(431) - Andrica&Firoozbakht. Conjeturas para calcular números primos en intervalos

En el día de hoy traemos dos conjeturas poco conocidas (al menos la segunda) para aproximar números primos en un intervalo determinado. Ambas son fórmulas recursivas, es decir, hacen uno del término n para calcular el término n+1.

Para los muggles de las matemáticas o para aquellos matemáticos que se acaban de dar contra una piedra y tienen amnesia severa, un número primo es un número natural que solo es divisible entre 1 y sí mismo, es decir, sea p un número, solo será primo si al hacer las divisiones de p/1, p/2, p/3, ... , p/(p-2), p/(p-1), p/p solo y únicamente tienen resto 0 las divisiones de p/1 y p/p, con resto distinto de cero el resto de divisiones. (En realidad solo hay que hacer las operaciones hasta el mayor número natural menor o igual que la raíz de p)

De los números primos se sabe mucho y a la vez muy poco. Se saben que son infinitos, pero no se sabe una fórmula general para hallar números primos. Lo que sí se sabe es que cada número primo es mayor que su anterior y menor que su consecutivo.

Notación: p_n se refiere al n-ésimo número primo y p_(n+1) se refiere al (n+1)-ésimo número primo, es decir, el número primo consecutivo a p_n.

Conjetura de Andrica (por Dorin Andrica, matemático rumano, publicada en 1985)
Esta conjetura dice que la diferencia de las raíces de dos primos consecutivos será estrictamente menor que uno, es decir:

 Curiosamente tiene un valor máximo en p_4=7 y p_5=11, por lo que se puede aproximar a (γ'):

Conjetura hasta p(n=100)=541

 
(δ') hace referencia a un caso generalizado con n, m números naturales no necesariamente consecutivos, lo que hace esta desigualdad más débil que la desigualdad de la conjetura en sí.
 

Si se reordenan (α') y (β'), se obtienen (ε') y (ϵ') respectivamente:
 

(ϛ') hace referencia a que cualquier número primo es mayor que su anterior y menor que su posterior, y aplicando raíces, se obtiene (ζ').

Conjetura hasta p(n=200)=1.233

(η') permite acotar el intervalo del número primo consecutivos a partir del número primo anterior. Al estudiar esta conjetura, Dorin Andrica se dio cuenta que la solución más grande del exponente que se cumplía en todos los casos estudiados ocurría en p_30=113 y p_31=127 cuando x es aproximadamente 0'5671481302020177... Por lo que para este valor la función está mejor acotada que para x=0'5 (raíz cuadrada).

Aplicando propiedades matemáticas y despejando se obtiene (ι'), que es la forma más compacta de la conjetura que se puede obtener:

Conjetura hasta p(n=500)=3.571. Se puede ver que, aunque tiene algún pico importante ocasional, siempre cada pico será menor que el anterior y van decreciendo hacia 0.

Conjetura de Firoozbakht (por Farideh Firoozbakht, matemático iraní y profesor de universidad en Isfahan, publicada en 1982)

Esta conjetura dice que la raíz n-ésima del n-ésimo primo será estrictamente mayor que la raíz (n+1)-ésima del (n+1)-ésimo primo, es decir:

(ια') es la fórmula general de la fórmula
 
(ιβ') hace referencia a un caso generalizado con n, m números naturales no necesariamente consecutivos, lo que hace esta desigualdad más débil que la desigualdad de la conjetura en sí.
 
Usando (ϛ') y (ια'), se obtiene la conjetura general (ιγ')
 
Por último cabe resaltar (ιδ') que hace referencia a una desigualdad a partir del cuarto número primo, 7, y la (ιε'), que es más fuerte, se puede utilizar a partir del noveno número primo, 23.



 La conjetura de Farideh Firoozbakht no es muy útil a la hora de calcular qué posición ocupan dos números primos consecutivos sabiendo cuáles son, pues da un intervalo de valores muy grande.

Comparación (es escala logarítmica centesimal en el eje de las ordenadas), de la función "hueco entre primos" (la diferencia entre un primo y su consecutivo) y las conjeturas de Firoozbakht, Cramér y Granville.

Asimismo, empíricamente la conjetura de Firoozbakht proporciona un intervalo de valores mucho más corto y preciso que la conjetura de Andrica, sin embargo en la conjetura de Andrica no es necesario saber qué posición ocupan los números primos mientras que en la conjetura de Firoozbakht es condición necesaria y no omisible conocer qué número primo es y qué orden ocupa en la lista de los números primos.

 Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.