Supongamos
que tenemos una función que queremos evaluar cómo varía en un
intervalo. Bastaría con evaluar la pendiente entre los extremos de dicho intervalo, es decir, hallar su tasa de variación
media.
Sin
embargo, esto solo nos daría cómo varía globalmente en dicho intervalo, es
decir, si en general crece (pendiente positiva), o en general decrece (pendiente
negativa). Si queremos saber qué pasa en cada punto, qué valor tendrá dicha
función en el punto inmediatamente siguiente
a un punto dado, hay que considerar qué pasa a la pendiente al tender el
intervalo a un único punto:
Se calcula su tasa de variación instantánea, más conocida
como derivada. Esta nueva función es muy especial, y está asociada a la función original (tan especial que si una función tuviese dos derivadas, esas dos
derivadas fueran idénticas).
Nótese
que tasa de variación instantánea es un oxímoron (para que haya una
variación se necesita un tiempo donde transcurra), y además conlleva al cálculo
de un límite de la forma 0÷0 .
Si
se deriva la derivada, se obtiene una función llamada II-derivada de
la función original.
Si se deriva esta nueva función ahora, se obtiene la III-derivada de la función original...
Si se deriva n veces, se obtiene la n-ésima
derivada de la función original.
Nótese que la p-ésima
derivada de la q-ésima derivada es la (p+q)-ésima derivada, o equivalentemente, es la q-ésima derivada de la p-ésima derivada.
La I-derivada nos da la información de los intervalos de monotonía (crecimiento, y
decrecimiento) sobre la función original.
La II-derivada nos da la información de
los intervalos de curvatura (concavidad, y convexidad) sobre la función
original.
¿Qué significa la n-ésima
derivada con n = 0 ? Es una función que se ha derivado un total de 0
veces, es decir, una función que no se ha hecho nada, la función original.
¿Qué
significa la n-ésima derivada para n = –1 entonces? Por una regla
que hemos visto antes, si derivamos esta función, da la función original, es
decir, es una nueva función cuya derivada es la función original. Aquí hace falta
introducir la idea de integrales, que se verá en la próxima entrega.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
