(1213) - Arpeggios, un juego sobre azar (Parte 1)

 Hoy vamos a volver un poco a los juegos de azar,  vamos a ver cómo jugar a Arpeggios, un juego muy relaiconado con la probabilidad y del que podemos sacar estrategias óptimas. 

El juego funciona de la siguiente forma:

Primero de todo, necesitarás 2 jugadores, folio, bolígrafo, y 2 dados, el juego se desarrolla por turnos, en primer luegar los jugadores se asignan los papeles de "jugador ascendente" y "jugador descendente", tiran por turnos un par de dados, y en cada tirada apuntan su resultado en el folio de la siguiente manera: empieza el jugador ascendente, tira los dados y sale (por ejemplo) un 2 y un 4, entonces puede escribir en su columna un 24, un 42 o rechazar la tirada, luego sigue el jugador descendente, que saca (por ejemplo) un 3 y un 1, por lo que podrá apuntarse un 13, un 31, o rechazar la tirada ... el juego sigue hasta que uno de ambos llegue a apuntar 10 números, pero tiene truco, pues el jugador ascendente solo puede apuntar números en orden ascendente, al igual que el descendente solo puede apuntarlos en ese orden.

Por ejemplo, si fueras jugador ascendente y sacaras  1, 4 te interesaría apuntar 14 antes de 41, pues vas a poder poner más números encima del tuyo  y llegar antes a los 10 que si te limitas a apuntar solo los superiores a 41.

Si sacaras por casualidad 5 y 6, te interesaría descartar la tirada porque solo hay una combinación que te permite subir la cifra, así que no te interesa.

Cada vez que un jugador tira, pasa los dados al otro y siguien jugando hasta que alguno consiga apuntar 10 números de acuerdo con su papel (ascendente o descendente).

Puesto que apuntar 10 de esta forma seguidos es algo complicado, se añaden un par de normas:

-Si sacas dobles, puedes elegir si quedarte el numero o tirar un dado de nuevo

-Si pasas turno, tu rival puede cambiar su turno por tu tirada (quedarse con los numeros que has sacado y apuntarselos como una tirada suya), al hacer esto, gasta su turno

(Ej: Sacas 6,6 , no lo quieres, tu rival sí, se lo apunta y te devuelve el turno)

-Puedes cortar una vez tu racha ascendente o descendente, es decir, que siendo ascendente puedes escribir un número inferior al anterior una sola vez en la partida, de igual forma, el descendente puede escribir un numero mayor al anterior una sola vez en la partida.

Ejemplo:

Jugador ascendente saca 1,4 -> Apunta 14

Jugador descendente saca 2,6 -> Apunta 62

Jugador ascendente saca 3,1 -> Apunta 31

Jugador descendente saca 5,3-> Apunta 53

Jugador ascendente saca 4,6 -> Apunta 46

Jugador descendente saca 3,4 -> Apunta 43

Jugador ascendente saca 1,5 -> Apunta 51

Jugador descendente saca 5,6 -> Pasa turno

Jugador ascendente acepta los dados -> Apunta 56

Jugador descendente saca 3,5 -> Pasa turno

...

La lista quedaría tal que así

El primero que llegue a 10 numeros apuntados gana.

Es un juego interesante para usar probabilidades condicionadas, esperanzas y otros cáluclos para decidir bajo qué condiciones te interesa apuntar, pasar o volver a tirar dados en función de lo que te salga.

Si no te apetece, este video te explica las cuentas y estrategias óptimas 

Autor: Raúl Barrero Pastor

(1201) - Problemas varios al derivar

• Si tenemos una fórmula explícita, podemos escribir utilizando cálculo simbólico una fórmula para la derivada. Para este caso no hace falta que la función original sea cerrada pues se puede dar como un sumatorio, como una serie, etc. Así se tiene una fórmula conocida para la derivada y se puede ver fácilmente cómo se compara dicha fórmula con la función original.



• Supongamos en cambio que no tenemos una fórmula cerrado, o no para la función original, pero que dado cualquier argumento que le demos (input) nos dice cuánto es la función evaluada en dicho punto (output). Aquí podemos usar el límite de la definición de derivada para poder aproximar numéricamente la derivada en cada punto. A su vez podemos calcular la derivada una vez más donde dado un argumento nos dice cuánto vale en dicho punto. Sin embargo, como tomar el límite muchas veces solo se puede hacer desde un punto de vista simbólico, y no desde un punto de vista numérico, a la hora del cómputo lo que se suele hacer es tomar la función de evaluada de manera inteligente en ciertos nodos tal que con diferencias divididas se puede aproximar la derivada con una de precisión arbitrariamente alta.



• Sin embargo, muchas veces se tiene que la función está tabulada, o sea, solo sabemos los outputs en terminados inputs, es decir, solo sabemos el valor de la ordenada para ciertas abscisas. Este es un caso muy diferente al anterior ya que si bien en el caso anterior aunque no tuviéramos una fórmula explícita y no pudiéramos sacar una fórmula ni para la función original ni para la derivada, sí que mediante la evaluación de la función y los puntos podíamos acercarnos al valor numérico de la derivada con la precisión quisiéramos. Aquí en cambio la función solo está tabulada para ciertos valores y uno se tiene que apañar con esos valores tabulados de tal forma que la derivada no se va a poder calcular con precisión arbitraria, pues la precisión de la derivada dependerá del número de cifras significativas que tenga y la longitud del intervalo.
  
  Algunos manuales de análisis numérico lo que sugieren para calcular la derivada en un punto es estimar la derivada en los puntos tabulados e interpolar entre dichos puntos al valor que se quiere. Otros sugieren que a través de los puntos de la tabla construir un polinomio interpolador, derivarlo y evaluar la derivada en dicho punto. El problema este último razonamiento es que el polinomio interpolador cuando se van añadiendo más puntos tiene el problema del fenómeno de Runge (donde hay muchas oscilaciones en torno a los extremos del intervalo). Aun así, incluso si se coge o incluso si los datos están tabulados en los nodos del Chebyshev (de tal forma que el fenómeno de Runge no ocurra y se minimice la norma infinito de error, que es la función menos el polinomio interpolador), el teorema de aproximación polinómica de Weierstrass nos asegura solo la convergencia de los polinomios a una función continua, no necesariamente derivable. De hecho, hay bastantes ejemplos de sucesiones de polinomios (todos ellos infinitamente derivables), cuyo límite es una función continua, pero no-derivable.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1193) - Oligonomios. Polinomios lacunarios o los polinomios de pocos términos

Los oligonomios o polinomios lacunarios son polinomios con muy pocos términos. Los polinomios se definen como suma de monomios, que muchas veces los monomios se definen a posteriori como cada uno de los términos o sumandos de los polinomios (dando una definición circular). Un polinomio de grado $d$ en $n$ variables tendrá a lo sumo $\displaystyle\binom{d+n}{n}=\binom{d+n}{d}$. Es decir, si denotamos al grado $d$, un polinomio en $1$ variable tendrá a lo sumo $d+1$ términos; un polinomio en $2$ tendrá a lo sumo $\displaystyle\frac{(d+2)(d+1)}{2}$ términos, ... Un bonito resultado que se deja al lector como ejercicio. Nótese que: $$ \binom{d+n}{n} = \binom{d+n}{d} \sim_\infty \frac{d^n}{n!} + \mathcal{O}(d^{n-1}) \qquad (d\to\infty) $$ O lo que es lo mismo $$ \binom{d+n}{n} = \binom{d+n}{d} \sim_\infty \frac{n^d}{d!} + \mathcal{O}(n^{d-1}) \qquad (n\to\infty) $$ Los oligonomios, al tener solo unos pocos términos, son mucho más fáciles de evaluar y operar. Por ejemplo, dado un polinomio cúbico mónico, $x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, si uno quiere saber sus raíces, primero hay que llevarlo a la forma de Cardano $z^3+pz+q$ donde ha desaparecido un término. Si casualmente o bien $p$, o bien $q$ son 0, hallar las raíces es mucho más fácil aún. O consideremos un polinomio cuadrático mónico, $x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$. Si es par, es decir, $a_3=a_1=0$, se convierte en un bicuadrático donde de los 5 posibles términos solo aparecen 3 y cuyas raíces se pueden obtener con la fórmula cuadrática en vez del horror que es la cuártica. Otro ejemplo son los polinomios quínticos mónicos, $x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, que se pueden llevar a la forma de Bring–Jerrard, $z^5+z+a$, donde de los 6 posibles términos solo hay 3, y de los 5 coeficientes arbitrarios, solo hay 1, lo que facilita el estudio de este tipo de polinomios. A veces los oligonomios aparecen en la suma o producto de polinomios "completos". Veamos algunos ejemplos: $$ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 $$ Donde de los 10 posibles términos solo aparecen 2. $$ (x - y)(x^{d-1}+x^{d-2}y+\cdots+xy^{d-2}+y^{d-1}) = (x-y) \sum_{k=0}^{d-1} x^k y^{d-1-k} = x^d - y^d $$ Veamos un oligonomio cuya factorización es producto de polinomios bastante largos $(x^2+x+1)(x^5-x^4+x^3-x+1)=x^7+x^5+1$:

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1187) - Derivada numérica. Cómo calcular la derivada con datos numéricos

Supongamos que tenemos dos variables aleatorias $X,Y$ y queremos medir cómo la variable aleatoria $Y$ varía con respecto a $X$. Tomamos $N$ puntos $\big\{(x_i,y_i)\big\}_{i=1}^N$ donde $\{x_i\}_{i=1}^N$ son muestras de la variable aleatoria $X$, así como $\{y_i\}_{i=1}^N$ de $Y$. En todo esto habría que tener en cuenta que al tomar muestras de cada variable aleatoria no solo hay una incertidumbre en la medida por las limitaciones del aparato con el que medimos, sino que también puede haber un error accidental o incluso sistemático al tomar cada medida. Sin embargo, no nos vamos a preocupar por esto ahora.

Supongamos que existe una funcion $f$ (que no necesariamente conocemos) tal que podamos escribir $Y=f(X)$, es decir, que $X,Y$ estén correlacionadas mediante $f$. La definición de derivada, se da como un límite, que se puede escribir de dos formas equivalentes: $$ f^{(1)}(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h} $$ Sin embargo, no podemos tomar ese límite de manera continua, entre otras cosas, porque no tenemos un conjunto continuo, sino simplemente un conjunto discreto de puntos. Supongamos que $f$ es suficientemente derivable en cada punto que queramos calcular su derivada. Tomando un desarrollo de Taylor en torno a $x$ y en serie de potencias de $h$ nos llega a las siguientes. $$ \frac{f(x+h_2)-f(x)}{h_2} = f^{(1)}(x) + \frac{h_2}{2}f^{(2)}(x) + \frac{{h_2}^2}{6}f^{(3)}(x) + \mathcal{O}\big({h_2}^3\big) $$ $$ \frac{f(x)-f(x-h_1)}{h_1} = f^{(1)}(x) - \frac{h_1}{2}f^{(2)}(x) + \frac{{h_1}^2}{6}f^{(3)}(x) + \mathcal{O}\big({h_1}^3\big) $$ Que son las definiciones de derivada progresiva y derivada regresiva respectivamente. Sin embargo, vemos rápidamente que en ambas fórmulas lo estamos o bien infraestimando o sobreestimando. Esto sin contar que si bien $h_1$ o $h_2$ no son lo suficientemente pequeños, o si bien las sucesivas derivadas son grandes, la aproximación es bastante mala. Consideremos esta mejora: $$ \frac{f(x+h_2)-f(x-h_1)}{h_2+h_1} = f^{(1)}(x) + \frac{h_2-h_1}{2}f^{(2)}(x) + \frac{{h_2}^2-h_2h_1+{h_1}^2}{6}f^{(3)}(x)+\cdots $$ Esto es bastante mejor, ya que como $h_1\approx h_2$, los sucesivos términos desaparacen prácticamente y se les da mucha menos importancia. Aunque no lo parezca mucho, así se ha disminuido mucho el error. De hecho, para el caso particular que $h_1=h_2:=h$, se tiene que es realmente bella. $$ \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} = f^{(1)}(x) + \frac{h^2}{6}f^{(3)}(x) + \mathcal{O}\big(h^4\big) $$ Esto se conoce como la derivada centrada, que como se puede observar tiene un error asociado mucho menos que los dos casos que inicialmente se contemplaron.

Así pues, todo se puede resumir en: $$ {y_i}^\prime \approx \begin{cases} \displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} & i=1 \\[9pt] \displaystyle \frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{x_{i+1}-x_{i-1}} & i=2,\cdots,N-1 \\[9pt] \displaystyle \frac{y_N-y_{N-1}}{x_N-x_{N-1}} & i=N \end{cases} $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1181) - La ratio plástica (número plástico). El hermano del número áureo

Todos bien conocemos el número áureo, $\varphi$ donde la definición que se suele dar es dados $a>b>0$ se define como la proporción: $$ \varphi = \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \implies \varphi = \frac{1+\sqrt{5\,}}{2} $$ La ratio plástica $\rho$ se define de una mana similar: dados $a>b>c>0$ se define como la razón $$ \rho = \frac{b+c}{a} = \frac{a}{b} = \frac{b}{c} $$ Esto nos llega a la ecuación de tercer grado $x^3-x-1=0$ es bastante similar a la de la razón áurea, $x^2-x-1=0$. Como es una ecuación cúbica en función de la formula de Cardano $$ \rho = \sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{23}{3}\,}}{2}\,}+\sqrt[3]{\frac{1-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{23}{3}\,}}{2}\,} = \frac{2}{\sqrt{3\,}}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{argcosh}\left(\frac{3\sqrt{3\,}}{2}\right)\right) = 1\text{'}3247179572447460259609088544781\cdots $$ De forma similar, hay relaciones similares con sendos polinimios: $$ \frac{x^2-x-1}{x-\varphi} = x+\frac{1}{\varphi}= x+(\varphi-1) \qquad \frac{x^3-x-1}{x-\rho} = x^2 + \rho x + \frac{1}{\rho} = x^2+\rho x + (\rho^2-1) $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1171) - La constante y secuencia de TRIBONACCI

El lector bien conoce la constante de Fibonacci, la raíz mayor que $1$ a la ecuación cuadrática $x^2=x+1$, que surge al estudiar el comportamiento asintótico de la sucesión recursiva definida como $F_0=0,F_1=1, F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$.

Consideremos ahora otro caso, otro tipo de sucesión, la dada por $T_0=0,T_1=0,T_2=1,T_{n+1}=T_n+T_{n-1}+T_{n-2}$. Mientras que en la de Fibonacci cada elemento se definía como la suma de los dos anteriores, aquí se define como la suma de los 3 anteriores. Esta secuencia es la A000073 en la OEIS. Otras secuencias también reciben el nombre de secuencia de Tribonacci según los iterantes iniciales, pero todas satisfaciendo la misma relación de recurrencia, y por ende el mismo comportamiento asintótico.

Aquí la constante de Tribonacci es la raíz mayor que $1$ a la ecuación cúbica $x^2=x^2+x+1$, que se puede reescribir como $x^4-2x^3+1=0$. Este constante es la misma independientemente de la definición de iterantes iniciales, ya que solo depende de la relación de recurrencia. En virtud de la fórmula de Cardano, este número acepta una fórmula cerrada para poder escribirse: $$ x = \frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33\,}\,}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33\,}\,}}{3} = \frac{1}{3}+\frac{4}{3}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{argcosh}\left(\frac{19}{8}\right)\right) \approx 1\text{'}8392867552141611325518525646533\cdots $$ Veamos algunos gráficos:

Sucesión en escala logarítimica. Nótese que tiene un comportamiento geométrico asintóticamente

Ratio de dos términos consecutivos de la sucesión de Tribonacci

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1163) - ¿Dados ideales pero no honestos?

¿Existen dos dados ideales (que cada cara sea equiprobable), con otros números en las caras con respecto al dado estándar, tales que al tirarlos conjuntamente den la misma probabilidad que al tirar dos dados ideales?

La respuesta simple y llanamente es sí. Incluso de casos no triviales como $\{0,1,2,3,4,5\}$ y $\{2,3,4,5,6,7\}$ o similares. La solución se conoce como dados de Sicherman, y la solución es única si se impone que no pueda tener ninguna cara un $0$. Dichos dados tienen por caras: $\{1,2,2,3,3,4\}$ y $\{1,3,4,5,6,8\}$.

Cómo llegar a la solución es realmente curioso al asignar a cada dado un polinomio $p(x)$ donde cada monomio tiene como grado la el número de la cara y su coeficiente es cuántas caras tienen ese número. Por ejemplo, el dado estándar es $x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6$, mientras que los de Sicherman son $x+2x^2+2x^3+x^4$ y $x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8$. En general para hallar los coeficientes de la solución no-trivial uno debe imponer que ningún dado tenga una cara con $0$, es decir $p(0)=0$, y que el dado tenga $6$ caras, es decir, $p(1)=6$.

Así pues buscamos dos polinomios $P(x),Q(x)$ tal que $P(x)Q(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^2=x^2(1+x)^2(1-x+x^2)^2(1+x+x^2)^2$. La condición de que $p(0)=0$ implica que $x|P(x)$ y $x|Q(x)$, mientras que las de $p(1)=6$ implica que $(1+x)(1+x+x^2)|P(x)$ y $(1+x)(1+x+x^2)|Q(x)$. Nos queda el factor $(1-x+x^2)^2$ por determinar. Si se "reparte por igual" entre ambos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$, se vuelve a tener el mismo polinomio, mientras que si ponemos $P(x)=x(1+x)(1+x+x^2)=x+2x^2+2x^3+x^4$ y $Q(x)=x(1+x)(1+x+x^2)(1-x+x^2)^2=x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8$.

Para más información y sobre el vídeo que inspiró en parte esta entrada, vea el lector el vídeo en este enlace


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1153) - Tirar dos dados: Distribución no uniforme a partir de uniformes

Consideremos un dado honesto o ideal, como con los que jugamos al monopoly, oca, parchís o trivial. Este dado tiene seis caras, convientemente numeradas del $1$ al $6$. Al ser ideal, y por la regla de Laplace, todos tienen la misma probabilidad de aparecer $\frac{1}{6}$.

Sin embargo, consideremos dos dados, ambos honestos, sumemos los resultados al lanzarlos. La tabla de posibles resultados es (siendo la primera fila y columna lo que sale en cada dado):
Nótese que se repiten varios resultado; algunos de varias veces y otros otros no tanto. ¿Qué es más probable sacar un 11 o un 12? Leibniz se equivocó y argumentó que ambos eran igual de probables ya que $6+6=12$ y $5+6=11$, ya que solo hay una posible suma que diese $11$. El problema de Leibniz fue considerar los dados como idénticos e indistinguibles. Sin embargo, con un dado rojo y otro azul, se ve fácilmente que hay dos opciones para obtener el $11$ o bien cinco rojo y seis azul, o bien cinco azul y seis rojo.Veamos la tabla de probabilidades

$$ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline + & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline \end{array} $$

De hecho el número $7$ es el más probable de obtener con una probabilidad de $\frac{6}{36} = 16\text{'}\bar{6}\%$, lo que significa que es tan probable como cualquier otro resultado de un dado ideal individual. Mientras tanto sacar los extremos de $1$ o bien $12$ tienen cada uno una probabilidad de $\frac{1}{36} = 2\text{'}\bar{7}\%$.

Comparemos sendas funciones de masa de probabilidad y sendas funciones de probabilidad acumuladas:

Función de masa de los dados: Dado individual en rojo, al lanzar dos en azul

Función de probabilidad acumulada de los dados: Dado individual en rojo, al lanzar dos en azul

Siempre me ha sorprendido cómo, el ejemplo del dado que se introduce desde 3º ESO como la antonomasia de caso uniforme, si se suman dos se tiene una distribución no uniforme.

Consideremos una última cosa. En vez de solo sumar, sumemos y quedémonos con el resto de dividir entre $6$, que en este caso es equivalente a restar $6$ si la suma es estrictamente mayor que $6$. Aquí volvemos a una distribución uniforme. $$ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline + (\mathrm{mod }6) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{array} $$ Este truco se puede utilizar para intentar "regularizar" la distribución de dos dados donde uno es no ideal.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

( 1151 ) - La belleza en las curvas de Bezier

 No, ese tipo de curvas no (Bézier era un tío), hoy vamos a hablar de cómo podemos construir curvas que pasen por 2 puntos de una forma que, si habéis usado alguna vez Photoshop, os va a resultar familiar.

Inicialmente, si tenemos 2 puntos y queremos unirlos por una curva, lo más sensato sería inventarnos con buen criterio un tercer punto en el medio y hallar la parábola usando el polinomio de Newton o algún otro método de cálculo numérico.

Pero vamos a plantearlo de otra forma.

Imagina 2 puntos, la curva más simple que pasa por ellos es una recta, que podemos parametrizar como $L_{0} = \lambda\cdot P_{0} + (1-\lambda)\cdot P_{1}$, o sea, que según $\lambda$ varía entre 0 y 1, el punto se "desliza" entre $P_{0}$ y $P_{1}$.

Consideremos ahora 3 puntos, pero en vez de hacer lo que ya sabemos, vamos a intentar usar esa idea del deslizador.

Cogemos $P_{0}$ y $P_{1}$, consideramos su deslizador $L_{0}$, y por otra parte cogemos $P_{1}$ y $P_{2}$ con su deslizador $L_{1}$.

Si hacemos variar el mismo $\lambda$ para ambos, los deslizadores van en algún sentido "sincronizados", como empiezan y acaban su recorrido con el mismo $\lambda$, parecen sincronizados, pues si usamos ahora el deslizador entre $L_{0}$ y $L_{1}$, o sea, 2 puntos que se mueven en los segmentos  $P_{0}P_{1}$ y $P_{1}P_{2}$, conseguimos un comportamiento más suave, una curva entre los 3 puntos que no necesariamente los interpola.

Esto podemos hacerlo con cualquier cantidad de puntos que queramos, y se llaman curvas de Bézier, que pueden ser lineales (deslizadores), cuadradas (la curva que acabamos de describir), cúbicas... etc.

Este video introduce más gráficamente la idea tras las curvas.

 Cuando usamos herramientas de dibujo como el pincel de Photoshop, estamos usando inconscientemente este tipo de curvas.

                    

Recomiendo enormemente también este video sobre las curvas de Bézier que ha sido mi inspiración para escribir sobre ellas, vale muchísimo la pena y Freya tiene varios videos más de formato largo y animaciones chulísimas que están genial.

Autor: Raúl Barrero 

(1129) - Integrando como Euler & Maclaurin - Regla del trapecio compuesta

Pongamos una bonita fórmula, la fórmula de Euler-Maclaurin: $$ \sum_{k=m}^n f(k) = \int^n_m f(x)\;\mathrm{d}x + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p $$ Que relaciona una suma con la integral correspondiente usando derivadas de órdenes superior y dando un resto de la aproximación $R_p$. Tomando el límite para $p\to\infty$ se llega a la fórmula asintótica: $$ \sum_{k=m}^n f(k) \sim_\infty \int^n_m f(x)\;\mathrm{d}x + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) $$ Que es muy útil para aproximar ciertas sumas por integrales en física estadística por ejemplo: $$ \sum_{n=0}^\infty e^{-\alpha^2n^2} \sim_\infty \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\pi}}{2\alpha} + \cdots $$ Donde solo nos da un resultado asintótico y no el exacto ya que las derivadas anulan más rápido que cualquier polinomio. Sin embargo, si se aplica la fórmula de Euler-Maclaurin para una función $\varphi(x)$ y se define para un $N$ y para $\displaystyle h=\frac{b-a}{N}$ la función $f(x)$ tal que $f(a+h\,x)=\varphi(x)$, se llega a una expresión que en vez de sumar la función evaluada en los enteros, se suma en puntos equiespacidos entre $a$ y $b$ a donde se llega a una expresión asintótica de la regla del trapecio compuesta: $$ \int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x = \underbrace{h\left(\frac{f(a)}{2} + \sum_{k=1}^{N-1} f(a+hk) + \frac{f(b)}{2}\right)}_\text{Regla del trapecio compuesta} - \underbrace{\frac{h^2}{12}\big(f^{(1)}(b)-f^{(1)}(a)\big)}_\text{Corrección a I orden} + \underbrace{\frac{h^4}{720}\big(f^{(3)}(b)-f^{(3)}(a)\big) - \frac{h^6}{30240}\big(f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)\big) + \cdots }_\text{Resto de la corrección} $$ Nótese que la suma de Riemann, lo que es estrictamente la regla del trapecio, converge a la integral según $N\to\infty$ para funciones ya que $h\to0$, aunque es posible que alguno de los términos, por cómo sea la $(2n-1)-$ésima derivada no aporte mucho al cómputo de la integral e introduzca un mayor error.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1123) - La tricolorabilidad y los movimientos Reidemeister

 La teoría de nudos es el area de las matemáticas que se dedica a estudiar, como dice el nombre, los nudos y sus propiedades. 

Por si nunca lo habías visto, existen nudos que, al hacer fuerza sobre ellos, se desatan por su propia estructura, o sea, que sin necesidad de mover los extremos por dentro de distintas partes del nudo podemos deshacerlo con facilidad, como este:

                

Imagina que vas a hacer rapel por un acantilado y te encuentras ya el equipo atado al arnés listo para bajar ¿podrías, sin deshacer el nudo, estar seguro de que no te vas a caer? o sea, lo que quieres ver es si con una serie de movimientos (que no involucren los extremos de la cuerda), puedes asegurarte de que ese nudo no se transforma en la cuerda simple, una recta, el unknot.

Para esto hay 2 resultados que me parecen muy curiosos

Movimientos de Reidemeister

Si tienes un nudo cualquiera (uno muy simple) y lo enredas, le das vuelta, lo giras... hasta que no quede reconocible el nudo original ¿cómo devolverías ese nudo más complejo al original? para eso existe un teorema que nos asegura que, con tan solo 3 movimientos, somos capaces de transformar cualquier nudo en otro isotópico a él, o sea, uno que mantiene todas sus propiedades que en esencia es "el mismo" que el original, pues podemos transformar cada uno en el otro sin cortar la cuerda ni tocar los extremos.

Los movimientos de Reidemeister son :

                

Por tanto, si aplicamos este tipo de movimientos, podríamos desenredar cualquier nudo a su forma más simple, que en nuestro caso, supone desatar la cuerda del arnés.

Ahora pasemos a la tricolorabilidad

Tricolorabilidad

Coge un nudo, pintalo en un papel, y separa las intersecciones con huecos, si puedes colorear el nudo con solo 3 colores, entonces tu nudo es tricolorable. 

Lo curioso de esta propiedad es que, como se mantiene a través de los movimientos Reidemeister, podemos saber de forma inmediata que algunos nudos no son isótopos, o sea, que podemos transformar uno en el otro sin necesidad de usar los extremos de la cuerda para deshacer nudos.

            

Estas 2 propiedades son muy utiles para separar nudos entre sí, y se han hecho "tablas periódicas" de nudos en las que se recogen nudos que son distintos entre sí, se clasifican por la cantidad de cruces que tienen sus proyecciones en el plano (su sombra sobre el papel).

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Autor: Raúl Barrero

(1117) - Recomendaciones Xmas

 El artículo de hoy no va sobre un tema en particular esto son recomendaciones de videos y canales de youtube sobre matemáticas para ver estas navidades.

1. 3Blue1Brown

Clásico, entras por las miniaturas, te quedas por la calidad.

2. Flammable Maths

Un tío gracioso, buenas reviews de memes y para quien le gusten, buenas integrales y problemas de teoría de números.

3. Michael Penn

Buen contenido de álgebra y los temas de teoría de cálculo, pruebas chulas y problemas de teoría de números.

4. Mates Mike

El 3Blue1Brown español, muy buena calidad y videos de temas muy chulos

5. Mathemaniac

Temas muy variados, videos de Análisis, Álgebra, probabilidad...

6. MathMajor

Canal secundario de Michael Penn, más dedicado a álgebra abstracta y algebras de Lee.

7. Dr Peyam

De todo un poco, análisis, funciones curiosas...

8. Morphocular

9. Numberphile

Alta calidad, videos de todo tipo hechos por expertos de cada campo.

10. Stand Up Maths

Matemática aplicada a problemas reales y curiosidades matemáticas

11. Very Normal

Canal de estadística

12. Primer

Videos muy entretenidos sobre simulaciones, probabilidad y poblaciones.

13. The mathematics of vice

Investiga las probabilidades y estrategias óptimas dentro de los juegos de azar

Menciones honoríficas:

Física

Minute Physics

Physics for the birds

Química

Nile Red

Luis Horas

Autor: Raúl Barrero Pastor

(1109) Un empate accidentado

    DerUVada llegó a la tercera jornada de la Liga Matemática como colíder y con puntuación perfecta. En el otro lado del campo, esperaba la Epsiloneta, el equipo representante de la Universidad de las Islas Baleares, que contaba en su casillero con una victoria y una derrota. 

    Los problemas empezaron antes incluso del partido. El Congreso al Futuro hizo que la UVa tuviese que hacer malabares con las bajas para poder formar un equipo completo, pero al final lo consiguió con Esteban, ambos Sergios, Guille, Jaime y Juan. 

    Los tres problemas a resolver fueron los siguientes:

    Problema 1:

    Se lanzan 2024 bolas. Se sabe que al ser lanzada, la i-ésima bola alcanza una distancia de $\sqrt[i+1]{2}$ para i = 1,...,2024. Supongamos que todas las bolas se encuentran inicialmente en un punto del plano. En cada ronda, se lanzan todas y cada una de las bolas exactamente una vez. Determina si es posible que, después de un número finito de movimientos, todas las bolas se encuentren en otro mismo punto nuevamente.

    Problema 2:

    Sean a y b números no necesariamente distintos escogidos al azar uniformemente del conjunto {1, 2, 3, . . . , 2024}. Si se sabe que la probabilidad de que 2024 divida a a+b es igual a p/q con p, q enteros positivos coprimos. ¿Cuánto es el valor de p+q?

    Problema 3:

    Un grafo tiene 15 vértices. Hay como máximo una arista entre cada par de vértices y ninguna arista conecta un vértice consigo mismo. Cada arista está coloreada de rojo o azul, de modo que no hay triángulos monocromáticos. Halla el mayor número posible de aristas de este grafo.

    Ambas universidades entraron de forma contundente al partido, resolviendo el segundo problema sin demasiadas complicaciones. Sin embargo, el caos se desató cuándo ambas universidades recibieron un "incorrecto" a su solución del problema 1. 

    Resultó que la respuesta oficial era "No",  pero ambos equipos habían alcanzado un caso, bastante sencillo, en el que sí. Esto causó una lluvia de protestas sobre la colegiada que llevó a que los estudiantes no pusiesen toda la atención necesaria en el tercer problema.

    Cuándo ambos equipos se quisieron dar cuenta, se había terminado el tiempo. El resultado final fue un empate a uno que mantiene a la UVa en la zona de play-off. 

Autor: Alejandro Marchena García

(1103) - Resolver ecuaciones cúbicas

Considérese el siguiente polinomio cúbico (donde se toma como mónico para simplificar la notación y ya que solo nos importan las raíces, es irrelevante multiplicar todo el polinomio por una constante): $$ P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $$ Hallar las raíces de $P(x)$ implica hallar qué valores de $x$ satisfacen que $P(x)=0$. Esto no es del todo trivial, en especial si no se conoce la fórmula cúbica. Hagamos una transformación de von Tchirnhaus, es decir, consideremos el cambio de variable $x=t+\alpha$ para algún $\alpha$ que seleccionaremos más adelante: $$ P(t+\alpha) = (t+\alpha)^3 + a(t+\alpha)^2 + b(t+\alpha) + c \\ = t^3 + (3\alpha + a)t^2 + (3\alpha^2+2a\alpha+b)t + (\alpha^3+a\alpha^2+b\alpha+c) \\ = \frac{1}{6}P^{(3)}\!(\alpha)\,t^3 + \frac{1}{2}P^{(2)}\!(\alpha)\,t^2 + P^{(1)}\!(\alpha)\,t + P(\alpha) $$ Poder anular alguno de los coeficientes cuando el nuevo polinomio está expresado en la variable $t$ puede resultar muy útil a la hora de hallar las raíces.

• Si consiguiéramos que $\alpha^3+a\alpha^2+b\alpha+c=0$ tendríamos una ecuación cúnica sin término independiente, cuya factorización es inmediata al ser el producto de $t$ por una cuadrática. Sin embargo, esto implicaría que ya sabemos alguna raíz de la ecuación, que es algo que desconocemos.
• Si consiguiéramos que $3\alpha^2+2a\alpha+b=0$ tendríamos una ecuación cúbica sin término lineal. Sin embargo, los nuevos coeficientes estarían escritos en función de raíces, lo que dificultaría la resolución y simplificación.
• Si consiguiéramos que $3\alpha+a=0$ tendríamos una ecuación cúbica sin término cuadrático (cúbica deprimida). Esto se consigue imponiendo que $\displaystyle \alpha=-\frac{a}{3}$.

Consideremos esta última opción, tal que ahora el polinomio queda como: $$ t^3 + \left(-\frac{a^2}{3}+b\right)\,t+\left(\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c\right)=0 \implies t^3+p\,t+q=0 $$ Supongamos el Ansatz que la raíz se puede escribir como la suma de dos términos: $t=u+v$, por lo que: $$ t^3 = (u+v)^3 = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 = 3uv(u+v) + (u^3+v^3) $$ Por lo que $p=-3uv$ y $q=-(u^3+v^3)$ donde $u,v$ son incógnitas, pero $p,q$ son parámetros conocidos. Despejemos, por ejemplo $\displaystyle u=-\frac{p}{3v}$, y sustituyámoslo en la segunda ecuación: $$ q=-\left(\left(-\frac{p}{3v}\right)^3+v^3\right) \implies q=\frac{p^3}{27v^3}-v^3 \implies (v^3)^2 + q v^3 -\frac{p^3}{27} = 0 $$ Esta es una ecuación tricuadrática, es decir, es una ecuación cuadrática en la variable $z=v^3$, cuyas soluciones vienen dadas por: $$ v = \sqrt[3]{\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}\;}}{2}\;} = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\;}\;} $$ Ahora, ¿qué tomamos el signo?, ¿el más o el menos? Realmente da igual: si uno representa a $v$ el otro a $u$, por lo que: $$ t^3+pt+q=0 \implies t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\;}\;} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\;}\;}$$ Nótese que la raíz cúbica se refiere a cualquiera de las tres soluciones complejas correspondientes. Así pues hemos obtenido la solución general de un polinomio cúbico.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1097) - Resolver ecuaciones cuadráticas desde otro punto de vista

Este artículo simplemente es para introducir la metodología que se usará para hallar las raíces de un polinomio de grado 3.

Considérese el siguiente polinomio cuadrático: $$ P(x) = ax^2 + bx + c $$ Hallar las raíces de $P(x)$ implica hallar qué valores de $x$ satisfacen que $P(x)=0$. Esto no es del todo trivial, en especial si no se conoce la fórmula cuadrática. Hagamos una transformación de von Tchirnhaus, es decir, consideremos el cambio de variable $x=t+\alpha$ para algún $\alpha$ que seleccionaremos más adelante: $$ P(t+\alpha) = a(t+\alpha)^2 + b(t+\alpha) + c = at^2 + (2a\alpha+b)t + (a\alpha^2+b\alpha+c) = \frac{1}{2}P^{(2)}\!(\alpha)\,t^2 + P^{(1)}\!(\alpha)\,t + P(\alpha) $$ Poder anular alguno de los coeficientes cuando el nuevo polinomio está expresado en la variable $t$ puede resultar muy útil a la hora de hallar las raíces.

• Si consiguiéramos que $a\alpha^2+b\alpha+c=0$ tendríamos una ecuación cuadrática sin término independiente, cuya factorización es inmediata al ser el producto de $t$ por $at + (2a\alpha +b)$. Sin embargo, esto implicaría que ya sabemos alguna raíz de la ecuación, que es algo que desconocemos.
• Si consiguiéramos que $2a\alpha+b=0$ tendríamos una ecuación bilineal. Esto se consigue imponiendo que $\displaystyle \alpha=-\frac{b}{2a}$.

Consideremos esta última opción, tal que ahora el polinomio queda como: $$ at^2 + \left(-\frac{b^2}{4a}+c\right)=0 \implies at^2 = \frac{b^2}{4a}-c \implies t^2 = \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \implies t = \pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\;} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\;}}{2a} $$ Ahora como tenemos la solución en la variable $t$, podemos deshacer el cambio de variable para obtenerlo en la variable $\displaystyle x=t-\frac{b}{2a}$, por lo que: $$ t = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\;}}{2a} \iff x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\;}}{2a}$$ Para hallar esta solución uno normalmente hace manipulaciones algebraicas ya sabiendo la solución de antemano y viendo qué manipulaciones tiene que hacer para llegar a ella, o bien completar el cuadrado. Sin embargo, sobre todo la última opción, es muy difícil de hacer para grados superiores.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1093) - Tau manifesto

    Toda persona que supere en cultura a un niño de 12 años sabe que existe una constante llamada $\pi$ relacionada con los círculos, pero menos gente ha oido hablar de su hermano mayor, más caristmático,  e inteligente, tau ($\tau$).

Tau es la gran olvidada en las fórmulas matemáticas, ya que Euler popularizó a $\pi$ como constante del círculo (aunque ya se hubiera propuesto antes por William Jones y William Oughtred, wiki), al hacer esto nos perdimos por siempre una posibilidad muy didáctica que sufrieron y sufrirán todos los que aprendan por primera vez trigonometría.

Expongo aquí varias razones por las que $\tau$ podría ser mejor opción como constante del círculo:

1. Radianes

Una vez te acostumbras a hacer malabares mentales para dividir $\pi$ en las fracciones que quieres y asocias 90º $\to$ $\frac{\pi}{2}$,  30º $\to$ $\frac{\pi}{6}$... no tienes problema en visualizar angulos, pero imagina por un segundo que la primera vez que te introdujeron los angulos medidos en radianes, en vez de ver esta sopa de fracciones y denominadores distuntos:

te hubieran enseñado este dibujo:

Como $\tau = 2\pi$ si queremos expresar una fracción del ángulo completo, por ejemplo $\frac{2}{5}$ de la vuelta completa, resulta que ese ángulo es directamente $\frac{2}{5}\pi$.

Usando tau los ángulos más extraños también quedan mejor, ya que, por ejemplo, si quiro pasar 133º a raidanes bastaría con dividir $\frac{133}{360}$ y multipliacarlo por $\tau$, dejando la fracción indicada tal cual,$\frac{133}{360}\tau$ radianes, sin necesidad de añadir un 2 para compensar el uso de $\pi$. 

2. Estética

Como vereis a continuación, este apartado es puramente objetivo, porque hay fórmulas que quedan más bonitas cuando usamos $\tau$ antes que $\pi$.

•Identidad de Euler

$e^{i\tau} = 1$             frente a             $e^{i\pi} + 1 = 0$

•Distribución de Gauss

$\frac{1}{\sqrt{\tau\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$             frente a             $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

•Resolver funciones trigonométricas inversas:

$sen(x) = \frac{1}{2}$   $x = arcsen(\frac{1}{2}) = ...$

$x  = \frac{\pi}{4} + 2\pi k ,   k \in Z $             frente a             $x = \frac{\tau}{8} + \tau k,    k \in Z $

•Circunferencia del círculo

$C = 2\pi r$             frente a             $C = \tau r$

3. Trigonometría

Otra de las muchas razones para usar Tau es la facilidad a la hora de dibujar gráficas con senos, cosenos... imagina no tener que hacer memoria para escribir cuales son las lineas de puntitos en estos dibujos:

Es digno de póster, divides $\tau$ en cuartos y duermes con la tranquilidad de que expresar ángulos no va a ser la causa de tu 3º matrícula de Análisis.

4. Area ?

Quizás en el punto 2 cuando he puesto convenientemente la fórmula de la circunferencia hayas pensado "si bueno, pero la del círculo queda con fracciones y la de pi no", en ese caso te dejo para comparar  otras fórmulas que, por la misma razón, serían formulas menos elegantes:

$A =\frac{1}{2}\tau r^2$

•Energía cinética

$E = \frac{1}{2}mv^2$

•Energía del muelle

$E = \frac{1}{2}kx^2$

•Energía del oscilador armónico

$E = \frac{1}{2}kA^2$

•Altura máxima del lanzamiento de un proyectil

$h = \frac{1}{2}\frac{v_0^2\sin^2\theta}{g}$

Así que el area no está tan mal con $\tau$

Hay casos en los que $\pi$ es muy cómodo también, y desde luego tiene su lugar en todo tipo de fórnulas, pero seguramente las matemáticas serían más pedagógicas e intuituvas si a veces en vez de pensar en tau como el doble de pi, pensáramos en pi como la mitad de tau.

Referencias

Tau manifesto

Wiki pi

Wiki tau

Autor: Raúl Barrero Pastor

(1087) - Fractales caseros

Después del post del triángulo de Sierpinski, me estuve preguntando cómo se calculaban  computacionalmente otro tipo de fractales como el famoso de Mandelbrot, y resulta ser bastante simple:

Fractal de Mandelbrot

Toma un punto en el plano complejo, \(z = a + bi\), y mételo en la fórmula \(f_c =  z² + c \),coges lo que te de la fórmula y lo vuelves a meter en ella, lo vuelves a meter... así indefinidamente. 

Ahora bien si el punto que te va dando la función converge a un valor del plano cualquiera, lo pintas de negro, y si no converge (si diverge a infinito) le das un color distinto, de esta forma las cuentas imitan este patrón:

 

Para este fractal la fórmula es  \(f_c =  z² + c \) , pero ¿ qué pasa si variamos la fórmula?

Hoy vamos a buscar fractales con las fórmulas más comunes:

Mandelbrot cuadrado 

\[f_c = z² + c \]

Barco quemándose

\[f_c = (  |Re(z)| + i . |Im(z)|  )² + c\]

Tricornio (fractal de Mandelbar)

Mandelbrot Cúbico

\[f_c =  z³ + c\]

Mandelbrot Perlin

\[f_c =  z⁴ + c\]

Fractal de Newton

\[f_c = z - p(z)/p'(z)\]

con p(z) = z³ − 1

Fractal Phoenix

\[z_{n+1} = z_{n}² + k . z_{n-1} + c\]

Buscando fotos y simuladores para el artículo he descubierto un motor de fractales muy chulo (si teneis Linux) os recomiendo XaoS, os permite hacer zoom todo lo que queráis dentro del fractal y tiene muchos famosos. 

Autor: Raúl Barrero

(1069) - El triángulo fractal de Sierpiński

 Quizás en algún momento de tu vida te as encontrado por internet este dibujo:

Por si no te suena, es el triángulo de Sierpiński, y a parte de en tu feed de Instagram aparece de manera insospechada en varios rincones de las matemáticas bastante curiosos.

Hoy vamos a ver un par de formas de construirlo desde la manera más normalita a la más insospechada.

Primero de todo vamos a dibujarlo directamente, a mano (si tienes un papel a mano te recomiendo probar a dibujarlo tú mismo).

En primer lugar, dibuja un triángulo equilátero, localiza los puntos medios de sus lados y únelos. Eso es una iteración, después hacemos lo mismo con cada uno de los 3 trianguiltos que han aparecido en la figura, luego seguimos y lo hacemos a los 9 ... en algún momento dejaremos de dibujar (aunque sea por aburrimiento), pero si tuvieramos paciencia infinita o los comandos prohibidos de Belarmino para C llegaríamos a que la figura iguala en el infinito al fractal, el triángulo de Sierpiński. 

Construcción Directa

Empezamos con un triángulo, marcamos los puntos medios de cada lado y los unimos, en la siguiente iteración hacemos lo mismo con 3 triangulitos de los 4 triangulitos que han aparecido, iterando este proceso se revela el patrón siguiente: 

Esta es la forma más normalita de encontrarse el fractal, pero también hay otra forma de construirlo directamente, que es haciendo copias de sí mismo:

Construcción por duplicado

Hasta aquí si ya conocías la forma o el fractal te puede haber resultado curioso o te puede haber dado un poco igual, pero ahora vienen las sorpresas, pues este triángulo al parecer sale hasta de entre las pierdras.

Método probabilístico

Dibuja un triángulo y coloca un punto en él, donde quieras (dentro, fuera, en un borde...), ahora selecciona al azar un número entre 1 y 3, fíjate en el vértice correspondiente y une tu punto con él.  Ahora pinta el punto medio entre tu punto y el vértice, has completado la primera iteración. Ahora toca realizar lo mismo con el punto que acabas de dibujar y seguir indefinidamente.

Esto son las primeras iteraciones lentas para ilustrar el proceso:

Ahora bien, de esta sopa de puntos no debería emerger ningún patrón, recuerdo que cogemos los vértices al azar, pero no, resulta que si ponemos más puntos...

¡Aparece el mismísimo triángulo de Sierpiński! Esta manera de obtener el triángulo descoloca un poco la primera vez que la ves, porque del puro azar sale un patrón tan ordenado que parece hasta mentira.

Ahora bien, vamos a rizar el rizo ¿si llenamos siguiendo estas pautas otro polígono nos aparecerá algún fractal similar? Vamos a verlo.

Cuadrado:

No tiene pinta

Pentágono:

Podría servir

(Para esta última animación he calculado 30k frames, y los bordes no están muy perfilados, supongo que el patrón sigue pero es un poquito acto de fé)

Hexágono:

De nuevo volvemos a no tener suerte, pero la imágen final me despierta la duda de si las uniones de los vértices con el centro no pueden ser alcanzadas por los puntos y las vemos medio-sombreadas por puntos cercanos o es simplemente una cuestión probabilística.

Heptágono:

En este último caso vemos que el centro queda bastante despoblado, pero dudo mucho que eventualmente se perfile un heptñagono o un círculo en el centro, seguramente este hueco sí sea una cuestión probabilística.

El triángulo de Sierpiński aparece en mil sitios, desde el número de lados que tienen los polígonos regulares que puedes construir con compás pasando por el binario hasta la paridad de los números en el triángulo de Pascal.

Como curiosidad, el triángulo tiene dimensión \(log_2(3))\, desde luego en otro sentido de dimensión que el "numero de elementos de una base del espacio".

Para estas y más formas de redescubrir el triángulo de Sierpiński, os dejo estos videos que están bastante chulos.

Un canal muy recomendado sobre pruebas visuales

Autor: Raúl Barrero  

(1063)- La constante de Feigenbaum

Si en algún momento de vuestra vida os ha dado por mirar la entrada de wikipedia sobre constantes matemáticas (que me jugaría un brazo a que no) os habréis dado cuenta de una que resalta a la vista que, en la posición 89 claramente viene la constante de Feigenbaum, que resulta tener una relación muy curiosa con un modelo similar al de Lotka-Volterra, el mapa logístico.

Las ecuaciones de Lotka-Volterra son ecuaciones diferenciales, que tienen en cuenta variaciones infinitesimales en las variables, pero antes de llegar a ellas surgieron modelos discretos, esto es, que se iteraban paso a paso en vez de considerar la evolución como un contínuo.

En este contexto surge el mapa logístico, una herramienta para modelar poblaciones y estudiar el comportamiento constante, cíclico o caótico de sistemas dinámicos.

La ecuación tiene la siguiente pinta:

\[x_{n+1} = \lambda   x_n (1 - x_n)\]

Esto significaría que, la cantidad de conejos en la siguiente iteración $x_{n+1}$ variará de acuerdo con el parámetro $\lambda$ y la cantidad de conejos al momento de iteración $x_n$.

Gráficas

Veamos cómo se comportan estas gráficas si variamos $\lambda$.

En primer lugar, si $\lambda \in (0,1)$ la sucesión es convergente a 0: 

Después cuando $\lambda \in (1,3)$ vemos que la poblacion se establece en torno a un valor fijo $\frac{\lambda-1}{\lambda}$, sabemos esto gracias a la iteración de punto fijo.

 

Luego cuando $\lambda \in (3,3.57)$ las cosas empiezan a complicarse, observamos bifurcaciones de periodo doblante, o sea, que aparecen figuras de este estilo que se dividen en 2 sucesivamente:

 

Por último si estamos entre los 3.57 y 4 empieza el comportamiento caótico, una nube de puntos sin correlacion aparece en la gráfica.

Por último, veamos cómo varían los puntos respecto al $\lambda$ con un video:

Ahora bien, ¿qué tiene que ver Feigenbaum con esto?

La constante de Feigenbaum, \( \delta \approx 4.6692 \), es la razón que describe cómo cambian las distancias entre los valores de \( \lambda \) en los que ocurren las bifurcaciones por duplicación de período. 

En otras palabras, la diferencia entre el valor de \( \lambda \) donde se bifurca de un ciclo de período 1 a un ciclo de período 2, y el valor donde se bifurca de un ciclo de período 2 a un ciclo de período 4, está gobernada por esta constante. A medida que el sistema se aproxima al caos, estas distancias se reducen, y la razón entre las diferencias consecutivas tiende a \( \delta \).

La constante de Feigenbaum se obtiene del cociente:

\[\delta = \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n-1} - x_{n-2}}{x_n - x_{n-1}}\]

Esto significa que, aunque el caos aparece entre los valores de \( \lambda \) aproximadamente entre 3.57 y 4, esta relación nos indica dónde aparecerán las bifurcaciones, lo me parece bastante chulo.

Otros recursos:

(pdf) - The period doubling route in the logistic family.

Programas que he usado para obtener las gráficas y el video

Autor: Raúl Barrero