El Último Teorema de Fermat o Teorema de Fermat-Wiles afirma que la ecuación diofántica x^n+y^n = z^n
no tiene soluciones no-triviales en \mathbb{N}
donde n\in\mathbb{N}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{1,2\}
. Hoy veremos cómo podemos extender este resultado.
El caso para x,y,z\in \mathbb{N}\subsetneq \mathbb{Z} se puede generalizar a x,y,z\in \mathbb{Z} (en especial, a x,y,z\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N} ):
· Si n=2k para algún k\in\mathbb{N} , se tiene que (-a)^{2k}=+\, a^{2k} donde \pm a\in\mathbb{Z} , por lo que para exponentes pares, las bases pueden ser enteras.
· Si n=2k+1 para algún k\in\mathbb{N} , se tiene que (-a)^{2k+1}=-\,a^{2k+1} donde \pm a\in\mathbb{Z} , por lo que bastaría con llevar las bases negativas al otro miembro de la ecuación para volver a la forma más conocida del teorema.
Veamos ahora, por una reducción al absurdo, que no se puede tener x,y,z\in \mathbb{Q} a la vez como solución (en especial, a x,y,z\in \mathbb{Q\hspace{-3pt}}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{Z} ). Supongámoslo resuelto primero (suponer que es posible es el absurdo en sí):
\begin{array}{cccccc} x^n & + & y^n & = & z^n & \\ \displaystyle \left(\frac{a_1}{a_2}\!\right)^{\!\! n} & + & \displaystyle\left(\frac{b_1}{b_2}\!\right)^{\!\! n} & = & \displaystyle \left(\frac{c_1}{c_2}\!\right)^{\!\! n} & \\ \big(a_1b_2c_2\big)^{\! n} & + & \big(a_2b_1c_2\big)^{\! n} & = & \big(a_2b_2c_1\big)^{\! n} & \qquad\mathit{Q.E.A.} \end{array}
Si existieran \displaystyle x = \frac{a_1}{a_2},y= \frac{b_1}{b_2},z= \frac{c_1}{c_2}\in \mathbb{Q} , con a_j, b_j, c_j \in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} para j=1,2 , implicaría que existen unas soluciones a_1b_2c_2,a_2b_1c_2,a_2b_2c_1\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} que satisfarían la Conjetura de Fermat, lo que es absurdo ( \mathit{Q.E.A.} ), ergo el Teorema de Fermat-Wiles no tiene soluciones racionales para exponentes naturales. Como un corolario tenemos:
\boxed{ \nexists q_1,q_2 \in\mathbb{Q} \,\big/\, {q_1}^n + {q_2}^n = \pm 1 \quad\forall n\in\mathbb{N}, n\geqslant 3 }
Veamos ahora que el exponente puede ser hasta un número entero (incluso negativo) -n\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N} \,\big|\, n \in \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} . Supongamos resuelto el problema (otra reducción al absurdo):
\begin{array}{cccccc} x^{-n} & + & y^{-n} & = & z^{-n} & \\ \displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)^{\!\! n} & + & \displaystyle \left(\frac{1}{y}\right)^{\!\! n} & = & \displaystyle \left(\frac{1}{z}\right)^{\!\! n} & \\ \big(yz\big)^{\! n} & + & \big(xz\big)^{\! n} & = & \big(xy\big)^{\! n} & \qquad\mathit{Q.E.A.} \end{array}
Si existiera -n\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N} , con x,y,z \in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} implicaría que existen unas soluciones yz,xz,xy\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} que satisfarían la Conjetura de Fermat, lo que es absurdo ( \mathit{Q.E.A.} ), ergo el Teorema de Fermat-Wiles no tiene soluciones racionales para exponentes enteros .
Es más podemos afirmar que \sqrt[n]{2\,} \not\in \mathbb{Q} al menos para n \geqslant 3 : \begin{array}{cccccc}\sqrt[n]{2\,} & = & \displaystyle \frac{a}{b} & \\2 & = & \displaystyle \frac{a^n}{b^n} & \\ a^n & = & 2b^n &\qquad\mathit{Q.E.A.}\end{array} (Se puede generalizar este resultado para dadon\in\mathbb{N}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{1,2\} fijo, el número \sqrt[n]{a\,}\not\in\mathbb{Q} si \sqrt[n]{a-1\,}\in\mathbb{Q} .) Por todo esto, podemos afirmar que:
El Teorema de Fermat-Wiles afirma que la ecuación diofántica x^\alpha+y^\alpha = z^\alpha carece de soluciones no-triviales (x,y,z)\in\mathbb{Q}^3 con \alpha\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{\pm 1,\pm 2\} .
Como un último corolario podemos afirmar que no existe un triángulo rectángulo cuyos lados sean todos a la vez cuadrados perfectos, o cubos perfectos, ... .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
El caso para x,y,z\in \mathbb{N}\subsetneq \mathbb{Z} se puede generalizar a x,y,z\in \mathbb{Z} (en especial, a x,y,z\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N} ):
· Si n=2k para algún k\in\mathbb{N} , se tiene que (-a)^{2k}=+\, a^{2k} donde \pm a\in\mathbb{Z} , por lo que para exponentes pares, las bases pueden ser enteras.
· Si n=2k+1 para algún k\in\mathbb{N} , se tiene que (-a)^{2k+1}=-\,a^{2k+1} donde \pm a\in\mathbb{Z} , por lo que bastaría con llevar las bases negativas al otro miembro de la ecuación para volver a la forma más conocida del teorema.
Veamos ahora, por una reducción al absurdo, que no se puede tener x,y,z\in \mathbb{Q} a la vez como solución (en especial, a x,y,z\in \mathbb{Q\hspace{-3pt}}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{Z} ). Supongámoslo resuelto primero (suponer que es posible es el absurdo en sí):
\begin{array}{cccccc} x^n & + & y^n & = & z^n & \\ \displaystyle \left(\frac{a_1}{a_2}\!\right)^{\!\! n} & + & \displaystyle\left(\frac{b_1}{b_2}\!\right)^{\!\! n} & = & \displaystyle \left(\frac{c_1}{c_2}\!\right)^{\!\! n} & \\ \big(a_1b_2c_2\big)^{\! n} & + & \big(a_2b_1c_2\big)^{\! n} & = & \big(a_2b_2c_1\big)^{\! n} & \qquad\mathit{Q.E.A.} \end{array}
Si existieran \displaystyle x = \frac{a_1}{a_2},y= \frac{b_1}{b_2},z= \frac{c_1}{c_2}\in \mathbb{Q} , con a_j, b_j, c_j \in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} para j=1,2 , implicaría que existen unas soluciones a_1b_2c_2,a_2b_1c_2,a_2b_2c_1\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} que satisfarían la Conjetura de Fermat, lo que es absurdo ( \mathit{Q.E.A.} ), ergo el Teorema de Fermat-Wiles no tiene soluciones racionales para exponentes naturales. Como un corolario tenemos:
\boxed{ \nexists q_1,q_2 \in\mathbb{Q} \,\big/\, {q_1}^n + {q_2}^n = \pm 1 \quad\forall n\in\mathbb{N}, n\geqslant 3 }
Veamos ahora que el exponente puede ser hasta un número entero (incluso negativo) -n\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N} \,\big|\, n \in \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} . Supongamos resuelto el problema (otra reducción al absurdo):
\begin{array}{cccccc} x^{-n} & + & y^{-n} & = & z^{-n} & \\ \displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)^{\!\! n} & + & \displaystyle \left(\frac{1}{y}\right)^{\!\! n} & = & \displaystyle \left(\frac{1}{z}\right)^{\!\! n} & \\ \big(yz\big)^{\! n} & + & \big(xz\big)^{\! n} & = & \big(xy\big)^{\! n} & \qquad\mathit{Q.E.A.} \end{array}
Si existiera -n\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N} , con x,y,z \in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} implicaría que existen unas soluciones yz,xz,xy\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} que satisfarían la Conjetura de Fermat, lo que es absurdo ( \mathit{Q.E.A.} ), ergo el Teorema de Fermat-Wiles no tiene soluciones racionales para exponentes enteros .
Es más podemos afirmar que \sqrt[n]{2\,} \not\in \mathbb{Q} al menos para n \geqslant 3 : \begin{array}{cccccc}\sqrt[n]{2\,} & = & \displaystyle \frac{a}{b} & \\2 & = & \displaystyle \frac{a^n}{b^n} & \\ a^n & = & 2b^n &\qquad\mathit{Q.E.A.}\end{array} (Se puede generalizar este resultado para dadon\in\mathbb{N}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{1,2\} fijo, el número \sqrt[n]{a\,}\not\in\mathbb{Q} si \sqrt[n]{a-1\,}\in\mathbb{Q} .) Por todo esto, podemos afirmar que:
El Teorema de Fermat-Wiles afirma que la ecuación diofántica x^\alpha+y^\alpha = z^\alpha carece de soluciones no-triviales (x,y,z)\in\mathbb{Q}^3 con \alpha\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{\pm 1,\pm 2\} .
Como un último corolario podemos afirmar que no existe un triángulo rectángulo cuyos lados sean todos a la vez cuadrados perfectos, o cubos perfectos, ... .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
