(971) - Integral exponencial

Consideremos la función integral exponencial, que para valores positivos se define tal que: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{Ei}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int_{-x}^\infty\!\frac{e^{-t}}{-t} \text{d}t \end{array}$$ Hay quien incluso prefiere definir la integral exponencial entera: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{Ein} : & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x\! \frac{1-e^{-t}}{t} \text{d}t \end{array}$$
Sin embargo, esta definición inicial presenta ciertos problemas en algunos casos, por lo que se prefiere a veces definir una familia de funciones íntimamente relacionadas:
$$\begin{array}{ cccc } \operatorname{E}_n : & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle \int_1^\infty\!\frac{e^{-xt}}{t^n} \text{d}t \end{array}$$
Donde se tiene que $$\operatorname{E}_1(x) = -\operatorname{Ei}(-x)$$
Que es una relación muy útil a la hora de relacionar las dos definiciones. Es más, $$\operatorname{E}_1(x) = -\!\!\!\!\!\!\int_x^\infty\!\frac{e^{-t}}{t} \text{d}t$$ Que es básicamente sustituir en la definición anterior la identidad expresadad.
Si denotamos $\gamma$ la constante de Euler-Mascheroni, se tiene que: $$\operatorname{Ein}(z)=\gamma+\ln(z)+\operatorname{E}_1(z)$$

Nótese que aunque la familia de funciones integrales exponenciales puede parecer más aparatoso, se tienen las siguientes relaciones que simplifican los cálculos. $${\operatorname{E}_n}^{(1)}(x) = -\operatorname{E}_{n-1}(x) \iff \operatorname{E}_{n+1}(x) = \frac{e^{-x}-x\operatorname{E}_n(x)}{n}$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.