sábado, 21 de noviembre de 2020

(619) - Integral de Riemann (Origen de la idea) Teorema del Valor Medio de Lagrange (con GIFs descargables)

El teorema del valor medio de Lagrange (en su formulación con integrales) nos asegura que dado una función $f$ integrable en un intervalo $[a,b]$ , existe un punto intermedio $\eta$ al intervalo tal que $f(\eta)$ es la altura promedio de la función $f$ , es decir, que $f(x)$ y $f(\eta)$ tienen la misma integral en $[a,b]$ : \begin{align*}
\int_a^b\!\!f(x) \text{d}x & = \int_a^b\!\!f(\eta) \text{d}x \\ & = f(\eta)(b-a)
\end{align*}
Si en vez de considerar todo el intervalo $[a,b]$, consideramos un subintervalo $[x_{k-1},x_k]$ , entonces pasamos a tener un punto intermedio $\eta_k$ , y el resultado sigue siendo válido: \begin{align*} \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(x) \text{d}x & = \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(\eta_k) \text{d}x \\
& = f(\eta_k)(x_k-x_{k-1}) \\
& = f(\eta_k){\Delta x}_k
\end{align*} Si ahora sumamos todos los resultados para cada uno de estos subintervalos $[x_{k-1},x_k]$ , y sabiendo que $\displaystyle \int_a^b\!\!f(x) \text{d}x = \sum_{k=1}^n \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(x) \text{d}x $ , entonces tenemos: \begin{align*}
\int_a^b\!\!f(x) \text{d}x & = \sum_{k=1}^n \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(\eta_k) \text{d}x \\
& = \sum_{k=1}^n f(\eta_k)(x_k-x_{k-1}) \\
& = \sum_{k=1}^n f(\eta_k){\Delta x}_k \\
\end{align*}Así pues, si queremos hallar el valor de la integral $\displaystyle \int_a^b f $ , esto se reduce a hallar el correspondiente $\eta_k$ (o en su defecto $f(\eta_k)$ ) para cada uno de los $n$ subintervalos $[x_{k-1},x_k]$ . Sin embargo, esta tarea no es especialmente trivial, ya que muchas veces implica resolver dicha integral para luego hallar o bien $\eta_k$ o bien $f(\eta_k)$ . Empero podemos encontrar una familia $T$ de puntos intermedios asociados $t_k\in[x_{k-1},x_k]$ tal que cada uno de los $t_k$ esté suficientemente "cerca" de $\eta_k$ , y que sendos valores ( $f(t_k)$ y $f(\eta_k)$ respectivamente) no sean muy diferentes, a lo sumo una cantidad $\varepsilon_k$ :
$$ \forall \delta_k \gneq 0 \, , \, \exists t_k \in B(\eta_k, \delta_k) \,\big/\, 0\leqslant \big|f(\eta_k)-f(t_k)\big|\lneq \varepsilon_k \leqslant \max_{k=1}^n\big(\varepsilon_k\big) \overset{\text{def}}{=:} \varepsilon $$ Con todo esto podemos hallar una suma de áreas, que llamaremos suma asociada de Riemann $\sigma(f,\mathcal{P}_n,T)$ , tal que se aproxime suficientemente bien al valor de la integral $\displaystyle \int_a^b f $ , y que difieran como muchísimo $\displaystyle \max_{k=1}^n\big(\varepsilon_k\big)(b-a)$ : $$ \begin{array}{ccccc}
0 & \leqslant & \big|f(\eta_k)-f(t_k)\big| & \lneq &\varepsilon \\
-\varepsilon &\lneq & f(\eta_k)-f(t_k) & \lneq & \varepsilon \\
-\varepsilon{\Delta x}_k &\lneq & f(\eta_k){\Delta x}_k-f(t_k){\Delta x}_k & \lneq & \varepsilon{\Delta x}_k\\
\displaystyle \sum_{k=1}^n-\varepsilon{\Delta x}_k &\lneq & \displaystyle \sum_{k=1}^n f(\eta_k){\Delta x}_k-\sum_{k=1}^n f(t_k){\Delta x}_k & \lneq & \displaystyle \sum_{k=1}^n \varepsilon{\Delta x}_k\\
-\varepsilon(b-a) &\lneq & \displaystyle \int_a^b\hspace{-3mm}f -\sigma(f,\mathcal{P}_n,T) & \lneq &\varepsilon(b-a) \\
0 &\leqslant & \displaystyle \Bigg| \int_a^b\hspace{-3mm}f -\sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \Bigg| & \lneq &\varepsilon(b-a) \\
\end{array} $$ En este GIF animado podemos observar cómo variando el número $n$ de subintervalos $[x_{k-1},x_k]$ se aproxima mejor el valor de la integral.


En este GIF animado podemos observar cómo variando la familia $T$ de puntos intermedios asociados varía la aproximación a la integral.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

martes, 3 de noviembre de 2020

(617) - Trigonometría Racional. Una reformulación curiosa

Empecemos diciendo esto qué no es: no es un artículo sobre trigonometría cuyos ángulos, o cuyos valores sean números racionales (para eso habrá que esperar a la entrada del Teorema de Niven-Hadwiger), sino de una reformulación más "racional" (en el sentido estricto), más lógica de la trigonometría. 

El canadiense Norman J. Wildberger, profesor de matemáticas en la Universidad de Nueva Gales del Sur (Australia), se propuso hacer esta reformulación que terminó $\text{a.}2005$ con la publicación de su libro (enlace), y que luego fue relatando en una serie de vídeos de su canal de Youtube (enlace). 

En vez de tratar con ángulos, distancias a modo de catetos opuesto, y adyacente, o hipotenusa, o algunos ratios, se utilizan los términos cuadranza, extensión, y cruce (en menor medida). 
· Cuadranza (quadrance), $Q$ : Reemplaza el concepto de distancia. Mide el área del cuadrado dados dos de sus vértices, es decir, mide el cuadrado de la distancia, $d^2$ . Los griegos muchas veces, como en el teorema de Pitágoras, hablaban más de áreas que de longitudes.
· Extensión (spread) , $s$ : Reemplaza el concepto de ángulo. Mide la ratio entre la cuadranza ascendida entre la cuadranza recorrida, es decir, mide el cuadrado del seno, $\sin^2(\theta)$ . 
· Cruce (cross), $1-s$ : Es el complementario a la extensión, es decir, mide el cuadrado del coseno, $\cos^2(\theta)\triangleq 1-\sin^2(\theta)$ . 

Triángulo trigonométrico racional

 

Muchas de los resultados clásicos tienen sus análogos en este reformulación, veamos algunos ejemplos:  
$$ \begin{matrix} 
\text{Teorema de Pitágoras} & a^2 = b^2 + c^2 &\qquad& Q_1 = Q_2 + Q_3 \\ 
\text{Teorema del seno} & \displaystyle \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)} & \qquad & \displaystyle \frac{Q_1}{s_1}=\frac{Q_2}{s_2}=\frac{Q_3}{s_3} \\ 
\text{Teorema del coseno} & \displaystyle -a^2+b^2+c^2 = 2bc\cos(\alpha) &\qquad& (-Q_1+Q_2+Q_3)^2 = 4Q_2Q_3(1-s_1) \end{matrix} $$

Caben resaltar dos fórmulas más:
$$ (Q_1+Q_2+Q_3)^2=2\big({Q_1}^2+{Q_2}^2+{Q_3}^2\big) \qquad (s_1+s_2+s_3)^2=2\big({s_1}^2+{s_2}^2+{s_3}^2\big)+4s_1s_2s_3 $$

Casi todas estas relaciones se pueden obtener partiendo de las relaciones clásicas y modificándolas hasta alcanzar una expresada en los términos deseados. Cabe resaltar a su vez que la trigonometría racional a veces hace uso de relaciones de cuadrados a los que Euclides les dedica algunas proposiciones en su obra magna Los Elementos, como por ejemplo:
$$ (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2) \qquad (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab $$
O haciendo uso de la Identidad de Brahmagupta-Fibonacci/de Diofanto:
$$ (a_2b_1-a_1b_2)^2+(a_1a_2+b_1b_2)^2=\big({a_1}^2+{b_1}^2\big)\big({a_2}^2+{b_2}^2\big) $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(613) - Valor principal de Cauchy. Integrando al límite y al infinito

Aclaremos una cosa: esta entrada no trata el problema del valor inicial de Cauchy para ecuaciones diferenciales (en el que se halla la única solución a una ecuación diferencial dada una condición inicial concreta).

Supongamos que tenemos una función $f(x)$ de la que queremos hallar su integral en el intervalo $[a,b]$ (realmente da igual si es abierto o cerrado). Sin embargo, esta función no es continua en todo el intervalo, sino que tiene una discontinuidad en algún punto intermedio $\xi\in[a,b]$ .
  • Si fuera una discontinuidad evitable, es decir, si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) = \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) \not = f(\xi) $, entonces la integral sería: $\displaystyle \int_a^b \hspace{-5pt} f = \int_a^{\to\xi^{-}} \hspace{-8pt} f+ \int_{\to\xi^{+}}^b \hspace{-3.5pt} f $ .
  • Si fuera una discontinuidad inevitable de salto finito ( $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) - \lim_{x\to\xi^{+}} f(x)\lneq\infty$ ), es decir, si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) \not = \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) $, entonces la integral sería: o bien $\displaystyle \int_a^b \hspace{-5pt} f = \int_a^{\to\xi^{-}} \hspace{-8pt} f + \int_\xi^b \hspace{-6pt} f $ (si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) = f(\xi) $ ), o bien $\displaystyle \int_a^b \hspace{-5pt} f = \int_a^\xi \hspace{-6pt} f + \int_{\to\xi^{+}}^b \hspace{-3.5pt} f $ (si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) = f(\xi) $ ).
  • Si fuera una discontinuidad inevitable de salto infinito ( $\displaystyle |\lim_{x\to\xi^{-}} f(x) - \lim_{x\to\xi^{+}} f(x)| = \infty$ ) es decir, si $\displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) = \pm\infty = \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) $ [particularizando al caso que queremos estudiar], entonces la integral numérica no tendría del todo sentido siempre: 
    1. Si ambos límites laterales convergen en valor absoluto a infinito y tienen el mismo signo, la integral numérica da $\pm\infty$ . 
    2. Sin embargo, si ambos convergen en valor absoluto a infinito, pero tienen distinto signo, uno podría preguntarse cómo calcular [numéricamente] el valor de la integral. La respuesta es a través de un límite: 
$$\boxed{ ―\hspace{-11.5pt}\int_a^b \hspace{-5pt} f \overset{\text{def}}{=} \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} \Bigg( \int_a^{\xi-\varepsilon}\hspace{-5pt} f + \int_{\xi+\varepsilon}^b \hspace{-5pt} f \Bigg) }$$ 
Nótese que se está evaluando la integral en $[a,b]\setminus[\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon] \triangleq [a,\xi-\varepsilon) \cup (\xi+\varepsilon,b] $, y por las propiedades de la integración, la integral en ese subintervalo (bajo ciertas condiciones), $\displaystyle \int_{\xi-\varepsilon}^{\xi+\varepsilon}\hspace{-5pt} f = 2\varepsilon\cdot f(\eta) \!\underset{\varepsilon\to 0}{\longrightarrow}\! 0 $ donde $\eta\in (\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon)$ .
Con la definición del valor principal de Cauchy, uno puede dar un resultado numérico a integrales tipo: $ \displaystyle ―\hspace{-11.5pt}\int_{-1}^2 \frac{1}{x} \text{d}x = \ln 2 $ , o puede incluso definir funciones más difíciles como la integral logarítmica (de la que hablaremos más adelante): $$ \displaystyle \operatorname{li}(x) \overset{\text{def}}{=} ―\hspace{-11.5pt}\int_0^x \frac{1}{\ln(t)} \text{d}t $$
El valor principal de Cauchy es una generalización para ciertas integrales numéricas que sigue abarcando los casos más simples.
En cuanto a notación el valor principal de Cauchy se denota como $\displaystyle ―\hspace{-11.5pt}\int$ que corresponde al comando \fint en LaTeX , y en otras ocasiones $\displaystyle \int_L^\ast$ , $\displaystyle \mathcal{C}\int$ , $\displaystyle (CPV)\int$ , $\displaystyle P\int$ , $\displaystyle PV\int$ , $\displaystyle \operatorname{P.V.}\int$ , $\displaystyle P_v\int$ , $\displaystyle \operatorname{V.P.}\int$ , $\displaystyle \operatorname{p.v.}\int$ .


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

jueves, 1 de octubre de 2020

(607) - Corolarios del último Teorema de Fermat-Wiles


El Último Teorema de Fermat Teorema de Fermat-Wiles afirma que la ecuación diofántica $x^n+y^n = z^n$ no tiene soluciones no-triviales en $\mathbb{N}$ donde $n\in\mathbb{N}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{1,2\}$ . Hoy veremos cómo podemos extender este resultado.

El caso para $ x,y,z\in \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} $ se puede generalizar a $ x,y,z\in \mathbb{Z} $ (en especial, a $ x,y,z\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N} $ ): 
· Si $n=2k$ para algún $k\in\mathbb{N}$ , se tiene que $(-a)^{2k}=+\, a^{2k}$ donde $\pm a\in\mathbb{Z}$ , por lo que para exponentes pares, las bases pueden ser enteras.
· Si $n=2k+1$ para algún $k\in\mathbb{N}$ , se tiene que $(-a)^{2k+1}=-\,a^{2k+1}$ donde $\pm a\in\mathbb{Z}$ , por lo que bastaría con llevar las bases negativas al otro miembro de la ecuación para volver a la forma más conocida del teorema.

Veamos ahora, por una reducción al absurdo, que  no se puede tener $ x,y,z\in \mathbb{Q} $ a la vez como solución (en especial, a $ x,y,z\in \mathbb{Q\hspace{-3pt}}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{Z} $ ). Supongámoslo resuelto primero (suponer que es posible es el absurdo en sí):
$$ \begin{array}{cccccc}
x^n & + & y^n & = & z^n & \\
\displaystyle \left(\frac{a_1}{a_2}\!\right)^{\!\! n} & + & \displaystyle\left(\frac{b_1}{b_2}\!\right)^{\!\! n} & = & \displaystyle \left(\frac{c_1}{c_2}\!\right)^{\!\! n} & \\
\big(a_1b_2c_2\big)^{\! n} & + & \big(a_2b_1c_2\big)^{\! n} & = & \big(a_2b_2c_1\big)^{\! n} & \qquad\mathit{Q.E.A.}
\end{array} $$
Si existieran $\displaystyle x = \frac{a_1}{a_2},y= \frac{b_1}{b_2},z= \frac{c_1}{c_2}\in \mathbb{Q} $ , con  $ a_j, b_j, c_j \in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\}$ para $j=1,2$ , implicaría que existen unas soluciones $ a_1b_2c_2,a_2b_1c_2,a_2b_2c_1\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} $ que satisfarían la Conjetura de Fermat, lo que es absurdo ( $\mathit{Q.E.A.}$ ), ergo el Teorema de Fermat-Wiles no tiene soluciones racionales para exponentes naturales. Como un corolario tenemos:
$$ \boxed{ \nexists q_1,q_2 \in\mathbb{Q} \,\big/\, {q_1}^n + {q_2}^n = \pm 1 \quad\forall n\in\mathbb{N}, n\geqslant 3 } $$
Veamos ahora que el exponente puede ser hasta un número entero (incluso negativo) $-n\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N} \,\big|\, n \in \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z}$ . Supongamos resuelto el problema (otra reducción al absurdo):
$$ \begin{array}{cccccc}
x^{-n} & + & y^{-n} & = & z^{-n} & \\
\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)^{\!\! n} & + & \displaystyle \left(\frac{1}{y}\right)^{\!\! n} & = & \displaystyle \left(\frac{1}{z}\right)^{\!\! n} & \\
\big(yz\big)^{\! n} & + & \big(xz\big)^{\! n} & = & \big(xy\big)^{\! n} & \qquad\mathit{Q.E.A.}
\end{array} $$
Si existiera $-n\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N}$ , con  $ x,y,z \in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} $ implicaría que existen unas soluciones $ yz,xz,xy\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} $ que satisfarían la Conjetura de Fermat, lo que es absurdo ( $\mathit{Q.E.A.}$ ), ergo el Teorema de Fermat-Wiles no tiene soluciones racionales para exponentes enteros .

Es más podemos afirmar que $\sqrt[n]{2\,} \not\in \mathbb{Q}$ al menos para $n \geqslant 3$ : $$ \begin{array}{cccccc}\sqrt[n]{2\,} & = & \displaystyle \frac{a}{b} & \\2 & = & \displaystyle \frac{a^n}{b^n} &  \\ a^n & = & 2b^n &\qquad\mathit{Q.E.A.}\end{array} $$ 
(Se puede generalizar este resultado para dado $n\in\mathbb{N}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{1,2\}$ fijo, el número $\sqrt[n]{a\,}\not\in\mathbb{Q}$ si $\sqrt[n]{a-1\,}\in\mathbb{Q}$ .) Por todo esto, podemos afirmar que: 
El Teorema de Fermat-Wiles afirma que la ecuación diofántica $x^\alpha+y^\alpha = z^\alpha$ carece de soluciones no-triviales $(x,y,z)\in\mathbb{Q}^3$ con $\alpha\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{\pm 1,\pm 2\}$ .


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

lunes, 4 de mayo de 2020

(601) - Eligir la base óptima y su significado físico. Aceleración tangencial ⁊ normal


La elección de una buena base es muy importante, en especial si se quieren simplificar los cálculos. Sin embargo, hay un motivo ulterior en escoger buenas bases, y entre estas, la óptima: buscamos una con un significado físico-geométrico.
Elegir una base donde los vectores que la definen sean perpendiculares entre sí (ortogonales) es muy útil a la hora de calcular y a la de representar el resultado. Para ilustrar mejor el resultado, tomemos un vector como la velocidad ( $\vec{v}$ ), derivable al menos una vez, y expresémoslo (ya relatado en un artículo sobre qué son los vectores) como el producto de su módulo por su vector unitario, y derivemos:

\begin{align*}
\vec{v} = & \|\vec{v}\| \cdot \hat{v} \\
\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} = & \frac{\text{d}(\|\vec{v}\| \hat{v} )}{\text{d}t} \\
\vec{a} = & \frac{\text{d}\|\vec{v}\|}{\text{d}t}\hat{v} + \|\vec{v}\| \frac{\text{d}\hat{v}}{\text{d}t} \\
\end{align*}En estos dos sumandos tienen dimensiones de aceleración, ergo tiene sentido darle nombres de aceleración:
· Definamos aceleración tangencial como $\vec{a}_\parallel \overset{\text{def}}{=} \dfrac{\text{d}\|\vec{v}\|}{\text{d}t}\hat{v}$ , paralela a la velocidad compartiendo el punto de aplicación. Aparece, en especial, en movimientos rectilíneos.
· Definamos aceleración normal como $\vec{a}_\perp \overset{\text{def}}{=} \|\vec{v}\|\dfrac{\text{d}\hat{v}}{\text{d}t}$
 , perpendicular a la velocidad compartiendo el punto de aplicación. Aparece, en especial, en movimientos circulares.
Nótese que la aceleración tangencial no es necesariamente la derivada temporal de la "velocidad tangencial" (de una misma deducción), y lo mismo para la normal.

Estos dos tipos de aceleración son perpendiculares entre sí donde caben resaltar las siguientes dos propiedades:

· $\displaystyle \vec{a} \triangleq \vec{a}_\parallel + \vec{a}_\perp$ 
· $\displaystyle \left\|\vec{a}\right\|^2 \triangleq \left\|\vec{a}_\parallel\right\|^2 + \left\|\vec{a}_\perp\right\|^2$ Teorema de Pitágoras
¿Qué significa todo esto? Hemos descompuesto un vector genérico, $\vec{a}$ , en suma de dos vectores perpendiculares entre sí, $\vec{a}_\parallel \perp \vec{a}_\perp$ , por ende sendos módulos son una terna pitagórica (al describir ellos tres en todo momento un triángulo rectángulo). 
No solo eso, sino que además, ambos vectores descompuestos tienen un significado físico-geométrico entre sí, en el sistema de referencia, y además con respecto a la integral del vector suma. Esto tiene mucha relevancia porque descomponer un vector en suma de ortogonales con conciertas propiedades (que simplifican mucho calcular sendas normas) no es especialmente trivial.

Esta deducción con el vector aceleración ( $\vec{a}$ ), se puede hacer con cualquier vector genérico, constante o no, y con vectores que a lo mejor no concibamos su integral, como el vector posición, ( $\vec{r}$ ), sobre el que ya vendrá un artículo al respecto...

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(599) - Derivada prima, o derivando respecto a dos sistemas de referencia diferentes


En el día de hoy traemos una entrada sobre qué pasa cuando derivamos una misma magnitud respecto a la misma variable, pero en dos sistemas de referencia distintos.

Supongamos que tenemos $\mathcal{S}=\{O;\mathcal{B}\}$ , un sistema de referencia [afín o no], no-inercial, centrado en $O$ , y $\mathcal{S}^\prime=\{O^\prime;\mathcal{B}^\prime\}$ , un sistema de referencia [afín o no], inercial (pues cumple la I Ley [traslacional] de Newton – Ley de la Inercia [traslacional]), centrado en $O^\prime$ (donde $\mathcal{B}\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath},\widehat{\jmath}, \widehat{k}\Big\}$ , y $\mathcal{B}^\prime\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath}^\prime,\widehat{\jmath}^\prime, \widehat{k}^\prime\Big\}$ son sendas bases).
Supongamos también que $\mathcal{S}$ rota respecto a $\mathcal{S}^\prime$ a una velocidad angular $\vec{\omega}$ .

Supongamos que $\displaystyle O\vert_{t=t_0}\equiv O^\prime\vert_{t=t_0}$ , y consideremos un punto genérico $P$ con unas coordenadas específicas respecto a la base de cada sistema de referencia, pues $P$ es el trasladado de $O$ por $\vec{r}$ , y a la vez, el trasladado de $O^\prime$ por $\vec{r}^\prime$ (en terminología de espacio afín), $P\equiv O+\vec{r} \equiv O^\prime+\vec{r}^\prime$ .

¿Qué ocurre al pasar de un instante genérico $t$ a uno $t+\text{d}t$ con $P$ ?
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}^\prime$ .
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}^\prime$ .

Nótense las relaciones fundamentales:
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición relativa en $\mathcal{S}^\prime$ )
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición absoluta ya que $P$ se mueve respecto de $\mathcal{S}$ a una velocidad $\dfrac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}$ )
$\vec{\omega}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\text{d}^\prime\vec{\theta}}{\text{d}t}$ (definición de velocidad angular de rotación de $\mathcal{S}$ respecto a $\mathcal{S}^\prime$ )

Ahora comparando cómo ha variado su posición, $\text{d}^\prime\vec{r}$ , en el intervalo $\text{d}t$ :
$$\boxed{ \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t} = \frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}+\vec{\omega}\times\vec{r} }$$ (Si además el sistema $\mathcal{S}$ se trasladase respecto a $\mathcal{S}^\prime$, se añade un sumando en el 2º término que fuese dicha velocidad respecto a $\mathcal{S}^\prime$ , $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{R}}{\text{d}t}$ .)
Nótese que la derivada prima $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t}$ sigue siendo una aplicación lineal, y que ambas derivadas solo se diferencian en ese término extra , $\vec{\omega}\times\vec{r}$ (otra aplicación lineal), la cual solo se anula si ambos son paralelos, $\vec{\omega}\parallel\vec{r}$ , donde está contemplado el caso que $\vec{\omega}\equiv\vec{0}$ (por lo que si un sistema de referencia no rota respecto al otro, ambas derivadas son iguales [la clásica y la prima] ).
Esta deducción con el vector $\vec{r}$ , se puede hacer para cualquier vector, y se llegaría a la misma relación.

Una curiosa relación cuanto menos, ya que la derivada prima de un vector constante, $\vec{c}$ , no es necesariamente $\vec{0}$ , sino que puede hasta ser un vector que varíe en función del tiempo, $\vec{\omega}(t)\times\vec{c}$ .
Es más, el núcleo o kernel de esta derivada prima viene definido por la ecuación diferencial: $\operatorname{Ker}\left(\displaystyle \frac{\text{d}^\prime}{\text{d}t}\right) = \left\{ \vec{u}\Big/ \displaystyle \frac{\text{d}\vec{u}}{\text{d}t} = \vec{u}\times\vec{\omega} \right\} $ .

AutorĐɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

sábado, 18 de abril de 2020

(593) - Cuando la regla del producto falla en el caso más simple. Ecuación de Meshchérskiy-Tsiolkovskiy

En el día de hoy intentamos entender una paradoja al usar mal la regla del producto al derivar: Partamos de la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] (no en su formulación newtoniana, sino con el Teorema del momento lineal), y de la definición newtoniana de momento lineal ( $\vec{p}$ ).
$$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t}\qquad\wedge\qquad \vec{p}\overset{\text{def}}{=} m\vec{v}$$
Ahora combinemos ambas, y apliquemos la regla de la cadena:
$$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}(m\vec{v})}{\text{d}t} \implies \sum\vec{F} \overset{???}{=} \frac{\text{d}m} {\text{d}t}\vec{v} + m\frac{\text{d}\vec{v}} {\text{d}t} $$
Esto no cumple el Principio de Relatividad bajo las Trasformaciones galileanas (Invarianza galileana): un objeto de masa variable cuando $\sum\vec{F}\equiv\vec{0}$ implica que permanece en reposo en un sistema que originalmente está en reposo (donde dicho objeto "va con el sistema"), pero una "fuerza ficticia" $\displaystyle -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}\vec{v}\not\equiv\vec{0}$ lo acelera en un sistema donde el objeto se mueve a una velocidad $\vec{v}$ .

Para resolver esta paradoja aparente, consideremos una acreción de masas (colisión), pues es más intuitivo que el caso de eyección (donde también se llega al mismo resultado):
Consideremos en un instante $t$ dos partículas cuyas masas instantáneas son $\text{d}m$ , y $m$ con sendas velocidades instantáneas $\vec{v}_1$ , y $\vec{v}$ , por lo que tienen un momento lineal total de $\vec{p}\vert_{t}=\text{d}m\cdot\vec{v}_1+m\vec{v}$ .
Tras la colisión, en un instante $t+\text{d}t$ , la masa instantánea será $m+\text{d}m$ , y tendrá una velocidad instantánea $\vec{v}+\text{d}\vec{v}$ , ergo tiene un momento lineal $\vec{p}\vert_{t+\text{d}t}=(m+\text{d}m)\cdot(\vec{v}+\text{d}\vec{v})$ . 
El impulso total es $\vec{I}\overset{\text{def}}{=}\vec{p}\vert_t^{t+\text{d}t}=\text{d}\vec{p} = \text{d}m\cdot(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\text{d}\vec{v}$ que ha transcurrido en un intervalo $\text{d}t$ .
Nótese que $\vec{v}-\vec{v}_1$ es la velocidad relativa de la partícula de masa instantánea $m$ respecto a la otra partícula, la de masa instantánea $\text{d}m$ .
Si se halla la fuerza, se llega a una expresión similar, pero corregida respecto a la inicial ( $\vec{F}\neq m\vec{a}$ ) :
$$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} = \frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} }$$
El término $\displaystyle \vec{F}_\text{reac}\overset{\text{def}}{=}-\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1)$ es la fuerza de reacción, es decir, la fuerza ejercida sobre el sistema ya que hay una variación de masa. Si se pasa al otro término vemos una relación mucho más familiar:
$$\vec{F}_\text{ext} + \vec{F}_\text{reac} = m\vec{a}$$
Es justamente por este término de donde surge la paradoja: la fuerza que aparece en la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] hace referencia a la suma de todas las fuerzas externas, es decir, a la fuerza neta (o resultante), pero una variación en la masa del objeto se puede deber a una fuerza interna, a un empuje, etc.

De aquí se saca la conocida Ecuación de Meshchérskiy ( Меще́рский ), donde $\vec{v}_\text{rel} =-(\vec{v}-\vec{v}_1) $ :
$$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} + \frac{\text{d} m}{\text{d}t}\vec{v}_\text{rel} = m \frac{\text{d} \vec{v}}{\text{d}t} }$$
Su caso particular con $\vec{F}_\text{ext}\equiv\vec{0}$ se conoce como Ecuación del cohete de Tsiolkovskiy ( Циолковский ), que implica resolver la ecuación diferencial: 
$$ -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) = m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} \iff -\frac{\text{d}m}{m} = \frac{\text{d}\vec{v}}{\vec{v}-\vec{v}_1} $$

AutorĐɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.