Supongamos que tenemos una función f(x) dos veces derivable en un intervalo [a,b], que tiene una raíz \alpha\in[a,b], es decir f(\alpha)=0.Además suponemos que tanto la primera derivada, f^{(1)}(x), como la segunda, f^{(2)}(x), no se anulan en el intervalo [a,b].
En el método de Newton-Rhapson suponemos que el extremo derecho del intervalo, x_0=b, es una buena estimación para la raíz (de hecho valdría otro punto del intervalo, pero tomaremos este por simplicidad). Se calcula la recta tangente a la función f(x) en el punto x=x_0, es decir, f(x_0) + f^{(1)}(x_0)\,(x-x_0), donde estamos despreciando términos de orden \mathcal{O}\big((x-x_0)^2\big). Como la recta tangente a la función es una buena aproximación local a la función, calculamos el punto donde se anula la recta tangente, que lo llamamos x_1: x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^{(1)}(x_0)} Si ahora iteramos esto con el punto x_1, se llega a otro punto x_2, y así sucesivamente se obtiene una sucesión \{x_n\}_{n=0}^\infty que converge hacia la raíz \alpha. Lo bueno de este método es que existe una constante \displaystyle M=\frac{1}{2}\sup_{x\in[a,b]}\left\{\left|\frac{f^{(2)}(x)}{f^{(1)}(x)}\right|\right\}>0 tal que |x_{n+1}-\alpha|\leqslant M (x_n-\alpha)^2, es decir, converge cuadráticamente, y donde se satisface: \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-\alpha}{(x_n-\alpha)^2}= \frac{f^{(2)}(\alpha)}{2f^{(1)}(\alpha)} .
El método de Newton-Fourier en la iteración inicial considera el extremo izquierdo del intervalo, z_0=a, es una buena primera estimación. En vez de considerar solo la recta tangente, considera la recta paralela a la recta tangente del método de Newton-Raphson, es decir, con la pendiente f^{(1)}(x_0), pero que pase por el punto \big(z_0,f(z_0)\big), por lo que la ecuación de esta recta queda f(z_0) + f^{(1)}(x_0)\,(x-z_0). Una vez más vemos donde se anula, que llamaremos z_1, dando: z_1 = z_0 - \frac{f(z_0)}{f^{(1)}(x_0)} Donde una vez más se puede crear una secuencia \{z_n\}_{n=0}^\infty que converge hacia la raíz \alpha. Es más, la secuencia \{z_n\}_{n=0}^\infty es estrictamente decreciente, mientras que la secuencia \{z_n\}_{n=0}^\infty es estrictamente creciente, ambas convergiendo a la raíz \alpha de forma cuadrática, ya que existe una constante K>0 tal que |x_{n+1}-z_{n+1}|\leqslant K (x_n-z_n)^2 donde se satisface: \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-z_{n+1}}{(x_n-z_n)^2}= \frac{f^{(2)}(\alpha)}{2f^{(1)}(\alpha)} .
Si reunimos toda la información \left\{ \begin{matrix} x_{n+1} & = & \displaystyle x_n-\frac{f(x_n)}{f^{(1)}(x_n)} &\quad & x_0=b &\quad& x_n\downarrow\alpha \\ z_{n+1} & = & \displaystyle z_n-\frac{f(z_n)}{f^{(1)}(x_n)} &\quad & z_0=a &\quad& z_n\uparrow\alpha\\ \end{matrix} \right. \\ a = z_0 \lneq z_1 \lneq \cdots \lneq z_n \lneq \cdots \lneq \alpha \lneq \cdots \lneq x_n \lneq \cdots \lneq x_1 \lneq x_0 = b Nótese que el método de Newton-Fourier está pensado para funciones que satisfagan f^{(1)}(x),f^{(2)}(x)\neq0 en el intervalo.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
En el método de Newton-Rhapson suponemos que el extremo derecho del intervalo, x_0=b, es una buena estimación para la raíz (de hecho valdría otro punto del intervalo, pero tomaremos este por simplicidad). Se calcula la recta tangente a la función f(x) en el punto x=x_0, es decir, f(x_0) + f^{(1)}(x_0)\,(x-x_0), donde estamos despreciando términos de orden \mathcal{O}\big((x-x_0)^2\big). Como la recta tangente a la función es una buena aproximación local a la función, calculamos el punto donde se anula la recta tangente, que lo llamamos x_1: x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^{(1)}(x_0)} Si ahora iteramos esto con el punto x_1, se llega a otro punto x_2, y así sucesivamente se obtiene una sucesión \{x_n\}_{n=0}^\infty que converge hacia la raíz \alpha. Lo bueno de este método es que existe una constante \displaystyle M=\frac{1}{2}\sup_{x\in[a,b]}\left\{\left|\frac{f^{(2)}(x)}{f^{(1)}(x)}\right|\right\}>0 tal que |x_{n+1}-\alpha|\leqslant M (x_n-\alpha)^2, es decir, converge cuadráticamente, y donde se satisface: \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-\alpha}{(x_n-\alpha)^2}= \frac{f^{(2)}(\alpha)}{2f^{(1)}(\alpha)} .
El método de Newton-Fourier en la iteración inicial considera el extremo izquierdo del intervalo, z_0=a, es una buena primera estimación. En vez de considerar solo la recta tangente, considera la recta paralela a la recta tangente del método de Newton-Raphson, es decir, con la pendiente f^{(1)}(x_0), pero que pase por el punto \big(z_0,f(z_0)\big), por lo que la ecuación de esta recta queda f(z_0) + f^{(1)}(x_0)\,(x-z_0). Una vez más vemos donde se anula, que llamaremos z_1, dando: z_1 = z_0 - \frac{f(z_0)}{f^{(1)}(x_0)} Donde una vez más se puede crear una secuencia \{z_n\}_{n=0}^\infty que converge hacia la raíz \alpha. Es más, la secuencia \{z_n\}_{n=0}^\infty es estrictamente decreciente, mientras que la secuencia \{z_n\}_{n=0}^\infty es estrictamente creciente, ambas convergiendo a la raíz \alpha de forma cuadrática, ya que existe una constante K>0 tal que |x_{n+1}-z_{n+1}|\leqslant K (x_n-z_n)^2 donde se satisface: \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-z_{n+1}}{(x_n-z_n)^2}= \frac{f^{(2)}(\alpha)}{2f^{(1)}(\alpha)} .
Si reunimos toda la información \left\{ \begin{matrix} x_{n+1} & = & \displaystyle x_n-\frac{f(x_n)}{f^{(1)}(x_n)} &\quad & x_0=b &\quad& x_n\downarrow\alpha \\ z_{n+1} & = & \displaystyle z_n-\frac{f(z_n)}{f^{(1)}(x_n)} &\quad & z_0=a &\quad& z_n\uparrow\alpha\\ \end{matrix} \right. \\ a = z_0 \lneq z_1 \lneq \cdots \lneq z_n \lneq \cdots \lneq \alpha \lneq \cdots \lneq x_n \lneq \cdots \lneq x_1 \lneq x_0 = b Nótese que el método de Newton-Fourier está pensado para funciones que satisfagan f^{(1)}(x),f^{(2)}(x)\neq0 en el intervalo.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
