(967) - Trigonometría integral

Consideremos dos funciones definidas a partir de integrales. El seno integral se define como: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{Si}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\frac{\sin(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ Sin embargo, hay quienes prefieren la definición: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{si}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle -\int_x^\infty \!\frac{\sin(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ Donde ambas están interrelacionadas por $$ \operatorname{Si}(z)-\operatorname{si}(z)=\frac{\pi}{2}$$ La función coseno integral viene definida por $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{ci}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle -\int_x^\infty \!\frac{\cos(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ A su vez, hay quien recurre a la función coseno integral entero para definir la anterior, donde se tiene que: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{Cin}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\frac{1-\cos(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ Si denotamos $\gamma$ la constante de Euler-Mascheroni, se tiene que: $$\operatorname{Ci}(z)=\gamma+\ln(z)-\operatorname{Cin}(z)$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.