(751) - Racionales en trigonometría de racionales. Teorema de Niven-Hadwiger

La pregunta de hoy es bien simple: ¿Qué ángulos que son un número racional de vueltas tienen como seno, coseno o tangente también un número racional?Este resultado se concoce como Teorema de Niven ($1915-1999$) de $1956$, pero el matemático Hadwiger ($1908-1981$) ya hizo una demostración en $1948$.
Una primera idea descartable es argumentando como las funciones trigonométricas se pueden expresar como series, pero la serie de racionales no es necesariamente racional ( el ejemplo más claro $\displaystyle \frac{1}{n!}\in\mathbb{Q}$ pero $\displaystyle e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \not\in\mathbb{Q}$ ).

Otra idea sería considerar los polinomios de Chebyshov de I especie [Чебышёв - Čebyšëv], polinomios de coeficientes enteros, $T_N(x)\in\big(\mathbb{Z}[x]\big)_N$ , que satisfacen la relación: $T_N\big(\cos(\theta)\big)=\cos(N\theta)$ . Sin embargo, este método solo nos dice que $\cos(2\pi\theta)\in\mathbb{Q} \implies \cos(2\pi N\theta)\in\mathbb{Q}$ , es decir, si el coseno es racional, el coseno de múltiplos de ángulo también lo es. No podemos decir lo mismo de los de II especie $U_N(x)\in\big(\mathbb{Z}[x]\big)_N$ , que satisfacen la relación: $\sin(\theta)U_{N-1}\big(\cos(\theta)\big)=\sin(N\theta)$ .

La idea es buscar los conjuntos maximales $\varnothing\subset Q_{0,r},Q_{1,r}\subset\mathbb{Q}$ donde $Q_{1,r}\overset{\text{def}}{=}\operatorname{r}(2\pi Q_{0,r})$ para alguna razón trigonométrica $\operatorname{r}$ , es decir, hallar los ángulos racionales, $\varphi\in\mathbb{Q}$ , tales que alguna razón trigonométrica es racional, $\operatorname{r}(2\pi\varphi)\in\mathbb{Q}$ .
Si $\varphi\in Q_{0,r}\subsetneq\mathbb{Q} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in\mathbb{Q}$ , es decir que si el ángulo $\varphi$ es "racional de Niven", su razón trigonométrica también es racional.
Si $\varphi\in(\mathbb{Q}\setminus Q_{0,r})\subsetneq\mathbb{Q} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$, es decir que si el ángulo $\varphi$ es racional pero no "[racional] de Niven", su razón trigonométrica es estrictamente irracional.
Si $\varphi\in (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\subsetneq\mathbb{R} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in \big((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\bigcup \hspace{ -7pt }\raise-.5ex{\scriptsize | } \hspace{3pt} (\mathbb{Q}\setminus Q_{1,r})\big) \triangleq (\mathbb{R}\setminus Q_{1,r})$ , es decir que si el ángulo $\varphi$ es irracional, su razón trigonométrica también es o bien irracional o bien racional.

Si para algún ángulo el seno o coseno es $\displaystyle \frac{p}{q}$ donde $0\leqslant |p| \leqslant |q|$ y $p,q\in\mathbb{Z}$ , entonces el otro es $\displaystyle \pm\frac{\sqrt{q^2-p^2\;}}{q}$ . La pregunta es entonces $\sqrt{q^2-p^2\;}\overset{\text{?}}{\in}\mathbb{N}$ . Esta pregunta es equivalente a preguntar si existe una terna pitagórica con hipotenusa $|q|$ y un cateto $|p|$ . Al final resulta ser que los únicos que seno y coseno son racionales son las soluciones triviales.

Veamos los pocos valores que satisfacen la relación en $\displaystyle 0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{2}$ (en otros cuadrantes solo hay que tener en cuenta las relaciones de los demás cuadrantes con el primero):

Para el seno se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}$ que valen respectivamente $\displaystyle  0,\frac{1}{2},1$ .

Para el coseno se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}$ que valen respectivamente $\displaystyle  0,\frac{1}{2},1$ .

Para la tangente se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{4}$ que valen respectivamente $\displaystyle  0,1$ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.