(997) - Integrales trigonométricas de Fresnel

¿Qué crees que nos pondrá? ¿Algo díficil de integrar? - A lo que respondí: No sé, pero mientras no nos ponga ninguna como el seno o coseno de Fresnel, que se definen como una integral... - A lo que me respondieron: ¡No, hombre, no! ¡Cómo va a poner algo de eso! - Al recibir el examen vimos que había que integrar a lo largo de una curva parametrizada, donde según la parametrización indicada se tenían que usar estas funciones.

Empecemos con el seno normalizado de Fresnel: $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{S}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\sin\!\left(\frac{\pi}{2}t^2\right) \;\mathrm{d}t
\end{array}$$ De forma análoga se define el coseno normalizado de Fresnel $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{C}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t^2\right) \;\mathrm{d}t
\end{array}$$ Veamos una gráfica de las funciones:

Con esta definición es fácil ver que son funciones $\mathscr{C}^\infty$ cuyo desarrollo en serie viene dado por: $$ \operatorname{S}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\pi^{2n+1}}{2^{2n+1}(4n+3)(2n+1)!}x^{4n+3} \qquad \operatorname{C}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\pi^{2n}}{2^{2n}(4n+1)(2n)!}x^{4n+1} $$ Uno de los límites interesantes que tienen estas funciones son: $$ \lim_{x\to\pm\infty}\operatorname{S}(x) = \lim_{x\to\pm\infty}\operatorname{C}(x) = \pm\frac{1}{2} $$ Veamos la curva conocida como espiral de Cornu $\Big\{\big(\operatorname{C}(x),\operatorname{S}(x)\big)\,/\,x\in\mathbb{R}\Big\}$

Estas funciones están íntimamente relacionadas con la función error gaussiano, $\varepsilon\!\operatorname{rf}(x)$. Estas funciones no solo aparecen en óptica, sino también en ecuaciones diferenciales, al considerar los iterantes de Picard para la ecuación diferencial del péndulo simple.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.