( 163 ) Las matemáticas y el ajedrez 1

En esta entrada hablaremos de un juego que está íntimamente ligado con las matemáticas: El ajedrez.

      El ajedrez es el arte que ilustra la belleza de la lógica.(Mijaíl Botvínnik)

 

Que está en relación resulta claro desde el punto de vista de la lógica y el razonamiento, pero hay algo más en el tablero, en las piezas e incluso en la historia del ajedrez que está relacionado con las matemáticas.

Para empezar recordemos la antigua leyenda sobre el origen del ajedrez, donde vemos nuestra primera relación:

-Cuando muchos siglos atrás en la India un rajá vió por primera vez el juego del ajedrez, quedó admirado por la belleza y la enorme variedad de combinaciones posibles. Cuando el soberano supo que el sabio que había inventado el juego era súbdito suyo, decidió concederle cualquier deseo que éste quisiera. Pero cuál sería su asombro cuando el sabio le pidió como recompensa solo unos cuantos granos de arroz. Él pidió colocar en la primera casilla del tablero un grano; en la segunda dos granos; en la tercera cuatro granos, y así sucesivamente. Es decir, en cada casilla el doble de los granos de la casilla anterior. El rajá ordenó entregar inmediatamente al inventor el modesto premio pedido. Sin embargo, al día siguiente los matemáticos de la corte informaron al rajá que no tenían la posibilidad de cumplir  el deseo del astuto sabio: ya que no era suficiente con todo el trigo almacenado, no solo en los graneros del reino, sino en todos los graneros del mundo. El debería recibir

                               1+2+2^2+2^3+…+2^63=2^64-1

granos de arroz. Este astronómico número tiene veinte dígitos. Un granero para almacenar tal cantidad de arroz debería extenderse desde la Tierra hasta el Sol.

Desde luego, la relación de este problema con las matemáticas no es tan sutil. Sin embargo, el inesperado desenlace de esta leyenda ilustra convincentemente las ilimitadas posibilidades ocultas en el juego del ajedrez.

Ya que hemos hablado sobre el origen del ajedrez, veamos una interesante hipótesis basada en las propiedades matemáticas del tablero. Según ella, el juego tuvo su origen en los cuadrados mágicos.

Un cuadrado mágico de orden n es una tabla cuadrada de dimensión n x n llena de números naturales del 1 al n cuadrado, que posee la siguiente propiedad: la suma de los números que se encuentran en cada fila, en cada columna y en cada una de las dos diagonales mayores es un mismo número. Por ejemplo, en un cuadrado mágico de orden 8 (recordemos que el tablero tiene 8 escaques de ancho y otros 8 de alto), esta suma es igual a 260 (para el lector curioso, este número no es azaroso, si sumamos todas las casillas del 1 al 64 tendríamos (65x64)/2=65x32, si ahora lo dividimos por 8, pues cada una de las 8 filas tienen que sumar lo mismo, obtenemos nuestro 260).

Arriba a la derecha el cuadrado mágico

La rigurosa ley de distribución de los números en los cuadrados mágicos les da el poder mágico propio de las obras de arte. El pintor alemán A.Durero se sentía tan fascinado por estos misteriosos objetos matemáticos que en su famoso grabado Melancolía incluyo un cuadrado mágico.

Analicemos la tabiya (es decir, posición inicial de las piezas) conocida con el nombre de Mujannah, que se obtiene después de 24 movimientos simétricos,(1. d3 d6 2. e3 e6 3. b3 b6 4. g3 g6 5. c3 c6 6. f3 f6 7. c4 c5 8. f4 f5 9. caballo a c3 caballo a c6 10.caballo a f3 caballo a f6 11. torre a b1 torre a b8 12. torre a g1 torre a g8) podríamos observar que si se suman los números de los ocho escaques que intervienen en los 2 primeros movimientos de cada jugador(d2 , d3 , e2, e3, d7, d6, e7 y e6) obtendríamos el número 260. Pero aún más, pasa exactamente lo mismo para cada uno de los siguientes pares de movimientos.

Este tipo de ejemplos permitieron suponer que entre los cuadrados mágicos y el ajedrez existe cierta relación.

Tabiya Mujannah

Cuadrado mágico del cuadro.

Aquí un enlace de un libro de uno de los mejores jugadores del ajedrez (Karpov) donde puede verse la posición de las piezas de la que aquí hablamos.

Ahora exponemos un problema de ajedrez muy ligado a las matemáticas. Claro está, que si son problemas matemáticos, en su resolución han trabajado matemáticos, ¿os podéis imaginar quiénes?

Exacto, Gauss, Euler… aún así también hay muchos más que han trabajado en esto, como pueden s
er Valdermonde, Dirichlet,…

El problema en cuestión es el más conocido de la matemática del ajedrez: el problema del caballo.

Problema del caballo. Recorrer con el caballo todas las casillas del tablero de ajedrez pasando por cada una de ellas solo una vez.

La inmensa popularidad de este problema se debe a que en los siglos XVIII y XIX muchos matemáticos celebres se dedicaron a él, entre ellos Leonhard Euler, quien en 1749 dedicó un extenso tratado titulado << Solucion d’une question curieuse qui ne paroit soumise a aucune analyse>> (Solución de un problema curioso que parece no someterse a análisis alguno). Aunque el problema era conocido antes de Euler, él fue el primero que noto su carácter matemático, por lo que a menudo este problema se asocia con su nombre. Un problema mucho más complejo consiste en hallar todos los recorridos del caballo por el tablero y su número total. Este problema no ha sido resuelto hasta hoy en día y, al parecer, aun estamos lejos de resolverlo (que al parecer es lo que tuvo en cuenta Euler en el título de su obra). ‘Solo’ se ha demostrado que el número de recorridos posibles no es mayor que el numero combinatorio resultante de escoger 63 elementos de un conjunto de 168, pero este número supera los 30 millones. El matemático Ferdinand Minding abordó el problema desde el punto de vista algebráico y propuso un método que permite hallar una fórmula para el número de soluciones. Sin embargo, los cálculos necesarios para esto son realmente tediosos.

Dos ejemplos de la solución del problema del caballo

La literatura dedicada a este problema es vasta. Se han inventado muchos métodos para hallar recorridos que satisfacen unas u otras condiciones. Frecuentemente estos métodos llevan el nombre de sus creadores: método de Euler y Vandermonde, el método de Munky Collini, método de Poliganac y Roget y otros.

En esta entrada no os vamos a enseñar ninguno de ellos, pero en una próxima entrada sí, junto con otros problema y algunos enlaces muy interesantes relacionados con el ajedrez.

A modo de conclusión os dejamos un par de videos de una muy recomendable película (El septimo sello, de Ingmar Bergman), que utiliza el ajedrez como una metáfora para reflexionar sobre la vida y la muerte.

  

Por último una frase para animar a todos a practicar este bonito juego que tantos beneficios puede traernos

Yo siempre he sentido un poco de lástima hacia aquellas personas que no han conocido el Ajedrez; Justamente lo mismo que siento por quien no ha sido embriagado por el amor. El Ajedrez, como el amor, como la música, tiene la virtud de hacer feliz al hombre. (Dr. Siegbert Tarrasch)

Información sacada de: Matematica en el tablero de ajedrez, de Yevgueni Yàkovlievich Guik