La paradoja de Russell
En esta
entrada describiremos la llamada paradoja de Russell, señalando brevemente lo
que provocó y como se le dio solución a ello.
La matemática moderna es, en muchos sentidos,
deudora de la de la Grecia clásica. Si bien dista de nuestros conceptos
actuales, sobre todo en cuestiones de lenguaje, ya en los escritos de
Aristóteles encontramos referencias a una primitiva teoría de conjuntos. Esta
teoría fue desarrollándose y dando lugar a su versión moderna (sobre la que no
entraremos en detalles), pero para esto hubo de pasar por muchos estados
intermedios.
Antes
de que se enunciara la paradoja de que vamos a hablar, la noción que se tenía
de conjunto coincidía con la idea intuitiva de este; como dice la RAE: “Totalidad de los elementos o cosas poseedores de una propiedad común, que los distingue de otros”. Por ejemplo, un conjunto
podían ser cuatro números naturales, o cuatro peras, o las sillas en una
habitación. En un principio este concepto era suficiente, en cuanto a que la
teoría construida hasta entonces parecía no dar problemas. Fue entonces cuando
Russell enunció su paradoja.
Antes
de hablar de ella, y sintiendo dilatar tanto el explicarla, es
necesario introducir algunas nociones sobre conjuntos, entendidos estos en la
noción intuitiva antes dada.
Existe
una familia de conjuntos, a la que llamaremos “conjuntos normales”, que son
aquellos no pertenecientes a sí mismos. Como ejemplo de esta familia tenemos el
conjunto vacío, o los números naturales, o prácticamente cualquier conjunto que
a uno pueda ocurrírsele.
Consideremos ahora el conjunto dado por todos los conjuntos que pueden describirse
con menos de 50 palabras. Este conjunto ha podido describirse con menos de 50
palabras, y pertenece por tanto a sí mismo. Podemos así, considerar la familia
de conjuntos que sí se pertenecen a sí mismos; a estos conjuntos los llamaremos
“conjuntos singulares”.
Ahora
bien, si consideramos el conjunto de conjuntos que no se pertenecen a sí mismos
encontramos un problema. Llamemos C a ese conjunto. Si C no pertenece a C
entonces C cumple la condición para pertenecer a C. Asimismo, si C pertenece a
C, entonces C no puede pertenecer a C. Hemos llegado, de esta forma, a la
paradoja de Russell.
Esto
puede parecer una tontería, sin embargo fue el detonante de una crisis inmensa
en las matemáticas. Se había hallado una inconsistencia en la base de la teoría
de conjuntos, sobre la cual se asentaban otras áreas de las matemáticas,
apuntando a un potencial derrumbamiento. Por supuesto, esta situación se
subsanó más adelante, considerando otra definición de conjunto. Sin embargo,
todo eso se escapa del conjunto de asuntos a tratar en esta entrada, con que
nos decidimos por darla por concluida.
Diego Munuera Merayo.
Diego Munuera Merayo.
