Sólidos Platónicos.
Motivado por la ignorancia que abunda al respecto de estas
nociones elementales de geometría (ignorancia en la que aventajo a muchos) y
por las promesas de cierta señorita de leerme, he decidido elaborar este artículo
sobre sólidos platónicos. El propósito del mismo es meramente divulgativo, no
pretendo más que paliar la ignorancia de primera clase, dígase no saber de qué
va una cosa, para la ignorancia de segunda clase, dígase no tener un
conocimiento profundo sobre una cosa, buscar remedio aquí sería pretender que
un ciego guiase a otro.
Comencemos por decir que los sólidos platónicos son
<<Poliedros Regulares Convexos>>, noción que incluye conceptos que pasamos a definir:
-Un poliedro convexo es la envolvente convexa de un conjunto
finito de puntos en R^3(o en un espacio afín tridimensional cualquiera) que no
estén en un mismo plano. Por envolvente convexa de un conjunto finito de puntos
entendemos el mínimo conjunto convexo que contiene a todos ellos. Por último,
un conjunto es convexo si, dados dos puntos cualesquiera del mismo, el segmento
que los une está íntegramente contenido en él. Por ejemplo, un cubo es un
poliedro convexo, mientras que un toro no lo es.
-Un poliedro es regular si todas sus caras son iguales. Por
caras entendemos las regiones exteriores
del poliedro. Durante nuestro artículo tendremos que contentarnos con la
noción intuitiva de esta definición, definir <<cara>> rigurosamente
nos llevaría demasiado tiempo (y además no estoy seguro de cómo hacerlo).
Ahora sí, los sólidos platónicos son los 5 únicos poliedros
regulares convexos tales que sus caras tienen iguales formas y áreas, sus
aristas igual longitud y en cada uno de sus vértices concurren el mismo número
de aristas y de caras. Estos son: tetraedro, hexaedro, octaedro, icosaedro, y
dodecaedro.
Ocurre que para que
esto tenga sentido tenemos que introducir nuevas definiciones, vamos con ellas:
-Dado un conjunto finito de puntos consideramos su
envolvente convexa. Un punto de este conjunto es un vértice si la envolvente
convexa del resto de puntos es distinta de la envolvente de todos los puntos
(de forma intuitiva, si es necesario para que nos salga la figura).
-Una arista es el segmento que une dos vértices en las caras
del poliedro, sin aceptar que pase por el interior del mismo.
Incluimos ahora una representación de los sólidos
platónicos dibujada por el conspicuo matemático, físico y astrónomo (aunque no
había una verdadera distinción entre estos términos en su época) Johannes
Kepler. Los lectores más avispados notarán que hay unas palabras bajo los mismos, con ellas iremos más
adelante.
Hemos hecho la sorprendente afirmación de que estas figuras
son los únicos poliedros regulares convexos que existen. Afirmación que no
vamos a probar, no porque esto sea complicado sino porque escribir matemáticas
por aquí es horroroso. Lo que sí daremos, serán algunos comentarios sobre la
prueba:
El que estas figuras son las únicas de su clase, ya aparece
demostrado en el libro <<Los elementos>> de Euclides, quien propone
una demostración esencialmente geométrica, basada en los ángulos que forman
entre sí las aristas, muy en el estilo griego (de hecho el <<edro>>
de las figuras significa ángulo). Actualmente sin embargo, podemos demostrarlo con algo menos de esfuerzo echando mano del genio de Euler, a través de su célebre
fórmula:
Número de vértices +
número de caras = número de aristas + 2
Convendría también
hablar sobre la historia de estos poliedros. La primera aparición de algo
semejante a ellos consiste en unas piezas de piedra encontradas en Escocia, que
datan del neolítico. Sobre si estos son sólidos de Platón, meramente piezas
decorativas o alguna otra cosa no hay consenso, y dejamos que el lector se
forme su propia opinión.
Tras esto avanzamos hasta los griegos. Las referencias más
antiguas que tenemos sobre ellos nos dicen que ya Pitágoras los conocía, aunque
no se ponen de acuerdo en si los conocía todos ni en cuáles conocía
exactamente. Lo que sí sabemos con seguridad es que el ateniense Teeteto tenía
conocimiento sobre su existencia, y que suya es la primera prueba documentada
sobre su unicidad, recogida por Euclides en sus elementos.
Contemporáneo y paisano de Teeteto era Platón, filósofo
famoso por su libro <<Politeia>> (que los romanos tradujeron por
<<Res Publica>> a falta de una palabra mejor) y por sus numerosas
divagaciones. Entre estas divagaciones están las de los diálogos
<<Timeo>> en los que habla
de los sólidos que nos ocupan. Entre otras cosas relaciona cada uno con un elemento (recordemos que los griegos creían que el mundo estaba compuesto por
los elementos: agua, fuego, aire y tierra). Demócrito dijo que cada elemento debía estar hecho de unidades indivisibles llamadas átomos, y Platón añadió que las formas de los átomos debían ser la de los sólidos que nos ocupan. Sobre el dodecaedro afirmaba que representaba el universo.
Esta mención les valió el sobrenombre de
platónicos con el que se han quedado hasta hoy. Cabe destacar que Platón no
hizo mucho más que mencionarlos. Tazón no era muy bueno en matemáticas, y de
hecho cometió algunos errores de cálculo que habrían tenido consecuencias
graciosas en su república, pero eso ya se aleja del tema que estamos tratando.
Siglos más tarde, frente al frenesí del renacimiento, el
astrónomo Johannes Kepler recordó aquella lejana tarde en que su curiosidad lo
llevó a conocer a Platón. En efecto, la lectura de los diálogos del Timeo le
encandiló hasta el punto tal punto que trató de explicar las órbitas celestes
mediante sólidos platónicos, aunque el resultado no terminó de convencerle y finalmente rechazó la idea, dejándonos bonitas ilustraciones.
Diego Munuera Merayo.
