(487) - LA Desigualdad triangular [o de Minkowski]. Desigualdad poligonal

En el día de hoy traemos una entrega bastante importante: una desigualdad triangular que por antonomasia se conoce como la desigualdad triangular.

En Wikipedia (en inglés) hay dos páginas de  listas de desigualdades triangulares: una para desigualdades triangulares genéricas, y otra para triángulos oblicuángulos.  Probablemente el estudiante medio de matemáticas solo conozca dos desigualdades triangulares: la pitagórica, y la que nos atañe.

La desigualdad triangular establece que: en un triángulo, la longitud de cualquier lado es estrictamente menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.

Demostración de Euclides de la Proposición XX, Libro I, Los Elementos

 Cuando se habla de vectores en vez de lados de un triángulo, la desigualdad se conoce como desigualdad de Minkowski, y reza: la norma de la suma de vectores es menor o igual que la suma de sendas normas. La igualdad solo se da si los vectores son colineales.

Desigualdad de Minkowski

 Esta desigualdad se utiliza mucho en cálculo y análisis, en demostraciones de continuidad uniforme, o que cierta cantidad (por ejemplo un sumatorio) está acotado, muchas veces sumando y restando un término a conveniencia.

Para terminar, cabe resaltar una generalización a modo de corolario de este resultado: en un n-gono, [la longitud de] cada lado pertenece al entorno cerrado de centro [la longitud d]el mayor de los (n-1) lados restantes, y radio la suma de [las longitudes de] los (n-2) aún restantes.

Para demostrar la generalización, se pueden considerar los sucesivos triángulos al triangular un n-gono por sus diagonales

  

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.