(953) - Polinomios de Bernstein

El teorema de aproximación polinómica de Weierstrass indica que toda función continua en un intervalo cerrado se puede aproximar uniformememte por una sucesión de polinomios. Por ejemplo, podemos usar los polinomios de Bernsteins para aproximar $f(x)$ en $[a,b]$. $$ B_N(x) = \sum_{k=0}^N f\left(a+\frac{b-a}{N}k\right)\binom{N}{k} \frac{(x-a)^k(b-x)^{N-k}}{(b-a)^N} \qquad B_N(x) = \sum_{k=0}^N \beta_k B_{N,k}(x) ;$$
Como se puede ver, se ha aproximado por un polinomio como una combinación lineal de los elementos de una base polinómica (los polinomios de Bernstein), con $(N+1)$ polinomios de grado $N$ , $\Big\{ B_{N,k}(x)\Big\}_{k=0}^N$ vienen dados por: $$ B_{N,k}(x) = \binom{N}{k} \frac{(x-a)^k(b-x)^{N-k}}{(b-a)^N} \qquad \beta_k = f\left(a+\frac{b-a}{N}k\right) $$ Donde $\beta_k$ son los coeficientes de Bernstein-Bézier

Tras una normalización donde se define la nueva variable $t=\displaystyle \frac{x-a}{b-a}$, ahora $t\in[0,1]$, por lo que se simplifican las expresiones: $$ B_N(t) = \sum_{k=0}^N f\left(\frac{k}{N}\right)\binom{N}{k} t^k(1-t)^{N-k} $$

Los polinomios satisfacen estas relaciones $$ \binom{N}{k} \left(\frac{k}{N}\right)^k\left(1-\frac{k}{N}\right)^{N-k} = \binom{N}{k}\frac{k^k (N-k)^{N-k}}{N^N} \geqslant B_{N,k}(t) \geqslant 0 \implies \frac{N!}{2^N \displaystyle \left(\frac{N}{2}\right)!^2} \geqslant B_{N,\frac{N}{2}}(t) \geqslant 0 $$ Nótese que los polinomios tienen cierta simetría: $$ B_{N,k}(t)=B_{N,N-k}(1-t) $$
En particular se satisface: $$ 0 \leqslant t \leqslant 1 \implies \sum_{k=0}^N B_{N,k}(t) = 1 $$ Veamos algunos ejemplos:

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.