( 233 ) Descubierto un nuevo primo de Mersenne

     No es habitual que en la prensa generalista (lo que vienen siendo los diarios de toda la vida) aparezcan noticias relacionadas con las matemáticas. Entendámonos, tampoco es que no salgan nunca. De vez en cuando las matemáticas del bachillerato se hacen notar (por ejemplo, conflictos en la selectividad: el año pasado, o también el año anterior con un problema que se hace especialmente difícil) o se da algún premio a algún matemático (por ejemplo, un premio de este año y también, aunque es ya más antiguo una noticia que ayuda a luchar contra la discriminación de género) o incluso, y esto es el tipo de artículos que no podemos dejar de recoger en este blog, sale de vez en cuando una noticia sobre lo bien que se colocan los matemáticos (eso ya lo hemos tratado anteriormente en otras entradas, como esta) o sobre la importancia que tienen las matemáticas en nuestra sociedad. En esta línea tenemos este artículo de noviembre pasado, "El boom de las matemáticas", del cual nos permitimos reproducir el primer párrafo para animar a su lectura:

Decía el novelista Graham Greene que «una pasión tiene que tener algo de clandestino, algo de transgresor y algo de perverso». En un mundo en el que los números se pueden usar para cosas tan dispares como navegar por internet o explicar el funcionamiento de las estrellas, las matemáticas pueden ser la pasión de muchas personas. Pero no todos los afortunados con este don lo reconocen, quizás porque al ser tan complejas y abstractas como la realidad en sí misma, las matemáticas pueden llegar a ser abrumadoras para los profanos en la materia. Por eso no sorprende que los apasionados por los números a veces queden encajados en la categoría de los raros.

     Pero también alguna vez, y esto es todavía más raro, lo que aparece en la prensa es la noticia de un descubrimiento matemático. Eso es justo lo que ha ocurrido el pasado mes de enero, así que nosotros vamos a recogerlo aquí para intentar explicar un poco la noticia y, quien sabe, quizá ayudar a difundirla un poco (¿es posible que haya estudiantes de matemáticas que no lean periódicos y como consecuencia, no estén al tanto de la evolución de la ciencia objeto de sus estudios?, ¿es incluso probable?..., demasiadas preguntas para responder en este humilde blog). 

Logotipo del GIMPS

     El responsable del descubrimiento es un grupo de trabajo (¿quizá deberíamos llamarlo un proyecto de investigación?) llamado GIMPS (iniciales de Great Internet Mersenne Prime Search, o dicho en castellano Gran Búsqueda de Primos de Mersenne por Internet) y la nota de prensa con la que comunican su hallazgo la emitieron el 7 de enero de 2016. El hallazgo que anunciaban es que habían encontrado el mayor número primo que se conoce, que, como se puede esperar dado el nombre del grupo, es un primo de Mersenne. Naturalmente, no el mayor primo que existe porque ya los antiguos matemáticos griegos habían demostrado que hay infinitos números primos. El mayor que conocemos hasta ahora, que dicho sea de paso, es bastante grande. Y esta frase es sólo una excusa para sacar a colación que hemos dedicado ya una entrada a números grandes y tenemos pendiente alguna más, pero digamos que el primo encontrado tiene más de 22 millones de cifras (22.338 618 para ser exactos). Por poner un ejemplo, en el Quijote que tengo en casa caben unos 62 símbolos por linea (incluyendo espacios) y unas 30 líneas por página, así que escribiendo las cifras del primo hallado seguidas, sin huecos, línea tras línea y página tras página a ese mismo tamaño ocuparían aproximadamente 12000 páginas. Mi Quijote ocupa unas 1550 páginas, así que tenemos un número de casi 8 Quijotes.
       El contenido de la nota de prensa acabó apareciendo en los periódicos clásicos (por ejemplo la noticia sale en el ABC el 21 de enero), en los digitales (aquí ponemos un articulo de El Español del 28 de enero que encontramos especialmente claro y completo) o en los blogs de divulgación matemática (el estupendo blog Gaussianos lo ha tenido como entrada con el título: Confirmado el descubrimiento del primo de Mersenne número 49). El número concreto, el primo de Mersenne más grande que se conoce, que aún no lo hemos dicho, es el que aparece en la foto que colocamos aquí debajo (tranquilos que no estan los 22 millones de cifras):

El nuevo primo descubierto (foto sacada del ABC)

     Básicamente, eso es lo que teníamos que contar, pero ya que estamos metidos en harina, que menos que incluir algunos comentarios aclaratorios sencillos. El primero, ¿qué es un primo de Mersenne?, pues simplemente un número primo que es una unidad menor que una potencia de dos. Es decir un primo de la forma 2^P-1. No es difícil ver que entonces el exponente P también tiene que ser un número primo. Ojo, pero no basta con que P sea primo para que 2^P-1 lo sea. Eso sólo pasa para algunos pocos primos.

Portada de una obra del padre Mersenne

      De hecho la hipótesis del cura que los estudió y les dio nombre, el padre Marin Mersenne, es que a partir de P=257 ya ningún número de esa forma es primo, lo cual no es cierto.  El padre Mersenne fue compañero de colegio de René Descartes y estudió teología, filosofía, teoría musical y, claro está, matemáticas (de hecho fue miembro de la orden de los mínimos, que no tiene nada que ver pero suena a orden para matemáticos). Volviendo a su estudio de primos, no hagamos sangre, se equivocó, pero tampoco hay tantos primos de esa forma especial. Hasta ahora sólo se conocen 49 primos de Mersenne (el número 13 es 2²⁵¹-1, de hecho justo el 2²⁵⁷-1 no es primo, luego hay 36 hasta ahora con los que el padre Marsenne no contaba). Conviene aclarar que los primeros que se conocen son todos los que hay, es decir, que hasta el primo de Marsenne número 44, que es el 2^32.582.657-1 (que se acerca a las diez millones de cifras, exactamente 9.808.358, unos tres Quijotes y medio), todos los numeros de esa forma (una unidad menos que una potencia de dos) y menores que este, distintos de los 44 conocidos, seguro que no son primos. Pero de ahí para arriba es distinto. Se conocen cinco primos más, pero puede que haya algún primo más de esa forma menor que los conocidos. Es decir que el 49 primo de Mersenne, el que se acaba de encontrar, todavía puede acabar siendo el 50 o el 51.
       La ventaja de estos números, de los que son una unidad menos que una potencia de dos, es que hay métodos de cálculo que permiten saber con más rapidez si son primos o no (quiere decir comparado con saber si es primo o no un número de un tamaño parecido pero que no tiene esa forma). De ahí que si uno mira la lista de los primos que fueron en su momento los más grandes conocidos, los 16 últimos encontrados son primos de Mersenne (el último que no lo era se encontró en 1989, entonces era el primo más grande conocido y fue el (391581×2²¹⁶¹⁹³)-1 que tiene 65087 dígitos (tan pequeño que casi ni merece la pena pasarlo a Quijotes, 35 páginas, poco más de tres capítulos). Aclaremos que eso no es lo mismo que los primos más grandes que se conocen ahora (hay primos que no han sido los más grandes conocidos cuando se encontraron, pero al encontrarse en, por decir algo, 2007, eran mayores que el que tuvo el record en 1989). Los 11 primos mayores que se conocen ahora son primos de Marsenne pero el décimo segundo, encontrado en 2007, es el (19249×2^13018586)+1 que tiene casi cuatro millones de cifras (exactamente 3.918.990, este ya pesa algo más de un Quijote).
     Esta característica de los primos de Mersenne hizo que surgiera un proyecto para buscar primos muy grandes de ese tipo, el ya mencionado GIMPS. Como, aún con todas las facilidades ya aprovechadas, la cantidad de cálculos que hay que hacer es muy grande, este proyecto utiliza a través de internet ordenadores que voluntarios le prestan. De ahí que los que figuran como descubridores de los números no son siempre los mismos, aunque todos lo hagan a través del GIMPS, o que puedan aparecer noticias curiosas como este titular de El País de hace 11 años: Un oculista alemán halla el número primo más alto conocido. Se refería al primo de Mersenne número 42 (7.816.230 cifras, algo menos de tres Quijotes de número).
      Sólo nos quedan dos cosas más para terminar esta entrada. La primera, agradecer a Diego Alonso, que nos envió un correo alertándonos del descubrimiento de este primo de Mersenne. Y la segunda, disculparnos con él porque pese a su sugerencia, no tratamos aquí de números perfectos y su relación con primos de Mersenne. No es que el tema no sea interesante, pero prefiero no alargarme más. Tal vez más adelante podría venir otra entrada hablando de números perfectos (y ayudaría si hubiera varios comentarios interesándose en el tema, que no conseguimos temas que os animen a comentar las entradas).