viernes, 8 de marzo de 2019

(433) ¿Es 0'9999... = 1? y otros errores de redondeo

¿Es 0'999... = 1?

Hace un tiempo Dr. Eduardo Sáenz de Cabezón publicó un vídeo intentando dar respuesta a la pregunta que lleva por título este artículo. Al comienzo de este artículo se hace saber que la creencia usual es errónea, y al final del artículo se demostrará que 0.999...=1 de dos maneras diferentes

Cuando la gente se gente se plantea cuánto vale 0'99999... ,  o 0 coma 9 periódico dan la explicación que eso no es realmente 0 seguido de infinitos términos, sino un 0 seguido de un número finito (muy grande pero finito) de nueves. 
Aquí la creencia popular ya difiere: hay quien dice que lo sigue un 0 , un 8 , u otro 9 . ¡MAL! Dad al César lo que es del César, y a Dios, lo que es de Dios [sic los matemáticos]. Permitidnos a nosotros, los matemáticos, decir de verdad qué es qué: 

Sea n el número natural que la creencia popular toma como el número de cifras 9 que hay en 0'99999... entonces en cada caso:
· En el primero, 0'99...0 sería 0·100 + 9·10-1+9·10-2+ ... + 9·10-(n-1) + 0·10-n = 1 – 10·10-n , que no es un número periódico, sino un número decimal de n-1 cifras decimales.
· En el segundo, 0'99...8 sería 0·100 + 9·10-1+9·10-2+ ... + 9·10-(n-1) + 8·10-n = 1 – 2·10-n , que no es un número periódico, sino un número decimal de n cifras decimales, y que, además, ni siquiera todas sus cifras son nueves.
· En el postrimero, 0'99...9 sería 0·100 + 9·10-1+9·10-2+ ... + 9·10-(n-1) + 9·10-n = 1 – 1·10-n , que no es un número periódico, sino un número decimal de n cifras decimales.

Ninguno de estos términos representa 0 coma 9 periódico. Vamos a introducir el concepto de infinito de una manera muy intuitiva: pensemos en el número más grande que se nos ocurra. El más grande, sin importar sus cifras (cuantas más, mejor – a ropa que hay poca). Da igual si no lo podemos escribir físicamente o no sabemos cómo nombrarlo. Ahora pues, infinito es más grande que ese número imaginado, es más, ese número, independientemente de su tamaño o magnitud, estará siempre increíblemente más cerca de la nada, del 0 , que del propio infinito. No podemos cuantificar el infinito: es mayor que cualquier cantidad cuantificable.

Creo que parte de este error proviene de la computación y del desconocimiento de conceptos más o menos básicos que nunca nos han llegado a explicar del todo. Por ejemplo dudo que nadie no sostenga que 700 es diferente de 7 , aunque 7 se pueda escribir como 007 , y tenga las mismas cifras que 700 .
Supongamos que tenemos un ordenador donde el número positivo distinto de 0 más pequeño que maneja es una milillionésima (10-6.000, es decir, 0' -5.999 ceros- y luego, en el puesto, 6.000º , un 1). [Muchos ordenadores no llegan a esta capacidad.] Para este ordenador una milillionésima y cero son dos números diferentes, por lo que también lo serán 1 menos una milillionésima  y 1, por muy próximos que estén entre sí.
Sin embargo, el ordenador no computa y\o no entiende cantidades menores a esta, es decir, para él el 90%, 3/4, 0'5 o -0'25 veces una milillionésima son exactamente 0 (aunque a ojos de las matemáticas, por muy próximos que estén, esto NO es verdad). Entonces, en estos casos el ordenador se puede ver forzado a truncar o aproximar.
Mucha gente opina que 0'99999... es un cero seguido de tantos nueves hasta no puedas seguir computando o porque en algún momento tienes que parar, y aunque este punto de vista sea más o menos "aceptable" desde el punto de vista de la computación, desde el punto de vista de las matemáticas no es en ningún momento aceptable: hemos inventado una notación para la notación periódica, es decir, para un conjunto de cifras decimales que se repiten ab infinito et ad infinitum, y además, la creencia popular confunde un número increíblemente grande y finito [con principio y con fin] con el infinito.

Esto no es tan raro. Si metemos 2/3 en cualquier calculadora simple nos dará como respuesta 0'667, y si lo multiplicamos otra vez por 3, nos dará 2'001. ¿A nadie le parece raro que al hacer 2/3·3 no dé exactamente 2, sino que dé más? Otras sin embargo darán como respuesta 0’666 y 1’998 respectivamente.

Tuve un buen profesor, (que si me estás leyendo te mando recuerdos), que ponía un ejemplo de cómo los alumnos de 1º de ESO nos equivocábamos fácilmente: 
«Para mi cumpleaños mi madre hizo una tarta e invitó a dos de mis amigos, por lo que partió la tarta en tres partes iguales, cada una de 1/3, es decir, 0'33 . Al final no comimos tarta y mi madre rejuntó los 3 trozos de 0'33, por lo que teníamos 0'99 de la tarta [siendo 1 el 100%], así que me entristecí porque había desaparecido 0'01 de la tarta [el 1%].»  Aquí el error vuelve a estar en los redondeos al no usar fracciones o números periódicos como es debido.

Aun así, creo que nadie duda que 1’00000… , es decir, 1 coma 0 periódico es exactamente 1 , ¿verdad? Es trivial: la unidad y nada es la unidad.

Para terminar quiero proponer calcular 0’99999… por el método de la fracción generatriz, es decir, crear una fracción irreducible [fracción donde el máximo común divisor de numerador y denominador es 1] que dé como resultado 0’99999… . Las fracciones generatrices son temario de 2º y 3º de ESO.
Sea x la fracción que buscamos, sabemos que es 0’99999… , x = 0’99999… . En el método se quiere multiplicar x por un número natural k tal que kx tenga el mismo periodo y en la misma posición para que al hacer kx-x dé un número natural [recuerdo que los naturales son 1, 2, 3, … hasta el infinito y más allá].
Si x = 0’99999… , entonces 10x = 9’99999… . Ahora, si restamos lo segundo de lo primero, quedaría que 10 x – x = 9’99999… – 0’99999… , es decir, 9x = 9’00000… = 9 , y resolviendo 9x=9 , x=1, es decir 1 = 0’99999… .

A continuación el enunciado se demostrará haciendo uso del Análisis Matemático, un requisito es caracterizar que los números reales se pueden escribir en notación decimal
b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}\dots .
Demostración con series infinitas y sucesiones:
El desarrollo más común de expansiones decimales es haciendo uso de series infinitas
b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}\left({\tfrac {1}{10}}\right)+b_{2}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+b_{3}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+b_{4}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{4}+\cdots .para el caso concreto que se quiere tratar en este artículo, para 0.999... uno puede hacer uso del teorema de convergencia para series geométricas
ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.
en concreto, se tiene que a=9 y r= 1/10
{\displaystyle 0.999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.}
haciendo uso de la definición del límite de una sucesión 
{\displaystyle \forall \varepsilon >0(\exists N\in \mathbb {N} (\forall n\in \mathbb {N} (n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon ))).}
se obtiene 
{\displaystyle 0.999\ldots \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}\ =\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,-\,0=1.}
Cortaduras de Dedekind:
En las cortaduras de Dedekind se define un número x como el conjunto infinito de números racionales menores que x, entonces una expansión decimal positiva puede expresarse como una cortadura de Dedekind, en concreto el número 0.999... es el conjunto de números racionales r tales que
{\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{n}}}.}

todo elemento de la cortadura de Dedekind de 0.999... es menor que 1, por lo tanto se ha demostrado una de las contenciones. Para probar la otra contención se tiene que todo elemento de la cortadura de Dedekind de 1 cumple que 
{\displaystyle {\frac {a}{b}}<1,}
y por tanto con b>0 y a<b implica
{\displaystyle 1-{\frac {a}{b}}={\frac {b-a}{b}}\geq {\frac {1}{b}}>{\frac {1}{10^{b}}},}

y entonces

{\displaystyle {\frac {a}{b}}<1-{\frac {1}{10^{b}}}.}

y finalmente

{\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{b}}}<0.999\ldots }
luego queda probada la doble contención y se tiene que ambos conjuntos son iguales, y por tanto 0.999...=1

Son dos formas de llamar el mismo número



Autor(es): Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ , y Carlos Saravia.
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