Supongamos que estamos en el campo o en la playa, y empezamos a hacer un montículo de arena. A todos nos ha pasado que, sobre todo cuando la arena está más seca, al verter arena esta se desliza por la pendiente aumentando la base de la montaña de arena, pero no su altura.
Dado un radio $r$ de la montaña de arena, ¿cuál es la altura máxima que puede tener? La respuesta está en la física. Hay que considerar que cada grano de arena de masa $m$ en la pendiente de ángulo $\theta$ sufre una fuerza (gravedad) que lo empuja pendiente abajo. Esta fuerza es $mg\sin\theta$ . Sin embargo, al estar en contacto con la propia pendiente de arena, hay una fuerza de fricción que se resiste al movimiento, de magnitud $\mu mg\cos\theta$ , donde $\mu$ es el coeficiente de fricción. El ángulo crítico donde esto ocurre es cuando cada grano de arena está en equilibrio estático, es decir, cuando ambas son iguales, $mg\sin\theta_\text{crit} = \mu_S mg\cos\theta$ , por lo que $\mu_S = \tan\theta_\text{crit}$ , donde $\mu_S$ es el coeficiente de fricción estática.
Por pura trigonometría, la reñación entre el ángulo, la altura $h$ y el radio $r$ viene dado por: $$ \mu_S = \tan\theta_\text{crit} = \frac{h}{r} \implies h = \mu_S\, r $$ Es decir, la altura máxima es directamente proporcional al radio.
Lo que implica un volumen de: $$ V = \frac{1}{3}\pi\mu_S\, r^3 $$ Y un área de: $$ A = \pi r^2 \left( 1+\sqrt{1+{\mu_S}^2\;}\; \right) $$ Donde se puede aproximar según los valores de $\mu_S$ $$ A = \pi r^2 \left( 2+\frac{{\mu_S}^2}{2}+\cdots \right) \qquad \mu_S\to0 \\ A = \pi r^2 ( 1+\mu_S + \cdots ) \qquad \mu_S\to\infty $$ El límite $\mu_S\to0$ corresponde a donde todo grano de arena se cae y la montaña son dos círculos puestos uno encima de otro (altura y volumen $0$), mientras que el límite $\mu_S\to\infty$ corresponde a que la fricción es tal que ningún grano de arena cae, y la montaña es un cilindro infinito.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Dado un radio $r$ de la montaña de arena, ¿cuál es la altura máxima que puede tener? La respuesta está en la física. Hay que considerar que cada grano de arena de masa $m$ en la pendiente de ángulo $\theta$ sufre una fuerza (gravedad) que lo empuja pendiente abajo. Esta fuerza es $mg\sin\theta$ . Sin embargo, al estar en contacto con la propia pendiente de arena, hay una fuerza de fricción que se resiste al movimiento, de magnitud $\mu mg\cos\theta$ , donde $\mu$ es el coeficiente de fricción. El ángulo crítico donde esto ocurre es cuando cada grano de arena está en equilibrio estático, es decir, cuando ambas son iguales, $mg\sin\theta_\text{crit} = \mu_S mg\cos\theta$ , por lo que $\mu_S = \tan\theta_\text{crit}$ , donde $\mu_S$ es el coeficiente de fricción estática.
Por pura trigonometría, la reñación entre el ángulo, la altura $h$ y el radio $r$ viene dado por: $$ \mu_S = \tan\theta_\text{crit} = \frac{h}{r} \implies h = \mu_S\, r $$ Es decir, la altura máxima es directamente proporcional al radio.
Lo que implica un volumen de: $$ V = \frac{1}{3}\pi\mu_S\, r^3 $$ Y un área de: $$ A = \pi r^2 \left( 1+\sqrt{1+{\mu_S}^2\;}\; \right) $$ Donde se puede aproximar según los valores de $\mu_S$ $$ A = \pi r^2 \left( 2+\frac{{\mu_S}^2}{2}+\cdots \right) \qquad \mu_S\to0 \\ A = \pi r^2 ( 1+\mu_S + \cdots ) \qquad \mu_S\to\infty $$ El límite $\mu_S\to0$ corresponde a donde todo grano de arena se cae y la montaña son dos círculos puestos uno encima de otro (altura y volumen $0$), mientras que el límite $\mu_S\to\infty$ corresponde a que la fricción es tal que ningún grano de arena cae, y la montaña es un cilindro infinito.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
