(709) - Función simple y límite de una sucesión de funciones escalonadas (con GIFs descargables)

En la última entrada comentamos cómo podemos crear una función escalonada, es decir, constante en conjuntos casi a modo de una escalera.
Estos conjuntos no son necesariamente intervalos, sino que pueden ser uniones de intervalos monopuntuales o no. Por ejemplo, se puede definir el conjunto donde la función seno, $\operatorname{sen}(x)$, sea positiva, es decir, $\displaystyle E = \{x\in\mathbb{R} / \operatorname{sen}(x) \geqslant 0 \} = \bigcup_{n\in\mathbb{Z}} \big[2 \pi n, (2n+1)\pi\big]$ , es decir, es unión (disjunta) de infinitos intervalos.
$$\begin{array}{ cccc }\displaystyle \phi_n \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n y_k \chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_k} : & \Omega & \longrightarrow & \{0\}\cup\big\{y_k\;\big/\; k=1,\cdots , n \big\} \subsetneq\mathbb{R} \\& x & \longmapsto & \displaystyle \begin{matrix} 0 & \big| & x\not\in \displaystyle \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_k \subseteq \Omega\\ y_k & \big| & x\in E_k \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_k \subseteq \Omega \end{matrix}\end{array}$$ Es decir, a esta función $\phi_n(x)$ se le asigna el valor $0$ si $x$ no está en ningún $E_k$ (y por lo tanto no está en la unión de todos), y si sí está en $E_k$ , para algún $k$ entre $1,\cdots,n$ , se le asigna $y_k$ . Lo bueno de esta definición es que se puede "ir hacia atrás" y averiguar, dado un valor de la función $\phi_n(x)$ , de qué conjunto proviene ese $x$ , es decir: $\displaystyle {\phi_n}^{[-1]}(y_k) = {\phi_n}^{[-1]}\big(\{y_k\}\big) = E_k$ lo que hace que para el conjunto de todos los poibles valores se tenga $\displaystyle {\phi_n}^{[-1]}\big(\{y_k\;\big/\; k=1,\cdots , n\}\big) = \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_k$ . Estos conjuntos elementales $E_k$ se tienen que contruir de una manera que luego nos faciliten la cuentas, ya que estamos intentando aproximar la integral de una función $f(x)$ genérica por la de una función escalonada $\phi_n(x)$ contruida a partir de dichos conjuntos elementales $E_k$ . Los conjuntos de la forma $\displaystyle E_k = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; f(x)=y_k \in \mathbb{R} \Big\} \subseteq\bigcup_{k=1}^n \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_k \subseteq \Omega$ nos pueden dar problemas. Por ejemplo, la función seno, $\operatorname{sen}(x)$ , toma cualquier valor, $1$ por ejemplo, en puntos separados, es decir en intervalos unipuntuales. ¿Cuánto mide de ancho un punto? Nada, cero. Por ello la medida de todos esos conjuntos puede ser $0$ y no nos puede decir mucho. Recordemos que la integral se puede entender como una forma de medir áreas, que solemoss hacer por medio de rectángulos usualmente, donde se necesita una base y una altura. Si las bases son todas $0$ nos daría una área $0$ .

Dada una sucesión $\{y_n\}_{n=0}$ de números positivos, voy a definir y acuñar yo dos familias de conjuntos elementales que nos van a ayudar. Estos conjuntos están prediseñados para poder usar la Desigualdad de Chebyshov ( [Чебышёв - Čebyšëv]) o con la misma idea que esta:
Los conjuntos elementales de Riemann-Lebesgue o conjuntos elementales asociados de Lebesgue , que nos permitirán contruir la integral de Lebesgue coon una idea análoga a la de Riemann. $$E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; 0\leqslant\big|f(x)-y_n\big|\lneq\varepsilon \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$$

Función $\phi_n(x)$ creada con los conjuntos elementales de Riemann-Lebesgue

Los conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue o conjuntos elementales superiores e inferiores de Lebesgue , que nos permitirán contruir la integral de Lebesgue coon una idea análoga a la de Darboux. $$E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; y_n\gneq\big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$$

Función $\phi_n(x)$ inferior creada con los conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue

Función $\phi_n(x)$ superior creada con los conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue

 
Con esta contrucción de los conjuntos $E_n$ se puede definir la función $\phi_n(x)$ y su integral, que al ser los conjuntos disjuntos nos facilitan muchas cuentas: $$\phi_n(x) \overset{\text{def}}{=} \sum_{n\in\mathbb{N}_0} y_n \chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \implies \int\limits_{\bigcup \hspace{ -6.5pt }\raise-.5ex{\scriptsize | } \hspace{3pt} E_n} \!\! \phi_n \,\text{d}\mu \triangleq \sum_{n\in\mathbb{N}_0} y_n \, \mu(E_n)$$ Refinando los elementos en la secuencia $\{y_n\}_{n=0}$ o refinando el valor de $\varepsilon$ se llega a una función que cada vez dista tan poco como queramos. Recordamo que no hemos hablado de distancia, y que ningún artículo de este blog pretende ser un sustituto de ninguna asignatura. Al final pretendemos crear una sucesión de funciones escalonadas tal que $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\phi_n(x) \triangleq f(x)$ ya que se pueden construir funciones $\phi(x)$ tales que $\phi(x) \underset{\mu\text{ae}}{\overset{\text{def}}{=}} f(x)$ ( $\phi$ se define para que sean igual casi siempre a $f$ ), lo que implica $\displaystyle \int\limits_I \! \phi \,\text{d}\mu \triangleq \int\limits_I \! f\,\text{d}\mu \iff \int\limits_I \! \big| f-\phi\big| \,\text{d}\mu \triangleq 0$ . En la próxima entrada veremos cómo hallar dichas integrales.

 
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.