- Si tenemos una fórmula explícita, podemos escribir utilizando cálculo simbólico una fórmula para la derivada. Para este caso no hace falta que la función original sea cerrada pues se puede dar como un sumatorio, como una serie, etc. Así se tiene una fórmula conocida para la derivada y se puede ver fácilmente cómo se compara dicha fórmula con la función original.
- Supongamos en cambio que no tenemos una fórmula cerrado, o no para la función original, pero que dado cualquier argumento que le demos (input) nos dice cuánto es la función evaluada en dicho punto (output). Aquí podemos usar el límite de la definición de derivada para poder aproximar numéricamente la derivada en cada punto. A su vez podemos calcular la derivada una vez más donde dado un argumento nos dice cuánto vale en dicho punto. Sin embargo, como tomar el límite muchas veces solo se puede hacer desde un punto de vista simbólico, y no desde un punto de vista numérico, a la hora del cómputo lo que se suele hacer es tomar la función de evaluada de manera inteligente en ciertos nodos tal que con diferencias divididas se puede aproximar la derivada con una de precisión arbitrariamente alta.
- Sin embargo, muchas veces se tiene que la función está tabulada, o sea, solo sabemos los outputs en terminados inputs, es decir, solo sabemos el valor de la ordenada para ciertas abscisas. Este es un caso muy diferente al anterior ya que si bien en el caso anterior aunque no tuviéramos una fórmula explícita y no pudiéramos sacar una fórmula ni para la función original ni para la derivada, sí que mediante la evaluación de la función y los puntos podíamos acercarnos al valor numérico de la derivada con la precisión quisiéramos. Aquí en cambio la función solo está tabulada para ciertos valores y uno se tiene que apañar con esos valores tabulados de tal forma que la derivada no se va a poder calcular con precisión arbitraria, pues la precisión de la derivada dependerá del número de cifras significativas que tenga y la longitud del intervalo.
Algunos manuales de análisis numérico lo que sugieren para calcular la derivada en un punto es estimar la derivada en los puntos tabulados e interpolar entre dichos puntos al valor que se quiere. Otros sugieren que a través de los puntos de la tabla construir un polinomio interpolador, derivarlo y evaluar la derivada en dicho punto. El problema este último razonamiento es que el polinomio interpolador cuando se van añadiendo más puntos tiene el problema del fenómeno de Runge (donde hay muchas oscilaciones en torno a los extremos del intervalo). Aun así, incluso si se coge o incluso si los datos están tabulados en los nodos del Chebyshev (de tal forma que el fenómeno de Runge no ocurra y se minimice la norma infinito de error, que es la función menos el polinomio interpolador), el teorema de aproximación polinómica de Weierstrass nos asegura solo la convergencia de los polinomios a una función continua, no necesariamente derivable. De hecho, hay bastantes ejemplos de sucesiones de polinomios (todos ellos infinitamente derivables), cuyo límite es una función continua, pero no-derivable.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
