( 139 ) Formas de multiplicación 2

Después de unas cuantas entradas volvemos con las formas de multiplicar.

Esta vez os presentamos la multiplicación hindú y la fulmínea.

Los matemáticos hindúes hacían las operaciones de sumar y multiplicar prácticamente del mismo modo que las hacemos nosotros hoy. Para multiplicar se servían de un cuadrilátero dividido por casillas, en las cuales se asignaban los productos parciales.

Multipliquemos, por ejemplo, 6827 x 345 mediante este sistema: escribimos el primer factor, 6827, de izquierda a derecha, en la parte superior del cuadrilátero, y el factor 345 en un lado de arriba abajo.

Escribimos en cada casilla el producto de los factores que se hallan en la fila y la columna correspondiente. Colocaremos ese producto parcial de modo que la cifra de las unidades esté separada de la cifra de las decenas.

Así, cuando multipliquemos 7x3, colocaremos la cifra 1 en la parte inferior de la diagonal de la casilla y la cifra 2 en la parte superior.

Aplicando esta regla, rellenamos el siguiente cuadrilátero:

Acto seguido, sumamos las cifras comprendidas dentro de la misma diagonal empezando por arriba a la derecha. Después añadimos las decenas a la siguiente diagonal de la izquierda. Y ya tenemos el resultado de nuestra multiplicación, pues basta leer el número que queda bajo las diagonales.

Esta multiplicación también se denomina ‘multiplicación de celosía’. Aunque no ha podido demostrarse con certeza, lo más probable es que sea originaria de la India (pues sí sabemos que este sistema se utilizaba en el siglo XII en aquel país), y desde allí llegase a China y Arabia. Los árabes, como buenos divulgadores científicos, lo introdujeron en Italia, y fue allí donde recibió el nombre de ‘celosía’, por un sencillo motivo: el diagrama de la multiplicación se parecía a las celosías o rejillas que adornaban y protegían las ventanas de la ciudad de Venecia. También se conoce como ‘multiplicación árabe’ en recuerdo de los responsables de su importación a Occidente.

Es fácil imaginar como terminó derivando esta multiplicación en la que usamos nosotros actualmente.

Os dejamos un enlace que quizás os resulte más ilustrativo.

Como mera curiosidad os dejamos otro vídeo de una forma que en esencia es igual que la hindú, por lo que parece lógico que se puedan confundir estas dos, como sucede.

La siguiente forma es realmente curiosa y esta se encontró en escritos de, entre otros, Cauchy y Fourier.

Multipliquemos 5817 x 423.

Escribimos el multiplicando y debajo, al revés, el multiplicador, haciendo coincidir la última cifra del multiplicador (4) con la primera del multiplicando (5).

Multiplicamos las dos cifras que están en la misma vertical y colocamos el resultado al otro lado.

Desplazamos el multiplicador un lugar hacia la derecha de modo que coincidan dos cifras del primero (58) con dos del segundo dado la vuelta (24). Multiplicamos las cifras que se encuentren en la misma vertical (que serán 2*5 y 8*4) y sumaremos estos productos  (10 + 32 = 42)  colocando el resultado un espacio más a la derecha que el anterior sumando.

Volvemos a desplazar un lugar el multiplicador, y calculamos los productos de las cifras de este que coinciden en vertical con las del multiplicando (en la tercera fila  5*3, 8*2 y 1*4). Sumamos los productos y colocamos el resultado al otro lado desplazado un espacio hacia la derecha (es decir, 15 +16 + 4 y el resultado es 35).

Reiteramos este procedimiento hasta que coincidan las últimas cifras (en nuestro caso el 3 con el 7, con lo que la única multiplicación es 3*7, y el número que queda a la derecha en la última fila es 21). Para saber el producto total de la multiplicación se tiene que sumar todos los resultados escalonados que se ha ido anotando a la derecha.

 

A pesar de todos estos métodos, y de su eficacia, personalmente sigo prefiriendo el tradicional, tanto por costumbre, como por sencillez.

Por último, y para completar la entrada de "Formas de multiplicación 1" , en la que os dejamos como se multiplicaba 9 por una cifra con los dedos, en esta os mostramos como se puede calcular la multiplicación de 9 por dos cifras con los dedos (de la mano).

Por ejemplo 28 x 9. Contamos desde la mano izquierda hacia la derecha, dejamos un espacio después del segundo dedo (pues la cifra de las decenas es 2) y doblamos el octavo dedo (la cifra de las unidades es 8). Ahora bien, para calcular el resultado haremos lo siguiente:

Las centenas se obtienen contando los primeros dedos (los de la izquierda de la separación).

Las decenas sumando los dedos que hay entre la separación y el dedo doblado (contamos siempre hacia la derecha).

Y las unidades contando los dedos que hay después del dedo doblado.

Y ya está, ¡252!

En este método sólo hay una condición para que funcione siempre ¿Cuál es?

Información extraída del libro "Juega y sorpréndete con las matemáticas".

( 137 ) Reflexiones (ajenas) sobre las matemáticas.

     En la red se pueden encontrar varias páginas con frases brillantes sobre matemáticas. Frases más o menos conocidas, pero normalmente ingeniosas, que nos permiten hacer reflexionar en un momento sobre alguna de las facetas de las matemáticas (su importancia, su belleza, etc...), frases rotundas que pueden lanzarse como proyectiles para que su explosión inicie una conversación o para que la termine.. 

     Para el que le guste tener en su memoria alguna de estas frases, vamos a recomendar una de estas páginas, la que tiene la Real Sociedad Matemática Española en su página de divulgación Divulgamat y que podéis visitar haciendo clic aquí. Pero en este mundo donde el twitter gana peso poco a poco y se organizan debates en televisón en los que cada participante tiene un tiempo máximo (y no muy amplio) para hablar, está bien alguna vez (por aquello de llevar la contraria) recalcar que a veces una frase, o tres o cuatro, no son suficientes para transmitir una idea y que está bien leer explicaciones, matices, aclaraciones y ejemplos aunque nos lleve un poco más de tiempo o nos suponga algo más de esfuerzo. 

     Vamos a recoger aquí cuatro reflexiones sobre las matemáticas, permitiéndolas algo más que tres líneas a cada una, para que los autores puedan expresarse con algo más de tranquilidad. Empezamos por la más corta, que proviene de un libro que fue comentado en otra entrada de este blog (sobre la eficacia de las matemáticas) y que viene con título

"SIMPLICIDAD DE LA MATEMÁTICA.

Existe una opinión muy generalizada según la cual la matemática es la ciencia más difícil cuando en realidad es la más simple de todas. La causa de esta paradoja reside en el hecho de que, precisamente por su simplicidad, los razonamientos matemáticos equivocados quedan a la vista. En una compleja cuestión de política o arte, hay tantos factores en juego y tantos desconocidos o inaparentes, que es muy difícil distinguir lo verdadero de lo falso. El resultado es que cualquier tonto se cree en condiciones de discutir sobre política y arte —y en verdad lo hace— mientras que mira la matemática desde una respetuosa distancia."

Del libro "Uno y el universo"

de Ernesto Sabato

      Muchos matemáticos creemos que las matemáticas no sólo son sencillas, sino que además son bonitas. En algunos casos llegan incluso a resultar absorbentes. Y de eso habla nuestra segunda reflexión.

"¿Por qué la dedicación a la matemática puede ser apasionante hasta el punto de absorber la vida de una persona tan drásticamente como aparece en esta novela y como se da con cierta frecuencia en la realidad?.

A mi parecer, y como corresponde a la naturaleza obscura de las motivaciones personales, las posibles respuestas son muy variadas y complejas, aunque hay probablemente muchos elementos comunes a todas ellas. Uno de los mejores matemáticos del pasado reciente, G.H. Hardy (1877-1946), escribió en 1940 su Apología de un matemático, un ensayo muy interesante (edición española reciente en Nivola, 1999) en el que expresa de modo franco y atrayente su concepción de la dedicación a la matemática. Muchas de las ideas que él propone, aunque no todas, son compartidas probablemente por la mayoría de los matemáticos. La matemática es bella en sí misma, un monumento mucho más perenne que el bronce e incluso, como la mejor música, mucho más universal que las producciones literarias, aunque su belleza, "tan sólo asequible a los ojos del alma", en frase de Platón, no se alcanza sin cierto esfuerzo que nos la haga connatural y familiar. La matemática es una aventura del espíritu que ha producido objetos mentales que no pierden con los siglos nada de su esplendor y grandeza, como el cálculo infinitesimal, un pozo al que nos asomamos con asombro creciente a medida que maduramos y que, como dijo G. Polya, otro gran analista matemático del siglo 20, "nunca se llega a entender del todo; todo lo más nos acostumbramos a él". La matemática es, como lo proclamaron ya los pitagóricos de hace más de 25 siglos, la herramienta adecuada para acercarnos más y más a "las raíces y fuentes de la naturaleza eterna". La contemplación de la transparencia de las verdades matemáticas y de su adecuación a las realidades de nuestro mundo, la observación de la eficacia de sus métodos para resolver multitud de problemas, teóricos y prácticos, relacionados con este universo lleno de maravillas y de misterios que nos rodea, la sensación de anticipación que el matemático tiene cuando mediante las herramientas de su campo hace surgir cohesión y unidad allí donde antes sólo veía caos y desorden proporciona un placer incomparable por el que vale la pena hacer el mayor de los esfuerzos."

Del artículo  "La matemática entra en la novela"

artículo publicado en la revista "Saber/Leer",137, Agosto-Septiembre 2000

de Miguel de Guzman

(referido a la novela El tío Petros y la conjetura de Goldbach, de Apostolos Doxiadis)

     La tercera tiene que ver con los parecidos y diferencias entre matemáticas y otras ciencias:

"La matemática impregna toda la ciencia desde la física a la economía, pero no necesita ningún logro científico para justificarse. Es una construcción mental universal que se basta a sí misma. Dios pudo inventar la física, pero no tuvo más remedio que aceptar la matemática. La matemática que no ayuda a leer el gran libro de la naturaleza no deja de ser matemática por ello. Existe ciencia sin matemática y matemática sin ciencia, pero no son felices la una sin la otra. El idilio entre la física y la matemática es antiguo y fecundo. Muchos físicos ven la física como matemáticas en colores y muchos matemáticos, como tantos fotógrafos, prefieren la verdad en el crudo blanco y negro. Pero lo cierto es que a lo largo de la historia ora se adelanta la física (creando la necesidad de nueva matemática) ora lo hace la matemática (que la física se encuentre como un regalo caída del cielo). Newton se inventa el cálculo infinitesimal (con permiso de Arquímedes y de Leibniz) y escribe con él las ecuaciones de las leyes de la mecánica, pero Einstein se tropieza con un instrumento matemático imprescindible para formular en 1915 su relatividad general: el tensor de Ricci, que el profesor italiano había propuesto en 1903.

Una definición un poco circular de ciencia (aunque nada frívola) consiste en decir que ciencia es lo que los científicos dicen que es ciencia. En este punto existe una coincidencia con la matemática porque también se puede decir que matemática es lo que los matemáticos dicen que es matemática. Los científicos se apoyan en la realidad para ponerse de acuerdo, pero ¿cómo lo hacen los matemáticos? Muchos autores se preguntan cada día sobre la naturaleza de la ciencia ¿Qué es ciencia? ¿Dónde empieza y dónde acaba? Sin embargo, da la impresión de que no son tantos los pensadores que se preguntan sobre la naturaleza de la matemática. En ciencia, la realidad es primera inspiración y último juez, pero ¿existe algo que juegue un papel similar en la matemática? ¿Existe algo que pueda llamarse realidad matemática? Buena pregunta. ¿A quién se la hacemos?"

Del artículo  "La matemática no es ciencia",

 publicado en "El Periódico" el 1 de Junio de 2013

de Jorge Wagensberg 

     Y, para no creernos demasiado nuestra propia importancia, cerramos con tres fragmentos de un capítulo de un libro destinado a dar consejos al joven que quiere convertirse en científico. El autor, mirmecólogo, es decir, biólogo especializado en hormigas, relativiza la importancia de los conocimientos matemáticos para un científico aunque a la vez puede ayudarnos a situar nuestro papel dentro del mundo del conocimiento. Pero dejemos que él lo explique.

 "Si, en cambio te falta algo de preparación matemática, incluso si te falta mucho, relájate. No eres en absoluto el único en la comunidad científica, y he aquí un secreto profesional para animarte: en la actualidad muchos de los científicos de más éxito del mundo son, desde el punto de vista matemático, poco más que semianalfabetos. Una metáfora aclarará la paradoja de esta afirmación. Mientras que los matemáticos de élite suelen actuar como unos arquitectos de la teoría en el ámbito en expansión de la ciencia, el resto de la gran mayoría de científicos básicos y aplicados cartografían el terreno, exploran la frontera, abren las sendas y construyen los primeros edificios a lo largo del camino. Definen los problemas que los matemáticos, de vez en cuando, pueden ayudar a resolver. Piensan básicamente en imágenes y hechos, y sólo de manera marginal en matemáticas."

"...Los pioneros de las ciencias sólo en raras ocasiones hacen descubrimientos extrayendo ideas de las matemáticas puras. La mayor parte de las fotografías estereotípicas de científicos que estudian filas de ecuaciones escritas en la 

pizarra reflejan a profesores que explican descubrimientos que ya se han llevado a cabo. El progreso real se produce en el campo, escribiendo notas; en el despacho, en medio de un montón de papeles garabateados que cubren el suelo; en el pasillo, mientras intentamos explicarle algo a un amigo; a la hora del almuerzo, comiendo sólo, o en un jardín, mientras paseamos. Tener un momento de ¡eureka! requiere trabajar duro. Y centrarse. Un distinguido investigador me comentó una vez que un científico real es alguien que puede pensar sobre algún tema mientras está hablando con su esposa o esposo de otra cosa.

Las ideas en la ciencia surgen más fácilmente cuando se estudia alguna parte del mundo por su propio interés. Son el resultado de un conocimiento cabal, bien organizado, de todo lo que se sabe o se puede imaginar de las entidades y procesos reales de aquel fragmento de existencia. Cuando se encuentra algo nuevo, los pasos siguientes requerirán por lo general el uso de métodos matemáticos y estadísticos con el fin de que su análisis avance. Si este paso resulta técnicamente demasiado difícil para la persona que hizo el descubrimiento, se puede añadir como colaborador a un matemático o un estadístico. En tanto que investigador que ha escrito muchas publicaciones como coautor con matemáticos y estadísticos, puedo ofrecer con seguridad el siguiente principio. Llamémoslo el Principio Número Uno:

Es mucho más fácil para los científicos adquirir la colaboración necesaria de matemáticos y estadísticos que, para los matemáticos y los estadísticos, encontrar científicos capaces de utilizar sus ecuaciones."

"...Si tu nivel de competencia matemática es bajo, planea aumentarlo, pero, mientras tanto, debes saber que puedes desarrollar un trabajo notable con lo que tienes. Esto es especialmente cierto en campos que se basan mayoritariamente en la recolección de datos, entre los que se cuentan, por ejemplo, la taxonomía, la ecología, la biogeografía, la geología y la arqueología. Al mismo tiempo, piénsatelo dos veces si pretendes especializarte en campos que requieren una alternancia estrecha entre el experimento y el análisis cuantitativo. Estos incluyen la mayor parte de la física y de la química, así como algunas especialidades de la biología molecular. Aprende lo básico para mejorar tus conocimientos matemáticos sobre la marcha, pero si sigues teniendo problemas con las matemáticas, busca la felicidad en otro lugar, entre la extensa gama de especialidades científicas. Y, por el contrario, si los apaños y el análisis matemático te producen placer, pero no la acumulación de datos por su propio interés, apártate de la taxonomía y de las otras disciplinas más descriptivas que acabo de mencionar.
     Newton, por ejemplo, inventó el cálculo con el fin de proporcionar sustancia a su imaginación. Darwin, según contaba él mismo, tenía poca capacidad matemática, o ninguna, pero fue capaz, a partir de las masas de información que había acumulado, de concebir un proceso al que posteriormente se aplicaron las matemáticas. Un paso importante que tienes que dar es encontrar un tema acorde con tu nivel de competencia matemática y que además te interese enormemente, y centrarte en él. Al hacerlo ten presente el principio número dos:

Para todo científico, ya sea investigador, tecnólogo o profesor, cualquiera que sea su competencia en matemáticas, existe una disciplina en la ciencia para la que dicho nivel de competencia en matemáticas es suficiente para alcanzar la excelencia."

Del libro "Cartas a un joven científico"

de Edward O. Wilson

     Y esto es todo, amigos.