Supongamos que tenemos un número $a$ positivo, $a>0$, del que queremos calcular su raíz cuadrada, $\sqrt{a\;}$. De alguna forma nos damos cuenta que existe otro número $n$ tal que $a\approx n^2$, es decir, $n\approx \sqrt{a\;}$.
Al aproximar $\sqrt{a\;}$ por $n$, estaremos cometiendo un error $\varepsilon$, que es de la forma $\varepsilon=\sqrt{a\;}-n$. Escrito de otra forma, $\sqrt{a\;}=n+\varepsilon$, por lo que $a=(n+\varepsilon)^2$. Si pudiésemos calcular de forma exacta el error $\varepsilon$, por ejemplo a través de una fórmula, podríamos calcular la raíz cuadrada de este forma. Si desarrollamos la última expresión, se llega a $\varepsilon^2 + 2n\,\varepsilon + (n^2-a)=0$, que es una ecuación polinómica de segundo grado en $\varepsilon$, por lo que: $$ \varepsilon = \frac{-2n\pm\sqrt{(2n)^2-4(n^2-a)\;}}{2} = -n\pm\sqrt{a\;}$$ O sea, que para no tener que calcular una raíz cuadrada, hay que calcular una raíz cuadrada... Hemos llegado otra vez al problema que queríamos evitar. Sin embargo, esto tiene fácil solución: Si nuestra aproximación $n$ es suficientemente buena a la raíz cuadrada $\sqrt{a\;}$, esto implicará que el error será pequeño, $\varepsilon\ll 1$, y en especial su cuadrado más, $\varepsilon^2\approx0$. Ahora sustituyendo esta aproximación para el error en la fórmula anterior: $$ 2n\,\varepsilon + (n^2-a) \approx 0 \implies \varepsilon \approx \frac{a-n^2}{2n} $$ Entonces la fórmula que buscamos es $$ \boxed{ \sqrt{a\;} \approx n + \frac{a-n^2}{2n} } $$ Por ejemplo si queremos calcular la raíz de $a=15$, tomamos $n=4$, ya que $4^2=16\approx 15$ y al usar la fórmula anterior, $$ \boldsymbol{3\mathrm{'}87}29833\dots = \sqrt{15\;} \approx 4 + \frac{15-4^2}{2\cdot 4} = 3\frac{7}{8} = \boldsymbol{3\mathrm{'}87}5 $$ Lo bueno de esta fórmula es que se puede usar de forma recursiva para ir encontrando sucesivas aproximaciones que tienden a la raíz: Ahora $n=3\mathrm{'}875$ y $n^2=15\mathrm{'}015625$ $$ \boldsymbol{3\mathrm{'}872983}3\dots = \sqrt{15\;} \approx 4 + \frac{15-3\mathrm{'}875^2}{2\cdot 3\mathrm{'}875} = 3\frac{433}{496} = \boldsymbol{3\mathrm{'}872983}8\dots $$
Otro ejemplo si queremos calcular la raíz de $a=2$, tomamos $n=1$, ya que $1^2=1\approx 2$ y al usar la fórmula anterior, $$ \boldsymbol{1}\mathrm{'}4142135\dots = \sqrt{2\;} \approx 1 + \frac{2-1^2}{2\cdot 1} = 3\frac{1}{2} = \boldsymbol{1}\mathrm{'}5 $$ Y en la siguiente iteración $n=1\mathrm{'}5$ y $n^2=2\mathrm{'}25$ $$ \boldsymbol{1\mathrm{'}41}42135\dots = \sqrt{2\;} \approx 4 + \frac{2-1\mathrm{'}5^2}{2\cdot 1\mathrm{'}5} = 1\frac{5}{12} = \boldsymbol{1\mathrm{'}41}\bar{6}\dots $$ Y en la siguiente iteración $n=1\mathrm{'}41\bar{6}$ y $n^2=2\mathrm{'}0069\bar{4}$ $$ \boldsymbol{1\mathrm{'}41421}35\dots = \sqrt{2\;} \approx 1\mathrm{'}41\bar{6} + \frac{2-1\mathrm{'}41\bar{6}^2}{2\cdot 1\mathrm{'}41\bar{6}} = 1\frac{169}{408} = \boldsymbol{1\mathrm{'}41421}56\dots $$ En general si queremos hallarla raíz $p-$ésima de un número $a$, $\sqrt[p]{a\;}$, tal que $a\approx n^p \iff n\approx\sqrt[p]{a\;}$ se puede hallar de forma similar con: $$ \boxed{ \sqrt[p]{a\;} \approx n + \frac{a-n^p}{p n^{p-1}} } $$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Al aproximar $\sqrt{a\;}$ por $n$, estaremos cometiendo un error $\varepsilon$, que es de la forma $\varepsilon=\sqrt{a\;}-n$. Escrito de otra forma, $\sqrt{a\;}=n+\varepsilon$, por lo que $a=(n+\varepsilon)^2$. Si pudiésemos calcular de forma exacta el error $\varepsilon$, por ejemplo a través de una fórmula, podríamos calcular la raíz cuadrada de este forma. Si desarrollamos la última expresión, se llega a $\varepsilon^2 + 2n\,\varepsilon + (n^2-a)=0$, que es una ecuación polinómica de segundo grado en $\varepsilon$, por lo que: $$ \varepsilon = \frac{-2n\pm\sqrt{(2n)^2-4(n^2-a)\;}}{2} = -n\pm\sqrt{a\;}$$ O sea, que para no tener que calcular una raíz cuadrada, hay que calcular una raíz cuadrada... Hemos llegado otra vez al problema que queríamos evitar. Sin embargo, esto tiene fácil solución: Si nuestra aproximación $n$ es suficientemente buena a la raíz cuadrada $\sqrt{a\;}$, esto implicará que el error será pequeño, $\varepsilon\ll 1$, y en especial su cuadrado más, $\varepsilon^2\approx0$. Ahora sustituyendo esta aproximación para el error en la fórmula anterior: $$ 2n\,\varepsilon + (n^2-a) \approx 0 \implies \varepsilon \approx \frac{a-n^2}{2n} $$ Entonces la fórmula que buscamos es $$ \boxed{ \sqrt{a\;} \approx n + \frac{a-n^2}{2n} } $$ Por ejemplo si queremos calcular la raíz de $a=15$, tomamos $n=4$, ya que $4^2=16\approx 15$ y al usar la fórmula anterior, $$ \boldsymbol{3\mathrm{'}87}29833\dots = \sqrt{15\;} \approx 4 + \frac{15-4^2}{2\cdot 4} = 3\frac{7}{8} = \boldsymbol{3\mathrm{'}87}5 $$ Lo bueno de esta fórmula es que se puede usar de forma recursiva para ir encontrando sucesivas aproximaciones que tienden a la raíz: Ahora $n=3\mathrm{'}875$ y $n^2=15\mathrm{'}015625$ $$ \boldsymbol{3\mathrm{'}872983}3\dots = \sqrt{15\;} \approx 4 + \frac{15-3\mathrm{'}875^2}{2\cdot 3\mathrm{'}875} = 3\frac{433}{496} = \boldsymbol{3\mathrm{'}872983}8\dots $$
Otro ejemplo si queremos calcular la raíz de $a=2$, tomamos $n=1$, ya que $1^2=1\approx 2$ y al usar la fórmula anterior, $$ \boldsymbol{1}\mathrm{'}4142135\dots = \sqrt{2\;} \approx 1 + \frac{2-1^2}{2\cdot 1} = 3\frac{1}{2} = \boldsymbol{1}\mathrm{'}5 $$ Y en la siguiente iteración $n=1\mathrm{'}5$ y $n^2=2\mathrm{'}25$ $$ \boldsymbol{1\mathrm{'}41}42135\dots = \sqrt{2\;} \approx 4 + \frac{2-1\mathrm{'}5^2}{2\cdot 1\mathrm{'}5} = 1\frac{5}{12} = \boldsymbol{1\mathrm{'}41}\bar{6}\dots $$ Y en la siguiente iteración $n=1\mathrm{'}41\bar{6}$ y $n^2=2\mathrm{'}0069\bar{4}$ $$ \boldsymbol{1\mathrm{'}41421}35\dots = \sqrt{2\;} \approx 1\mathrm{'}41\bar{6} + \frac{2-1\mathrm{'}41\bar{6}^2}{2\cdot 1\mathrm{'}41\bar{6}} = 1\frac{169}{408} = \boldsymbol{1\mathrm{'}41421}56\dots $$ En general si queremos hallarla raíz $p-$ésima de un número $a$, $\sqrt[p]{a\;}$, tal que $a\approx n^p \iff n\approx\sqrt[p]{a\;}$ se puede hallar de forma similar con: $$ \boxed{ \sqrt[p]{a\;} \approx n + \frac{a-n^p}{p n^{p-1}} } $$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
