(953) - Polinomios de Bernstein

$$ B_N(x) = \sum_{k=0}^N f\left(a+\frac{b-a}{N}k\right)\binom{N}{k} \frac{(x-a)^k(b-x)^{N-k}}{(b-a)^N} $$
$$ B_N(x) = \sum_{k=0}^N \beta_k B_{N,k}(x) ;$$
Base de los polinomios de Bernstein de grado $N$ tiene $(N+1)$ polinomios de grado $N$ , $\Big\{ B_{N,k}(x)\Big\}_{k=0}^N$ viene dado por
$$ B_{N,k}(x) = \binom{N}{k} \frac{(x-a)^k(b-x)^{N-k}}{(b-a)^N} \qquad \beta_k = f\left(a+\frac{b-a}{N}k\right) $$
Donde $\beta_k$ son los coeficientes de Bernstein-Bézier

Tras una normalización donde se define la nueva variable independiente $t=\displaystyle \frac{x-a}{b-a}$ se simplifican a
$$ \binom{N}{k} \left(\frac{k}{N}\right)^k\left(1-\frac{k}{N}\right)^{N-k} = \binom{N}{k}\frac{k^k (N-k)^{N-k}}{N^N} \geqslant B_{N,k}(t) \geqslant 0 $$

$$ \frac{N!}{2^N \displaystyle \left(\frac{N}{2}\right)!^2} \geqslant B_{N,\frac{N}{2}}(t) \geqslant 0 $$

$$ B_{N,k}(t)=B_{N,N-k}(1-t) $$
$$ B_N(t) = \sum_{k=0}^N f\left(\frac{k}{N}\right)\binom{N}{k} t^k(1-t)^{N-k} $$
$$ 0 \leqslant t \leqslant 1 \implies \sum_{k=0}^N B_{N,k}(t) = 1 $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.