Si hay un escolástico que me ha captado la atención en los últimos meses es Nicole d'Oresme (nació c.$1320-1325$ en Fleury-sur-Orne, Normandía y murió el $11$ de julio de $1382$ en Lisieux, Normandía). Veamos qué hizo este clero del siglo XIV.
Consideremos cuánto vale la suma de la serie armónica, es decir, la suma de infinitos términos de los inversos de los números naturales ($1,2,3,4,5,\cdots$). Él empieza acotando inferiormente cada sumando por el inverso de una potencia de $2$, aquella que sea la mejor cota ($1,2,4,8,16,32,64,\cdots$) $$ \begin{matrix} 1 & + & \displaystyle\frac{1}{2} & + & \displaystyle\frac{1}{3} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{5} & + & \displaystyle\frac{1}{6} & + & \displaystyle\frac{1}{7} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{9} & + & \cdots \\= & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \\ 1 & + & \displaystyle\frac{1}{2} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{16} & + & \cdots \end{matrix}$$ De aquí se ve cómo, sumando ciertos términos de la cota, aparecen infinitas veces el sumando $\frac{1}{2}$ . En particular se tiene: $$ \sum_{n=1}^{2^N}\frac{1}{n} > 1 + \frac{N}{2} \implies \sum_{n=1}^k \frac{1}{n} > 1 + \frac{\log_2k}{2}$$ Por lo que dedujo que la serie armónica divergía. Es más, siglos después se demostró que la serie armónica tenía el mismo crecimiento que el logaritmo neperiano: $$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim_\infty \ln(n) + \gamma$$ Donde $\displaystyle \gamma = \int_1^\infty \left( \frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x}\right) \;\mathrm{d}x$ es la constante de Euler-Mascheroni.
También se le atribuye la demostración del Teorema de la velocidad media, cuyo redescubrimiento y popularización se debe a Galileo. El teorema dice: un objeto en un movimiento uniformemente acelerado recorre en un intervalo el mismo espacio que recorrería un objeto con velocidad uniforme, cuya velocidad es la velocidad media del primero. Pongamos esto con notación algebraica con dos ecuaciones que nos son muy conocidas $$ d = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \qquad d=\bar{v}t$$ Donde $d$ es el espacio recorrido, $v_0$ es la velocidad inicial en $t=0$, $t$ es el tiempo, $a$ es la aceleración constante, $\bar{v}$ es la velocidad media del móvil y $v=v(t)$ es la velocidad final. Usando las siguientes identidades es trivial probarlo algebraicamente: $$ \bar{v}=\frac{v_0+v}{2} \qquad v=v_0+at $$ Sin embargo, Nicolas de Oresme lo hizo de una manera puramente geométrica y con razonamientos, ya que se tardaría siglos en desarrollar el álgebra para escribirlo.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Consideremos cuánto vale la suma de la serie armónica, es decir, la suma de infinitos términos de los inversos de los números naturales ($1,2,3,4,5,\cdots$). Él empieza acotando inferiormente cada sumando por el inverso de una potencia de $2$, aquella que sea la mejor cota ($1,2,4,8,16,32,64,\cdots$) $$ \begin{matrix} 1 & + & \displaystyle\frac{1}{2} & + & \displaystyle\frac{1}{3} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{5} & + & \displaystyle\frac{1}{6} & + & \displaystyle\frac{1}{7} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{9} & + & \cdots \\= & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \\ 1 & + & \displaystyle\frac{1}{2} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{16} & + & \cdots \end{matrix}$$ De aquí se ve cómo, sumando ciertos términos de la cota, aparecen infinitas veces el sumando $\frac{1}{2}$ . En particular se tiene: $$ \sum_{n=1}^{2^N}\frac{1}{n} > 1 + \frac{N}{2} \implies \sum_{n=1}^k \frac{1}{n} > 1 + \frac{\log_2k}{2}$$ Por lo que dedujo que la serie armónica divergía. Es más, siglos después se demostró que la serie armónica tenía el mismo crecimiento que el logaritmo neperiano: $$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim_\infty \ln(n) + \gamma$$ Donde $\displaystyle \gamma = \int_1^\infty \left( \frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x}\right) \;\mathrm{d}x$ es la constante de Euler-Mascheroni.
También se le atribuye la demostración del Teorema de la velocidad media, cuyo redescubrimiento y popularización se debe a Galileo. El teorema dice: un objeto en un movimiento uniformemente acelerado recorre en un intervalo el mismo espacio que recorrería un objeto con velocidad uniforme, cuya velocidad es la velocidad media del primero. Pongamos esto con notación algebraica con dos ecuaciones que nos son muy conocidas $$ d = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \qquad d=\bar{v}t$$ Donde $d$ es el espacio recorrido, $v_0$ es la velocidad inicial en $t=0$, $t$ es el tiempo, $a$ es la aceleración constante, $\bar{v}$ es la velocidad media del móvil y $v=v(t)$ es la velocidad final. Usando las siguientes identidades es trivial probarlo algebraicamente: $$ \bar{v}=\frac{v_0+v}{2} \qquad v=v_0+at $$ Sin embargo, Nicolas de Oresme lo hizo de una manera puramente geométrica y con razonamientos, ya que se tardaría siglos en desarrollar el álgebra para escribirlo.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
