La pregunta de hoy es bien simple: ¿Qué ángulos que son un número racional de vueltas tienen como seno, coseno o tangente también un número racional?Este resultado se concoce como Teorema de Niven ($1915-1999$) de $1956$, pero el matemático Hadwiger ($1908-1981$) ya hizo una demostración en $1948$.
Una primera idea descartable es argumentando como las funciones trigonométricas se pueden expresar como series, pero la serie de racionales no es necesariamente racional ( el ejemplo más claro $\displaystyle \frac{1}{n!}\in\mathbb{Q}$ pero $\displaystyle e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \not\in\mathbb{Q}$ ).
Otra idea sería considerar los polinomios de Chebyshov de I especie [Чебышёв - Čebyšëv], polinomios de coeficientes enteros, $T_N(x)\in\big(\mathbb{Z}[x]\big)_N $ , que satisfacen la relación: $T_N\big(\cos(\theta)\big)=\cos(N\theta)$ . Sin embargo, este método solo nos dice que $\cos(2\pi\theta)\in\mathbb{Q} \implies \cos(2\pi N\theta)\in\mathbb{Q}$ , es decir, si el coseno es racional, el coseno de múltiplos de ángulo también lo es. No podemos decir lo mismo de los de II especie $U_N(x)\in\big(\mathbb{Z}[x]\big)_N $ , que satisfacen la relación: $\sin(\theta)U_{N-1}\big(\cos(\theta)\big)=\sin(N\theta)$ .
La idea es buscar los conjuntos maximales $\varnothing\subset Q_{0,r},Q_{1,r}\subset\mathbb{Q}$ donde $Q_{1,r}\overset{\text{def}}{=}\operatorname{r}(2\pi Q_{0,r})$ para alguna razón trigonométrica $\operatorname{r}$ , es decir, hallar los ángulos racionales, $\varphi\in\mathbb{Q}$ , tales que alguna razón trigonométrica es racional, $\operatorname{r}(2\pi\varphi)\in\mathbb{Q}$ .
Si $\varphi\in Q_{0,r}\subsetneq\mathbb{Q} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in\mathbb{Q}$ , es decir que si el ángulo $\varphi$ es "racional de Niven", su razón trigonométrica también es racional.
Si $\varphi\in(\mathbb{Q}\setminus Q_{0,r})\subsetneq\mathbb{Q} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$, es decir que si el ángulo $\varphi$ es racional pero no "[racional] de Niven", su razón trigonométrica es estrictamente irracional.
Si $\varphi\in (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\subsetneq\mathbb{R} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in \big((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\bigcup \hspace{ -7pt }\raise-.5ex{\scriptsize | } \hspace{3pt} (\mathbb{Q}\setminus Q_{1,r})\big) \triangleq (\mathbb{R}\setminus Q_{1,r}) $ , es decir que si el ángulo $\varphi$ es irracional, su razón trigonométrica también es o bien irracional o bien racional.
Si para algún ángulo el seno o coseno es $\displaystyle \frac{p}{q}$ donde $0\leqslant |p| \leqslant |q| $ y $p,q\in\mathbb{Z}$ , entonces el otro es $\displaystyle \pm\frac{\sqrt{q^2-p^2\;}}{q}$ . La pregunta es entonces $\sqrt{q^2-p^2\;}\overset{\text{?}}{\in}\mathbb{N}$ . Esta pregunta es equivalente a preguntar si existe una terna pitagórica con hipotenusa $|q|$ y un cateto $|p|$ . Al final resulta ser que los únicos que seno y coseno son racionales son las soluciones triviales.
Una primera idea descartable es argumentando como las funciones trigonométricas se pueden expresar como series, pero la serie de racionales no es necesariamente racional ( el ejemplo más claro $\displaystyle \frac{1}{n!}\in\mathbb{Q}$ pero $\displaystyle e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \not\in\mathbb{Q}$ ).
Otra idea sería considerar los polinomios de Chebyshov de I especie [Чебышёв - Čebyšëv], polinomios de coeficientes enteros, $T_N(x)\in\big(\mathbb{Z}[x]\big)_N $ , que satisfacen la relación: $T_N\big(\cos(\theta)\big)=\cos(N\theta)$ . Sin embargo, este método solo nos dice que $\cos(2\pi\theta)\in\mathbb{Q} \implies \cos(2\pi N\theta)\in\mathbb{Q}$ , es decir, si el coseno es racional, el coseno de múltiplos de ángulo también lo es. No podemos decir lo mismo de los de II especie $U_N(x)\in\big(\mathbb{Z}[x]\big)_N $ , que satisfacen la relación: $\sin(\theta)U_{N-1}\big(\cos(\theta)\big)=\sin(N\theta)$ .
La idea es buscar los conjuntos maximales $\varnothing\subset Q_{0,r},Q_{1,r}\subset\mathbb{Q}$ donde $Q_{1,r}\overset{\text{def}}{=}\operatorname{r}(2\pi Q_{0,r})$ para alguna razón trigonométrica $\operatorname{r}$ , es decir, hallar los ángulos racionales, $\varphi\in\mathbb{Q}$ , tales que alguna razón trigonométrica es racional, $\operatorname{r}(2\pi\varphi)\in\mathbb{Q}$ .
Si $\varphi\in Q_{0,r}\subsetneq\mathbb{Q} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in\mathbb{Q}$ , es decir que si el ángulo $\varphi$ es "racional de Niven", su razón trigonométrica también es racional.
Si $\varphi\in(\mathbb{Q}\setminus Q_{0,r})\subsetneq\mathbb{Q} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$, es decir que si el ángulo $\varphi$ es racional pero no "[racional] de Niven", su razón trigonométrica es estrictamente irracional.
Si $\varphi\in (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\subsetneq\mathbb{R} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in \big((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\bigcup \hspace{ -7pt }\raise-.5ex{\scriptsize | } \hspace{3pt} (\mathbb{Q}\setminus Q_{1,r})\big) \triangleq (\mathbb{R}\setminus Q_{1,r}) $ , es decir que si el ángulo $\varphi$ es irracional, su razón trigonométrica también es o bien irracional o bien racional.
Si para algún ángulo el seno o coseno es $\displaystyle \frac{p}{q}$ donde $0\leqslant |p| \leqslant |q| $ y $p,q\in\mathbb{Z}$ , entonces el otro es $\displaystyle \pm\frac{\sqrt{q^2-p^2\;}}{q}$ . La pregunta es entonces $\sqrt{q^2-p^2\;}\overset{\text{?}}{\in}\mathbb{N}$ . Esta pregunta es equivalente a preguntar si existe una terna pitagórica con hipotenusa $|q|$ y un cateto $|p|$ . Al final resulta ser que los únicos que seno y coseno son racionales son las soluciones triviales.
Veamos los pocos valores que satisfacen la relación en $\displaystyle 0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{2}$ (en otros cuadrantes solo hay que tener en cuenta las relaciones de los demás cuadrantes con el primero):
Para el seno se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}$ que valen respectivamente $\displaystyle 0,\frac{1}{2},1$ .
Para el coseno se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}$ que valen respectivamente $\displaystyle 0,\frac{1}{2},1$ .
Para la tangente se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{4}$ que valen respectivamente $\displaystyle 0,1$ .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
