(1063)- La constante de Feigenbaum

Si en algún momento de vuestra vida os ha dado por mirar la entrada de wikipedia sobre constantes matemáticas (que me jugaría un brazo a que no) os habréis dado cuenta de una que resalta a la vista que, en la posición 89 claramente viene la constante de Feigenbaum, que resulta tener una relación muy curiosa con un modelo similar al de Lotka-Volterra, el mapa logístico.

Las ecuaciones de Lotka-Volterra son ecuaciones diferenciales, que tienen en cuenta variaciones infinitesimales en las variables, pero antes de llegar a ellas surgieron modelos discretos, esto es, que se iteraban paso a paso en vez de considerar la evolución como un contínuo.

En este contexto surge el mapa logístico, una herramienta para modelar poblaciones y estudiar el comportamiento constante, cíclico o caótico de sistemas dinámicos.

La ecuación tiene la siguiente pinta:

\[x_{n+1} = \lambda   x_n (1 - x_n)\]

Esto significaría que, la cantidad de conejos en la siguiente iteración $x_{n+1}$ variará de acuerdo con el parámetro $\lambda$ y la cantidad de conejos al momento de iteración $x_n$.

Gráficas

Veamos cómo se comportan estas gráficas si variamos $\lambda$.

En primer lugar, si $\lambda \in (0,1)$ la sucesión es convergente a 0: 

Después cuando $\lambda \in (1,3)$ vemos que la poblacion se establece en torno a un valor fijo $\frac{\lambda-1}{\lambda}$, sabemos esto gracias a la iteración de punto fijo.

 

Luego cuando $\lambda \in (3,3.57)$ las cosas empiezan a complicarse, observamos bifurcaciones de periodo doblante, o sea, que aparecen figuras de este estilo que se dividen en 2 sucesivamente:

 

Por último si estamos entre los 3.57 y 4 empieza el comportamiento caótico, una nube de puntos sin correlacion aparece en la gráfica.

Por último, veamos cómo varían los puntos respecto al $\lambda$ con un video:

Ahora bien, ¿qué tiene que ver Feigenbaum con esto?

La constante de Feigenbaum, \( \delta \approx 4.6692 \), es la razón que describe cómo cambian las distancias entre los valores de \( \lambda \) en los que ocurren las bifurcaciones por duplicación de período. 

En otras palabras, la diferencia entre el valor de \( \lambda \) donde se bifurca de un ciclo de período 1 a un ciclo de período 2, y el valor donde se bifurca de un ciclo de período 2 a un ciclo de período 4, está gobernada por esta constante. A medida que el sistema se aproxima al caos, estas distancias se reducen, y la razón entre las diferencias consecutivas tiende a \( \delta \).

La constante de Feigenbaum se obtiene del cociente:

\[\delta = \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n-1} - x_{n-2}}{x_n - x_{n-1}}\]

Esto significa que, aunque el caos aparece entre los valores de \( \lambda \) aproximadamente entre 3.57 y 4, esta relación nos indica dónde aparecerán las bifurcaciones, lo me parece bastante chulo.

Otros recursos:

(pdf) - The period doubling route in the logistic family.

Programas que he usado para obtener las gráficas y el video

Autor: Raúl Barrero