punto medio del lado BC. La circunferencia con diámetro AD interseca AB y AC en los puntos E y F, respectivamente. Demostrar que EF es paralelo a BC.
Problema 3:
Consideremos la sucesión definida por 16, 1156, 111556..., donde cada número se obtiene del anterior insertando 15 entre sus cifras centrales. Demostrar que todos los números de la sucesión son cuadrados perfectos.
El partido tuvo un inicio lento, y ambas universidades estuvieron una hora intentando resolver los tres problemas, aunque no fueron capaces de sumar ningún punto en sus respectivos casilleros. Sin embargo, la UVa hacía avances significativos en todos los frentes, y llegó a conclusiones de forma muy seguida poco después de la marca de los sesenta minutos, anotando los dos primeros tantos del partido de manera casi consecutiva.
Con una cómoda ventaja en el marcador y casi media hora por delante, el gol de la victoria parecía solo cuestión de tiempo. Después de un último intento, sonó el grito de "¡Eureka!" y se llegó a la solución del último problema. Parecía que se iba a completar una abultada goleada, pero mientras el razonamiento se pasaba a limpio la US anotó el gol del honor, dejando el marcador final en un excelente US 1-3 UVa.
Tras este fantástico inicio, la Universidad de Valladolid se verá las caras con la Universidad de Extremadura, en un partido que tendrá lugar el lunes 7 de octubre a las 18:30.
En el día de hoy traemos un artículo relevante: el teorema del seno que tantos quebraderos de cabeza ha traído a estudiantes de PREU, BUP, COU, ESO y Bachillerato.
Consideremos un triángulo de lados $a,b,c$ y ángulos opuestos a los lados $\alpha,\beta,\gamma$. Entonces el teorema del seno establece que:
$$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R $$
Donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
De hecho, el II teorema de Tales (si los vértices de un triángulo está circunscritos en una circunferencia de diámetro $\overline{BC}$, entonces es un triángulo rectángulo) se puede ver como un caso particular:
$$ a=2R \iff \alpha=\frac{\pi}{2}$$
Este resultado es bastante útil a la hora de hallar el valor de un lado si se conocen dos ángulos y un lado, o en su defecto a la hora de hallar un ángulo si se conocen dos lados y un ángulo opuesto a alguno de estos.
Este formidable teorema se lo debemos al matemático andalusí Ibn Mu'adh al-Jayyani también conocido como Ibn Muad de Jaén el Joven. De origen jiennense, no se sabe muy bien si nació en Jaén o en Córdoba, la entonces capital del califato omeya de Córdoba. Que vivas tiempos interesantes reza una maldición china, y así fue su caso: al nacer en el 989 el califato omeya estaba llegando a su fin: la muerte de Almanzor en el 1002 y la de su hijo ʿAbd al-Málik en el 1008 dejó a al-Ándalus en una situación precaria donde los visires tenían más poder que los califas, recluidos en su palacio de Medina Azahara y los gobernadores locales se sublevaban contra el poder. En el 1031 cayó definitivamente el califato tras una prolongada muerte. Ibn Muad de Jaén el Joven se había asentado en Jaén donde escribió al menos sobre matemásticas y astronomía demostrando este teorema en su versión para esferas. No se sabe muy bien cuándo murió si en el 1079 o 1093, cuando tendría entre 90 y 104 años.
Debido al desbordante número de peticiones que he recibido sobre este tema ( 1 ) me veo obligado a desvelar los secretos que, esta vez sí, permiten en teoría desbancar al casino si se ejecutan correctamente, hoy vamos a hablar de cómo contar cartas en el Blackjack y sobre por qué funciona.
El juego
El Blackjack es un juego contra la banca, por lo que no hacen falta más jugadores que uno mismo y el crupiere. El objetivo es conseguir que la suma de tus cartas supere la suma de las del crupiere, sin pasarte de 21.
Al inicio de la partida, el crupiere reparte 2 cartas a cada jugador, todas boca arriba, y acto seguido se da una carta a sí mismo. Aquí el jugador cuenta lo que suman sus cartas, ve la del crupiere y decide entre cerrar su mano, pedir otra carta, doblar la apuesta o, si tiene dos cartas iguales, dividir su mano en 2.
Si decide cerrar su mano (normalmente porque la suma es alta), el crupiere se repartirá cartas a sí mismo hasta llegar a 17 o más. Una vez tenga al menos 17, se comparan tu suma y la del crupiere, quien gane se lleva lo apostado, si hay empate se queda todo igual, y si tienes blackjack(21) pagan 3/2 de lo apostado.
Un ejemplo, si tus cartas { K, 4, 5 } suman 10+4+5=19 y el crupier saca { J,3,5 } que suman 10+3+5=18, como 18 es mayor a 17, el crupier deja de repartirse cartas y ya que 19 > 18 habríamos ganado la mano.
En caso de que el crupier hubiera sacado J,Q hubiéramos perdido pues 10+10 = 20 > 19. Y si hubiera sacado K, 6, Q 10+6+10 = 26>21 se habría pasado y habríamos ganado.
Si pides carta y tu suma se pasa de 21, automáticamente pierdes independientemente del crupiere.
Bien, una vez explicadas por encima las normas vamos a ver cómo ganarle a tus amigos antes de ganarle al casino.
Ganar con amigos
La idea de ganar dinero contando cartas surge de que podemos esperar a que queden pocas cartas bajas (2,3,...,7,8) en la baraja para apostar más fuerte en esas rondas y evitar apostar en las que tendríamos probabilidades normales de ganar.
Esto es así ya que con cartas más altas en la baraja es más seguro que nos repartan una alta y nos interese quedarnos a partir de 17 u obtengamos blackjack natural (As + Figura = 21).
Dicho esto, si estamos esperando a que se acaben las cartas altas, el numero de barajas en juego importa, pues hay más cartas altas posibles y estarán más distribuidas.
Para 1 o 2 barajas, existen tablas precomputadas que permiten jugar de manera óptima juzgando por la suma de tus cartas y las del crupiere como se ve en esta imágen.
Para jugar con amigos basta con memorizar los sectores de estas tablas y en funcion de ello apostar más o menos esa jugada, las estrategias son óptimas suponiendo que se ha barajado antes de empezar.
H es apostar (hit)
D es doblar
S es quedarse (stay)
DS es doblar y si no se puede, separar
Ganar al casino
Los casinos son conscientes de que existen este tipo de estrategias, por lo que usan entre 5 y 7 barajas para minimizar la ventaja del jugador, pero aun así se puede sacar ventajas menores.
El sistema es el siguiente, según inicie la partida la cuenta es 0, cuando aparezcan cartas con 2, 3, 4, 5 o 6 sumas +1 a la cuenta, si aparecen un 7, 8 o 9 se ignora, y si la carta es 10, as o figura restas 1.
Manteniendo la cuenta mental de las cartas que van saliendo podemos ponernos cerca de la mesa y esperar a que la cuenta que lleves sea alta para entrar a la mesa, apostar alto un par de rondas y si hay suerte, ganar bastante dinero.
Retomando el artículo de la ruleta, la esperanza matemática del blackjack sin estrategia es negativa, es decir, que a la larga podemos esperar perder dinero. Sin embargo contando cartas tenemos que la esperanza matemática de jugar cuando la cuenta que llevas es un cierto número \( S \) es la siguiente:
\[T = \frac{S}{\text{barajas restantes}}\]
Esta T es la llamada "True Count" que varía con el numero de barajas en juego
\[E = \frac{T - 1}{\text{número de barajas}}\]
Por ejemplo, si llevaramos la cuenta de la partida en 14 y hay 5 barajas restantes, entonces:
Luego tienes cierta ventaja contra el casino, cosa que si no siguieras la cuenta y calcularas esos porcentaes, probablemente acabaras apostando con una cuenta negativa y esperanza negativa, por lo general del -0.5% hasta el -1.5 %.
Cuando la cuenta suba hasta 15-20 puntos podemos entrar a la mesa y apostar más fuerte de lo que apostaríamos normalmente, ya que tenemos una esperanza superior a la del juego normal.
Si quieres aprender a contar cartas lleva mucho esfuerzo y paciencia, porque llevar tantos numeros en la cabeza y no equivocarse es particularmente difícil si a la vez estás jugando y hablando un poco para no parecer completamente absorbido por el juego y que el casino te expulse por contar.
Nota: Contar cartas mejora tus posibilidades pero no te garantiza nada, la ventaja de esta estrategia es apostar muy fuerte en un par de rondas en las que tienes ventaja, posiblemente ganar bastante dinero, y retirarse inmediatamente. En este proceso puedes tener mala suerte y perder aún así todo tu dinero, pero siempre será mejor que jugar a ciegas de las probabilidades que juegan en tu contra.
A veces nos toca tomar decisiones sin saber, quizás lo que tenemos frente a nosotros es el chollo de nuestra vida o lo último por la cola de nuestras posibilidades, pero no lo sabemos por falta de experiencia.
Por ejemplo con un puesto de trabajo, un piso en alquiler, un coche en venta o incluso al elegir pareja, no sabes a lo que te metes hasta que ya has trabajado en varios sitios o tenido varias parejas para comparar con la elección actual.
Es por esto que resultado me parece muy curioso e incluso útil para tomar decisiones, el planteamiento es el siguiente:
Coche nuevo
Quieres comprarte un coche de segunda mano, y has estado buscando mucho para cerrar el catálogo a un total de 100 coches que a la vez te puedes permitir y te gustan, ahora bien, una vez examinas un coche con el propietario, debes tomar la decisión de comprarlo o no al acabar, pues asumimos que, si luego quieres volver a por él, otro se lo habrá llevado para entonces, así que los rechazos son permanentes.
Tenemos pues:
Planteado esto ¿cuántos coches deberías mirar antes de elegir el definitivo?
Si te quedas con el primero, lo más seguro es que no te encuentres el mejor de todos, sería como casarte con la primera persona que te lo propusiera, pero por otra parte, si los miras todos y te quedas el último, lo más probable es que el mejor ya se te haya pasado, por tanto, la solución debe estar en el medio.
¿Cual debería ser k en este caso? ¿Y para N objetos?
Efectivamente, la respuesta está en el medio, y es 1/e ≈ 0.368 ≈ 37% de los N objetos disponibles para mirar, por lo que en este caso deberías tomar nota de los primeros 37 coches que veas sin comprar ninguno, y comprar el próximo coche que supere a todos los anteriores.
Un detalle importante es que esta estrategia no es infalible. Podría suceder que los primeros coches que veas sean los mejores, y que luego ninguno los supere, en cuyo caso podrías terminar con uno de los peores, pero curiosamente, esta estrategia nos da una probablidad del 37% de no fallar, que en general es superior a hacerlo a ojo.
La demostración de este resultado es algo compleja, por lo que dejo un par de links para los interesados en este el llamado "Problema de la secretaria" o "Problema de la parada óptima"
«Todas las evidencias muestran que Dios es en realidad un gran jugador y el universo un gran casino donde los dados se lanzan y la ruleta gira en todo momento. »
-Stephen Hawking, ludópata y aficionado a la física
Si hay algo que los matemáticos en especial no deberían hacer por sentido común, es apostar dinero en el casino, ya que deberían haber aprendido gran cantidad de conocimientos en Probabilidad de 1º y por ello, sabrían lo que es la esperanza matemática y por qué eso supone malas noticias para su bolsillo, pero en caso de que "estuvieras malo" el 85% de las clases de Eusebio y no pudieras asistir, te lo resumo.
Definición
La esperanza matemática se define por \[ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i \]
¿Pero qué información nos da esta cuenta a priori arbitraria?
Si tiramos una moneda al aire, tenemos que la probabilidad de ganar y la de perder son idénticas, \( \frac{1}{2} \), por lo que si seguimos jugando indefinidamente podemos esperar que "más o menos" nos salga el mismo número de caras que de cruces, ganar el mismo número de veces que perdemos.
Si nos proponen un juego en el que, si sale cara ganamos 2€ y si sale cruz perdemos 1€, la intuición nos dice que deberíamos poder ganar dinero, así que comprobemos con la esperanza matemática si en verdad es así.
Consideremos ahora \[X = \text{"Dinero que gano en esta jugada en €".}\]
Y obtenemos que el valor esperado de \( X \) es de 0.5€, un numero positivo , o sea que si seguimos jugando, a la larga, podremos esperar ganar en promedio 0.5€ con cada jugada, un chollo.
Veamos qué pasa ahora con la 37 destinos.
La ruleta
Consideremos también \[X = \text{"Dinero que gano en esta jugada".}\]
Utilizando la regla de Laplace vemos que:
P(Rojo) = \( \frac{18}{37} \)
P(Negro) = \( \frac{18}{37} \)
P(Cero) = \( \frac{1}{37} \)
Sabemos además que en el casino, por cada euro apostado si ganamos nos lo doblan (+1€) y si perdemos nos lo quitan (-1€). Entonces:
La esperanza es negativa, lo cual nos indica que a la larga, la variable "Dinero que gano en la jugada" va a ser negativa, o en lenguaje corriente, que vamos a perder dinero si seguimos jugando.
Sorprendentemente, da igual a qué apostemos, pares, impares, rojo, negro... ¡ la esperanza es la misma!
Claro, la probabilidad de que caiga en un numero concreto es mucho menor a la de que caiga en rojo/negro o par/impar, pero como pagan más las pérdidas a la larga serán las mismas.
O sea, que da igual a lo que juegues que vas perder lo mismo. Si empiezas la noche con 15€ jugando en una mesa con apuesta mínima de 5€ puedes esperar perder: \[5\cdot(-0.027) =-0.135€\] por jugada, eso sí, probablemente no te dure las \(\frac{15}{0.135} = 111\) rondas teóricas.
Por último, que puedas esperar perder tu dinero no significa que lo tengas que perder, puedes ganar dinero en el casino, meter 10 al rojo y salir instantáneo con 20€ fresquitos, pero lo que nos dice la esperanza es, que si te quedas, y sigues jugando eventualmente esos 10 irán bajando y subiendo hasta hacerse 0.
Si quieres probar tu suerte, te dejo este programa sinulador de ruleta para que veas lo que te duraría el dinero y un par de gráficas por si no te apetece ejecutarlo :)
Esta última entrada antes del verano es simplemente para introducir brevemente al lector la idea de la integral de Choquet. Esta defición de la integral, que no es necesariamente aditiva como otras deficiniones, se utiliza en mecánica estadística, teoría del potencial y teoría de la decisión.
Dejemos el vídeo introductorio aquí:
Aquí otro donde se comenta cómo escoger los pesos:
¿Qué crees que nos pondrá? ¿Algo díficil de integrar? - A lo que respondí: No sé, pero mientras no nos ponga ninguna como el seno o coseno de Fresnel, que se definen como una integral... - A lo que me respondieron: ¡No, hombre, no! ¡Cómo va a poner algo de eso! - Al recibir el examen vimos que había que integrar a lo largo de una curva parametrizada, donde según la parametrización indicada se tenían que usar estas funciones.
Empecemos con el seno normalizado de Fresnel:
$$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{S}: & \mathbb{R}& \longrightarrow &
\mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x
\!\sin\!\left(\frac{\pi}{2}t^2\right) \;\mathrm{d}t
\end{array}$$
De forma análoga se define el coseno normalizado de Fresnel
$$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{C}: & \mathbb{R}& \longrightarrow &
\mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x
\!\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t^2\right) \;\mathrm{d}t
\end{array}$$
Veamos una gráfica de las funciones:
Con esta definición es fácil ver que son funciones $\mathscr{C}^\infty$ cuyo desarrollo en serie viene dado por:
$$ \operatorname{S}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\pi^{2n+1}}{2^{2n+1}(4n+3)(2n+1)!}x^{4n+3} \qquad \operatorname{C}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\pi^{2n}}{2^{2n}(4n+1)(2n)!}x^{4n+1} $$
Uno de los límites interesantes que tienen estas funciones son:
$$ \lim_{x\to\pm\infty}\operatorname{S}(x) = \lim_{x\to\pm\infty}\operatorname{C}(x) = \pm\frac{1}{2} $$
Veamos la curva conocida como espiral de Cornu $\Big\{\big(\operatorname{C}(x),\operatorname{S}(x)\big)\,/\,x\in\mathbb{R}\Big\}$
Estas funciones están íntimamente relacionadas con la función error gaussiano, $\varepsilon\!\operatorname{rf}(x)$. Estas funciones no solo aparecen en óptica, sino también en ecuaciones diferenciales, al considerar los iterantes de Picard para la ecuación diferencial del péndulo simple.
