(449) - El postulado perdido de Euclides. El Axioma de Pasch.

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa, un postulado imprescindible que se le pasó al mismo Euclides. Como nota aclaratoria no se va a discutir sobre la importancia de los cinco postulados originales, ni de la trascendencia del V, sino de uno que estuvo "desaparecido" durante más de 22 siglos.

Los V postulados originales eran (puestos en terminología actual):

I)   Dos puntos cualesquiera definen una recta.

II)  Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

III) Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualesquiera.

IV) Todos los ángulos rectos son congruentes entre sí.

V) Si una línea recta corta a otras dos, tal que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que uno llano, las otras dos rectas se cortan, al prolongarse, por el lado donde están los ángulos menores que uno llano.

Este VI postulado lo descubrió Moritz Pasch (1843-1930), un matemático germanojudío que fue alumno del gran Weierstraß, el padre del análisis moderno. Pasch fue el primero en establecer una geometría axiomática. 

La diferencia entre axioma, y postulado es bastante sutil: Ambas son verdades que se consideran como absolutas, y a veces obvias, que se tienen que asumir como tales para seguir construyendo la materia en cuestión, por lo que no son demostrables. Los postulados se suelen diferenciar de los axiomas por ser relevantes a cierta materia, ciencia o contexto en particular, más que una verdad absoluta y general, que sería el axioma.

Por ello, el V Postulado de Euclides al ser solo válido para Geometría Euclídea, es un postulado, y no un axioma.

El axioma establece, de manera algo informal, que una línea que se interseca con un lado de un triángulo, y evita los tres vértices se interseca también con uno de las otros dos lados.

En rojo el triángulo original. En azul las prolongaciones de los segmentos del triángulo.
En negro las rectas que al cortar un lado sin pasar por el vértice, han de cortar otro.

David Hilbert utiliza el axioma de Pasch en su obra magna Fundamentos de Geometría (Grundlagen der Geometrie - 1903), que tiene una base axiomática de la geometría euclídea. Dependiendo de la edición aparece como 2.4, o como 2.5.

Este axioma se publicó en 1882, cuando Pasch no tenía ni 40 años. Pasch demostró que toda la geometría hasta entonces, tanto euclídea como no-euclídea, estaba, de algún modo, incompleta. La última vez que había ocurrido esto a niveles similares fuera cuando Newton corrigió a Aristóteles (finales del siglo XVII), y posteriormente, cuando Einstein corrigió a Newton (principios del siglo XX).

Dicho de otro modo, Pasch ha sido a Euclides, Gauß, Riemann, y Lobachevsky lo que Newton hubo sido a Aristóteles, y lo que Einstein fue a Newton.

Curiosamente el Teorema de Melenao se basa en el axioma de Pasch, y es bastante intuitivo. La falta de "intuición" matemática y rigorismo se ve en parte también en los Elementos de Euclides.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.