lunes, 4 de mayo de 2020

(601) - Eligir la base óptima y su significado físico. Aceleración tangencial ⁊ normal


La elección de una buena base es muy importante, en especial si se quieren simplificar los cálculos. Sin embargo, hay un motivo ulterior en escoger buenas bases, y entre estas, la óptima: buscamos una con un significado físico-geométrico.
Elegir una base donde los vectores que la definen sean perpendiculares entre sí (ortogonales) es muy útil a la hora de calcular y a la de representar el resultado. Para ilustrar mejor el resultado, tomemos un vector como la velocidad ( $\vec{v}$ ), derivable al menos una vez, y expresémoslo (ya relatado en un artículo sobre qué son los vectores) como el producto de su módulo por su vector unitario, y derivemos:

\begin{align*}
\vec{v} = & \|\vec{v}\| \cdot \hat{v} \\
\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} = & \frac{\text{d}(\|\vec{v}\| \hat{v} )}{\text{d}t} \\
\vec{a} = & \frac{\text{d}\|\vec{v}\|}{\text{d}t}\hat{v} + \|\vec{v}\| \frac{\text{d}\hat{v}}{\text{d}t} \\
\end{align*}En estos dos sumandos tienen dimensiones de aceleración, ergo tiene sentido darle nombres de aceleración:
· Definamos aceleración tangencial como $\vec{a}_\parallel \overset{\text{def}}{=} \dfrac{\text{d}\|\vec{v}\|}{\text{d}t}\hat{v}$ , paralela a la velocidad compartiendo el punto de aplicación. Aparece, en especial, en movimientos rectilíneos.
· Definamos aceleración normal como $\vec{a}_\perp \overset{\text{def}}{=} \|\vec{v}\|\dfrac{\text{d}\hat{v}}{\text{d}t}$
 , perpendicular a la velocidad compartiendo el punto de aplicación. Aparece, en especial, en movimientos circulares.
Nótese que la aceleración tangencial no es necesariamente la derivada temporal de la "velocidad tangencial" (de una misma deducción), y lo mismo para la normal.

Estos dos tipos de aceleración son perpendiculares entre sí donde caben resaltar las siguientes dos propiedades:

· $\displaystyle \vec{a} \triangleq \vec{a}_\parallel + \vec{a}_\perp$ 
· $\displaystyle \left\|\vec{a}\right\|^2 \triangleq \left\|\vec{a}_\parallel\right\|^2 + \left\|\vec{a}_\perp\right\|^2$ Teorema de Pitágoras
¿Qué significa todo esto? Hemos descompuesto un vector genérico, $\vec{a}$ , en suma de dos vectores perpendiculares entre sí, $\vec{a}_\parallel \perp \vec{a}_\perp$ , por ende sendos módulos son una terna pitagórica (al describir ellos tres en todo momento un triángulo rectángulo). 
No solo eso, sino que además, ambos vectores descompuestos tienen un significado físico-geométrico entre sí, en el sistema de referencia, y además con respecto a la integral del vector suma. Esto tiene mucha relevancia porque descomponer un vector en suma de ortogonales con conciertas propiedades (que simplifican mucho calcular sendas normas) no es especialmente trivial.

Esta deducción con el vector aceleración ( $\vec{a}$ ), se puede hacer con cualquier vector genérico, constante o no, y con vectores que a lo mejor no concibamos su integral, como el vector posición, ( $\vec{r}$ ), sobre el que ya vendrá un artículo al respecto...

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(599) - Derivada prima, o derivando respecto a dos sistemas de referencia diferentes


En el día de hoy traemos una entrada sobre qué pasa cuando derivamos una misma magnitud respecto a la misma variable, pero en dos sistemas de referencia distintos.

Supongamos que tenemos $\mathcal{S}=\{O;\mathcal{B}\}$ , un sistema de referencia [afín o no], no-inercial, centrado en $O$ , y $\mathcal{S}^\prime=\{O^\prime;\mathcal{B}^\prime\}$ , un sistema de referencia [afín o no], inercial (pues cumple la I Ley [traslacional] de Newton – Ley de la Inercia [traslacional]), centrado en $O^\prime$ (donde $\mathcal{B}\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath},\widehat{\jmath}, \widehat{k}\Big\}$ , y $\mathcal{B}^\prime\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath}^\prime,\widehat{\jmath}^\prime, \widehat{k}^\prime\Big\}$ son sendas bases).
Supongamos también que $\mathcal{S}$ rota respecto a $\mathcal{S}^\prime$ a una velocidad angular $\vec{\omega}$ .

Supongamos que $\displaystyle O\vert_{t=t_0}\equiv O^\prime\vert_{t=t_0}$ , y consideremos un punto genérico $P$ con unas coordenadas específicas respecto a la base de cada sistema de referencia, pues $P$ es el trasladado de $O$ por $\vec{r}$ , y a la vez, el trasladado de $O^\prime$ por $\vec{r}^\prime$ (en terminología de espacio afín), $P\equiv O+\vec{r} \equiv O^\prime+\vec{r}^\prime$ .

¿Qué ocurre al pasar de un instante genérico $t$ a uno $t+\text{d}t$ con $P$ ?
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}^\prime$ .
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}^\prime$ .

Nótense las relaciones fundamentales:
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición relativa en $\mathcal{S}^\prime$ )
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición absoluta ya que $P$ se mueve respecto de $\mathcal{S}$ a una velocidad $\dfrac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}$ )
$\vec{\omega}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\text{d}^\prime\vec{\theta}}{\text{d}t}$ (definición de velocidad angular de rotación de $\mathcal{S}$ respecto a $\mathcal{S}^\prime$ )

Ahora comparando cómo ha variado su posición, $\text{d}^\prime\vec{r}$ , en el intervalo $\text{d}t$ :
$$\boxed{ \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t} = \frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}+\vec{\omega}\times\vec{r} }$$ (Si además el sistema $\mathcal{S}$ se trasladase respecto a $\mathcal{S}^\prime$, se añade un sumando en el 2º término que fuese dicha velocidad respecto a $\mathcal{S}^\prime$ , $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{R}}{\text{d}t}$ .)
Nótese que la derivada prima $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t}$ sigue siendo una aplicación lineal, y que ambas derivadas solo se diferencian en ese término extra , $\vec{\omega}\times\vec{r}$ (otra aplicación lineal), la cual solo se anula si ambos son paralelos, $\vec{\omega}\parallel\vec{r}$ , donde está contemplado el caso que $\vec{\omega}\equiv\vec{0}$ (por lo que si un sistema de referencia no rota respecto al otro, ambas derivadas son iguales [la clásica y la prima] ).
Esta deducción con el vector $\vec{r}$ , se puede hacer para cualquier vector, y se llegaría a la misma relación.

Una curiosa relación cuanto menos, ya que la derivada prima de un vector constante, $\vec{c}$ , no es necesariamente $\vec{0}$ , sino que puede hasta ser un vector que varíe en función del tiempo, $\vec{\omega}(t)\times\vec{c}$ .
Es más, el núcleo o kernel de esta derivada prima viene definido por la ecuación diferencial: $\operatorname{Ker}\left(\displaystyle \frac{\text{d}^\prime}{\text{d}t}\right) = \left\{ \vec{u}\Big/ \displaystyle \frac{\text{d}\vec{u}}{\text{d}t} = \vec{u}\times\vec{\omega} \right\} $ .

AutorĐɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

sábado, 18 de abril de 2020

(593) - Cuando la regla del producto falla en el caso más simple


En el día de hoy intentamos entender una paradoja al usar mal la regla del producto al derivar:
Partamos de la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] (no en su formulación newtoniana, sino con el Teorema del momento lineal), y de la definición newtoniana de momento lineal ( $\vec{p}$ ).
$$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t}\qquad\wedge\qquad \vec{p}\overset{\text{def}}{=} m\vec{v}$$
Ahora combinemos ambas, y apliquemos la regla de la cadena:
$$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}(m\vec{v})}{\text{d}t} \implies \sum\vec{F} \overset{???}{=} \frac{\text{d}m} {\text{d}t}\vec{v} + m\frac{\text{d}\vec{v}} {\text{d}t} $$
Esto no cumple el Principio de Relatividad bajo las Trasformaciones galileanas (Invarianza galileana): un objeto de masa variable cuando $\sum\vec{F}\equiv\vec{0}$ implica que permanece en reposo en un sistema que originalmente está en reposo (donde dicho objeto "va con el sistema"), pero una "fuerza ficticia" $\displaystyle -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}\vec{v}\not\equiv\vec{0}$ lo acelera en un sistema donde el objeto se mueve a una velocidad $\vec{v}$ .

Para resolver esta paradoja, consideremos una acreción de masas (colisión), pues es más intuitivo que el caso de eyección (donde también se llega al mismo resultado):
Consideremos en un instante $t$ dos partículas cuyas masas instantáneas son $\text{d}m$ , y $m$ con sendas velocidades instantáneas $\vec{v}_1$ , y $\vec{v}$ , por lo que tienen un momento lineal total de $\vec{p}\vert_{t}=\text{d}m\cdot\vec{v}_1+m\vec{v}$ .
Tras la colisión, en un instante $t+\text{d}t$ , la masa instantánea será $m+\text{d}m$ , y tendrá una velocidad instantánea $\vec{v}+\text{d}\vec{v}$ , ergo tiene un momento lineal $\vec{p}\vert_{t+\text{d}t}=(m+\text{d}m)\cdot(\vec{v}+\text{d}\vec{v})$ . 
El impulso total es $\vec{I}\overset{\text{def}}{=}\vec{p}\vert_t^{t+\text{d}t}=\text{d}\vec{p} = \text{d}m\cdot(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\text{d}\vec{v}$ que ha transcurrido en un intervalo $\text{d}t$ .
Nótese que $\vec{v}-\vec{v}_1$ es la velocidad relativa de la partícula de masa instantánea $m$ respecto a la otra partícula, la de masa instantánea $\text{d}m$ .
Si se halla la fuerza, se llega a una expresión similar, pero corregida respecto a la inicial ( $\vec{F}\neq m\vec{a}$ ) :
$$\vec{F}_\text{ext} = \frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t}$$
El término $\displaystyle \vec{F}_\text{reac}\overset{\text{def}}{=}-\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) $ es la fuerza de reacción, es decir, la fuerza ejercida sobre el sistema ya que hay una variación de masa. 
Es justamente por este término de donde surge la paradoja: la fuerza que aparece en la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] hace referencia a la suma de todas las fuerzas externas, es decir, a la fuerza neta (o resultante), pero una variación en la masa del objeto se puede deber a una fuerza interna, a un empuje, etc.

De aquí se saca la conocida Ecuación de Meshchérskiy ( Меще́рский ) :
$$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} + \frac{\text{d} m}{\text{d}t}\vec{v}_\text{rel} = m \frac{\text{d} \vec{v}}{\text{d}t} }$$
Su caso particular con $\vec{F}_\text{ext}\equiv\vec{0}$ se conoce como Ecuación del cohete de Tsiolkovskiy ( Циолковский ).

AutorĐɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

jueves, 16 de abril de 2020

(587) - Pseudovectores. Los vectores que no son vectores - falsos vectores


En el día de hoy traemos una entrada sobre qué es un pseudovector.

Consideremos dos vectores: $\vec{u}$ , $\vec{v}$ . Coloquemos un espejo perpendicular a cada uno en sendos orígenes. Si reflejamos los vectores obtendremos: $-\vec{u}$ $-\vec{v}$ , ergo son euvectores [vectores verdaderos o vectores polares].

Sin embargo si consideramos ahora el producto vectorial de los no-reflejados: $\vec{u}\times\vec{v}$ , y el de los sí-reflejados: $(-\vec{u})\times(-\vec{v})$ , ambos son el mismo vector. Este vector no ha cambiado de signo tras una reflexión, por lo que es un pseudovector [vector axial].

Un pseudovector es una magnitud física que se transforma como un euvector ante una rotación debida, pero que en el espacio tridimensional obtiene un cambio de signo bajo una rotación impropia (e.g. reflexión).

Veamos algunos ejemplos en física, ya que es una materia donde se puede explicar todo a través de vectores:
Los vectores posición $\vec{r}$ , desplazamiento $\Delta\vec{r}$ , velocidad $\vec{v}$ , aceleración $\vec{a}$ , tirón $\vec{\jmath}$ , momento lineal $\vec{p}$ , impulso lineal $\vec{I}$ , o fuerza $\vec{F}$ son euvectores.
Los vectores posición angular $\vec{\theta}$ , desplazamiento angular $\Delta\vec{\theta}$ , velocidad angular $\vec{\omega}$ , aceleración angular $\vec{\alpha}$ , tirón angular $\vec{\zeta}$ , momento angular $\vec{L}$ , impulso angular $\vec{\phi}$ , o torque $\vec{\tau}$ son pseudovectores.

Para terminar, he aquí una tabla con los correspondientes productos vectoriales.
x
euvector
pseudovector
euvector
pseudovector
euvector
pseudovector
euvector
pseudovector


AutorĐɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

jueves, 9 de abril de 2020

(577) - ¿Qué es un vector? 4 "definiciones"-interpretaciones según el tipo de matemático


En el día de hoy traemos una entrada sobre qué es un vector según diferentes enfoques.

Antes de empezar, cabe resaltar que para tanto algebristas como analistas prefieren representar un vector como sus componentes tal cual, mientras que los físicos pueden preferir representarlo como el producto de su módulo por su vector unitario correspondiente.

· Para un informático, o un estadista-probabilista, un vector es una forma eficaz de almacenar información que aparece como un listado o un array de diferentes números donde se considera la posibilidad de haber elementos repetidos.

· Para un algebrista, un vector es una n-tupla, es decir, es una pareja, trío, cuarteto… de variables, constantes, parámetros o incluso funciones.

· Para un analista, su concepción de vector es muy similar a la de un algebrista, pues lo ve como una yuxtaposición ordenada y consecutiva de funciones (o similar).

· Para un físico, sin embargo, la concepción de un vector es la que más se asemeja a la que se da en ESO y Bachillerato: un vector es un “viaje”, una distancia flechada entre dos puntos del espacio bi- o tridimensional (uno que es el origen y otro, el destino)
Esto está muy bien para definir los vectores como posición ( $\vec{r}$ ), desplazamiento ( $\Delta\vec{r}$ ), o fuerza ( $\vec{F}$ ), pero, ¿y vectores como velocidad ( $\vec{v}$ ), aceleración ( $\vec{a}$ ), campo ( $\vec{E},\vec{g},...$ ), o momentos ( $\vec{p},\vec{L},...$ )? Muy fácil: mediante derivadas, integrales, límites, y productos escalares y vectoriales. Toda la física se puede describir mediante el vector posición ( $\vec{r}$ ) y aplicado a varios operadores de derivación, integración,… Esto es el inicio de la cinética.

AutorĐɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

miércoles, 1 de abril de 2020

(571) - Integral de Stieltjes. Integrales sin dx .



En el día de hoy traemos una entrada bastante curiosa y olvidada hasta por los profesores de análisis: La integral de Stieltjes, de 1894.

Cuando nos explicaban qué era una integral veíamos qué significaba el signo integral, qué es el integrando (la función que se integra) y el integrador (con respecto a qué se integra) que solía aparecer como dx . Pero, ¿qué pasa cuando el integrador es una función en sí?
Por ejemplo, ¿qué significan $\int\mathbb{d}x^3$ o por ejemplo $\int x \mathbb{d}\!\cos(x^2)$ ?
La integral de Stieltjes da respuesta a esta pregunta centrándose en el integrador más que en el integrando, cumpliendo las siguientes propiedades respecto al integrador:
·Es lineal.
·Para un integrando positivo, se conserva la monotonía (sino, se invierte).
·El valor absoluto de la integral es menor igual que la integral del valor absoluto
·Cumple la identidad de Chasles.
·Si (el integrador) es diferenciable, se puede sustituir  $\mathbb{d}\varphi(x)=\varphi^{(1)}(x)\mathbb{d}x$ .

Combinando esta construcción de la integral con otras, nos da dos equivalentes: la de Darboux-Stieltjes y Riemann-Stieltjes (donde las integrales de Darboux y Riemann a secas son sendos casos particulares más simples). Las integrales de D.-S. y R.-S. son aplicaciones bilineales asimétricas que son un paso anterior a la introducción de la integral de Lebesgue.

Aunque esto pueda parecer en un principio muy raro, integrar por partes es aplicar la integración de Stieljes con dos funciones diferenciables. (Es más usando la integración por partes se llega a una aplicación bilineal simétrica y/o antisimétrica de la integral de D.-S. y de R.-S. )

Las integrales de Darboux, Riemann, o Lebesgue nos dicen cómo ha tratarse la integral según el integrando, mientras que la de Stieltjes, según el integrador.

AutorĐɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(569) - Riemann vs Darboux. Integrales.


En el día de hoy traemos una entrada bastante útil: ¿En qué se diferencian la integral de Riemann de la integral de Darboux?

Riemann propuso su integral en un artículo de la universidad de Gotinga en 1854, pero se publicó póstumamente en 1866. Unos años después, en 1875, Darboux propuso su integral.
Cabe resaltar que ambas son equivalentes, es decir, una función es Riemann-integrable si y solo si es Darboux-integrable. Ambas empiezan haciendo una partición del intervalo de integración, y considerando la suma de las áreas de los rectángulos que aproximan la integral.

La integral de Riemann para cada subintervalo toma un nodo tal que la función evaluada en dicho nodo sea una aproximación de la altura promedia del rectángulo, cuya área aproxima el área de la función en dicho subintervalo.
La integral de Darboux para cada subintervalo halla el ínfimo y el supremo que toma la función en dicho subintervalo. Luego calcula las áreas del “rectángulo inferior” (el rectángulo de área maximal que está contenido por la función) y del “rectángulo superior” (el rectángulo de área minimal que contiene la función).

La construcción de Darboux es probablemente la más intuitiva, la que se utiliza muchas veces a la hora de demostrar proposiciones, y la que se enseña en Bachillerato, mientras que la de Riemann se suele usar a la hora de computar numéricamente una integral.

AutorĐɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.