En el día de hoy intentamos entender una paradoja al usar mal la regla del producto al derivar: Partamos de la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] (no en su formulación newtoniana, sino con el Teorema del momento lineal), y de la definición newtoniana de momento lineal ( $\vec{p}$ ).
$$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t}\qquad\wedge\qquad \vec{p}\overset{\text{def}}{=} m\vec{v}$$
Ahora combinemos ambas, y apliquemos la regla de la cadena:
$$ \sum\vec{F} = \frac{\text{d}(m\vec{v})}{\text{d}t} \implies \sum\vec{F} \overset{???}{=} \frac{\text{d}m} {\text{d}t}\vec{v} + m\frac{\text{d}\vec{v}} {\text{d}t} $$
Esto no cumple el Principio de Relatividad bajo las Trasformaciones galileanas (Invarianza galileana): para un objeto de masa variable cuando $\displaystyle \sum\vec{F}\equiv\vec{0}$ , la expresión anterior implicaría que permanece en reposo en un sistema que originalmente está en reposo, pero lo acelera una "fuerza ficticia" $\displaystyle -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}\vec{v}\not\equiv\vec{0}$ en un sistema que se mueve con velocidad $\vec{v}$ .
Para resolver esta paradoja aparente, consideremos una acreción de masas (colisión donde se suman las masas), pues es más intuitivo que el caso de eyección (donde también se llega al mismo resultado): Consideremos en un instante $t$ dos partículas cuyas masas instantáneas son $\text{d}m$ , y $m$ con sendas velocidades instantáneas $\vec{v}_1$ , y $\vec{v}$ , por lo que tienen un momento lineal total de $\vec{p}\vert_{t}=\text{d}m\cdot\vec{v}_1+m\vec{v}$ .
Tras la colisión, en un instante $t+\text{d}t$ , la masa instantánea será $m+\text{d}m$ , y tendrá una velocidad instantánea $\vec{v}+\text{d}\vec{v}$ , ergo tiene un momento lineal $\vec{p}\vert_{t+\text{d}t}=(m+\text{d}m)\cdot(\vec{v}+\text{d}\vec{v})$ .
El impulso instantáneo es $\vec{I}\overset{\text{def}}{=}\vec{p}\;\big\vert_t^{t+\text{d}t}=\text{d}\vec{p} = \text{d}m\cdot(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\text{d}\vec{v}$ (despreciando el producto de dos diferenciales) que ha transcurrido en un intervalo $\text{d}t$ , en $[t,t+\text{d}t]$ .
Nótese que $\vec{v}-\vec{v}_1$ es la velocidad relativa de la partícula de masa instantánea $m$ respecto a la otra partícula, la de masa instantánea $\text{d}m$ .
Si se halla la fuerza, se llega a una expresión similar, pero corregida respecto a la inicial ( $\vec{F}\neq m\vec{a}$ ) : $$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} = \frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} }$$ El término $\displaystyle \vec{F}_\text{reac}\overset{\text{def}}{=}-\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1)$ es la fuerza de reacción, es decir, la fuerza ejercida sobre el sistema ya que hay una variación de masa. Si se pasa al otro término vemos una relación mucho más familiar: $$\vec{F}_\text{ext} + \vec{F}_\text{reac} = m\vec{a}$$ Es justamente por este término de donde surge la paradoja: la fuerza que aparece en la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] hace referencia a la suma de todas las fuerzas externas, es decir, a la fuerza neta (o resultante), pero una variación en la masa del objeto se puede deber a una fuerza interna, a un empuje, etc.
De aquí se saca la conocida Ecuación de Meshchérskiy (también transliterado como Meshchérskij , del ruso Меще́рский , también escrito como Меще́рскій anterior a la reforma ortográfica de $1918$), donde $\vec{v}_\text{rel} =-(\vec{v}-\vec{v}_1) $ : $$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} + \frac{\text{d} m}{\text{d}t}\vec{v}_\text{rel} = m \frac{\text{d} \vec{v}}{\text{d}t} }$$ Su caso particular con $\vec{F}_\text{ext}\equiv\vec{0}$ se conoce como Ecuación del cohete de Tsiolkóvskiy (también transliterado como Tsiolkóvskij , del ruso Циолко́вский , también escrito como Ціолко́вскій anterior a la reforma ortográfica de $1918$), que implica resolver la ecuación diferencial: $$ -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) = m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} \iff -\frac{\text{d}m}{m} = \frac{\text{d}\vec{v}}{\vec{v}-\vec{v}_1} $$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Para resolver esta paradoja aparente, consideremos una acreción de masas (colisión donde se suman las masas), pues es más intuitivo que el caso de eyección (donde también se llega al mismo resultado): Consideremos en un instante $t$ dos partículas cuyas masas instantáneas son $\text{d}m$ , y $m$ con sendas velocidades instantáneas $\vec{v}_1$ , y $\vec{v}$ , por lo que tienen un momento lineal total de $\vec{p}\vert_{t}=\text{d}m\cdot\vec{v}_1+m\vec{v}$ .
Tras la colisión, en un instante $t+\text{d}t$ , la masa instantánea será $m+\text{d}m$ , y tendrá una velocidad instantánea $\vec{v}+\text{d}\vec{v}$ , ergo tiene un momento lineal $\vec{p}\vert_{t+\text{d}t}=(m+\text{d}m)\cdot(\vec{v}+\text{d}\vec{v})$ .
El impulso instantáneo es $\vec{I}\overset{\text{def}}{=}\vec{p}\;\big\vert_t^{t+\text{d}t}=\text{d}\vec{p} = \text{d}m\cdot(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\text{d}\vec{v}$ (despreciando el producto de dos diferenciales) que ha transcurrido en un intervalo $\text{d}t$ , en $[t,t+\text{d}t]$ .
Nótese que $\vec{v}-\vec{v}_1$ es la velocidad relativa de la partícula de masa instantánea $m$ respecto a la otra partícula, la de masa instantánea $\text{d}m$ .
Si se halla la fuerza, se llega a una expresión similar, pero corregida respecto a la inicial ( $\vec{F}\neq m\vec{a}$ ) : $$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} = \frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) + m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} }$$ El término $\displaystyle \vec{F}_\text{reac}\overset{\text{def}}{=}-\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1)$ es la fuerza de reacción, es decir, la fuerza ejercida sobre el sistema ya que hay una variación de masa. Si se pasa al otro término vemos una relación mucho más familiar: $$\vec{F}_\text{ext} + \vec{F}_\text{reac} = m\vec{a}$$ Es justamente por este término de donde surge la paradoja: la fuerza que aparece en la II Ley [traslacional] de Newton - Ley Fundamental de la Dinámica [traslacional] hace referencia a la suma de todas las fuerzas externas, es decir, a la fuerza neta (o resultante), pero una variación en la masa del objeto se puede deber a una fuerza interna, a un empuje, etc.
De aquí se saca la conocida Ecuación de Meshchérskiy (también transliterado como Meshchérskij , del ruso Меще́рский , también escrito como Меще́рскій anterior a la reforma ortográfica de $1918$), donde $\vec{v}_\text{rel} =-(\vec{v}-\vec{v}_1) $ : $$\boxed{ \vec{F}_\text{ext} + \frac{\text{d} m}{\text{d}t}\vec{v}_\text{rel} = m \frac{\text{d} \vec{v}}{\text{d}t} }$$ Su caso particular con $\vec{F}_\text{ext}\equiv\vec{0}$ se conoce como Ecuación del cohete de Tsiolkóvskiy (también transliterado como Tsiolkóvskij , del ruso Циолко́вский , también escrito como Ціолко́вскій anterior a la reforma ortográfica de $1918$), que implica resolver la ecuación diferencial: $$ -\frac{\text{d}m}{\text{d}t}(\vec{v}-\vec{v}_1) = m\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} \iff -\frac{\text{d}m}{m} = \frac{\text{d}\vec{v}}{\vec{v}-\vec{v}_1} $$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
