El canadiense Norman J. Wildberger, profesor de matemáticas en la Universidad de Nueva Gales del Sur (Australia), se propuso hacer esta reformulación que terminó \text{a.}2005 con la publicación de su libro (enlace), y que luego fue relatando en una serie de vídeos de su canal de Youtube (enlace).
En vez de tratar con ángulos, distancias a modo de catetos opuesto, y adyacente, o hipotenusa, o algunos ratios, se utilizan los términos cuadranza, extensión, y cruce (en menor medida).
· Cuadranza (quadrance), Q : Reemplaza el concepto de distancia. Mide el área del cuadrado dados dos de sus vértices, es decir, mide el cuadrado de la distancia, d^2 . Los griegos muchas veces, como en el teorema de Pitágoras, hablaban más de áreas que de longitudes.
· Extensión (spread) , s : Reemplaza el concepto de ángulo. Mide la ratio entre la cuadranza ascendida entre la cuadranza recorrida, es decir, mide el cuadrado del seno, \sin^2(\theta) .
· Cruce (cross), 1-s : Es el complementario a la extensión, es decir, mide el cuadrado del coseno, \cos^2(\theta)\triangleq 1-\sin^2(\theta) .
Muchas de los resultados clásicos tienen sus análogos en este reformulación, veamos algunos ejemplos:
\begin{matrix} \text{Teorema de Pitágoras} & a^2 = b^2 + c^2 &\qquad& Q_1 = Q_2 + Q_3 \\ \text{Teorema del seno} & \displaystyle \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)} & \qquad & \displaystyle \frac{Q_1}{s_1}=\frac{Q_2}{s_2}=\frac{Q_3}{s_3} \\ \text{Teorema del coseno} & \displaystyle -a^2+b^2+c^2 = 2bc\cos(\alpha) &\qquad& (-Q_1+Q_2+Q_3)^2 = 4Q_2Q_3(1-s_1) \end{matrix}
Caben resaltar dos fórmulas más:
(Q_1+Q_2+Q_3)^2=2\big({Q_1}^2+{Q_2}^2+{Q_3}^2\big) \qquad (s_1+s_2+s_3)^2=2\big({s_1}^2+{s_2}^2+{s_3}^2\big)+4s_1s_2s_3
Casi todas estas relaciones se pueden obtener partiendo de las relaciones clásicas y modificándolas hasta alcanzar una expresada en los términos deseados. Cabe resaltar a su vez que la trigonometría racional a veces hace uso de relaciones de cuadrados a los que Euclides les dedica algunas proposiciones en su obra magna Los Elementos, como por ejemplo:
(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2) \qquad (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab
O haciendo uso de la Identidad de Brahmagupta-Fibonacci/de Diofanto:
(a_2b_1-a_1b_2)^2+(a_1a_2+b_1b_2)^2=\big({a_1}^2+{b_1}^2\big)\big({a_2}^2+{b_2}^2\big)
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.