Si en algún momento de vuestra vida os ha dado por mirar la entrada de wikipedia sobre constantes matemáticas (que me jugaría un brazo a que no) os habréis dado cuenta de una que resalta a la vista que, en la posición 89 claramente viene la constante de Feigenbaum, que resulta tener una relación muy curiosa con un modelo similar al de Lotka-Volterra, el mapa logístico.
Las ecuaciones de Lotka-Volterra son ecuaciones diferenciales, que tienen en cuenta variaciones infinitesimales en las variables, pero antes de llegar a ellas surgieron modelos discretos, esto es, que se iteraban paso a paso en vez de considerar la evolución como un contínuo.
En este contexto surge el mapa logístico, una herramienta para modelar poblaciones y estudiar el comportamiento constante, cíclico o caótico de sistemas dinámicos.
La ecuación tiene la siguiente pinta:
\[x_{n+1} = \lambda x_n (1 - x_n)\]
Esto significaría que, la cantidad de conejos en la siguiente iteración $x_{n+1}$ variará de acuerdo con el parámetro $\lambda$ y la cantidad de conejos al momento de iteración $x_n$.
Gráficas
Veamos cómo se comportan estas gráficas si variamos $\lambda$.
En primer lugar, si $\lambda \in (0,1)$ la sucesión es convergente a 0:
Después cuando $\lambda \in (1,3)$ vemos que la poblacion se establece en torno a un valor fijo $\frac{\lambda-1}{\lambda}$, sabemos esto gracias a la iteración de punto fijo.
Luego cuando $\lambda \in (3,3.57)$ las cosas empiezan a complicarse, observamos bifurcaciones de periodo doblante, o sea, que aparecen figuras de este estilo que se dividen en 2 sucesivamente:
Por último si estamos entre los 3.57 y 4 empieza el comportamiento caótico, una nube de puntos sin correlacion aparece en la gráfica.
