«Todas las evidencias muestran que Dios es en realidad un gran jugador y el universo un gran casino donde los dados se lanzan y la ruleta gira en todo momento. »
-Stephen Hawking, ludópata y aficionado a la física
Si hay algo que los matemáticos en especial no deberían hacer por sentido común, es apostar dinero en el casino, ya que deberían haber aprendido gran cantidad de conocimientos en Probabilidad de 1º y por ello, sabrían lo que es la esperanza matemática y por qué eso supone malas noticias para su bolsillo, pero en caso de que "estuvieras malo" el 85% de las clases de Eusebio y no pudieras asistir, te lo resumo.
Definición
La esperanza matemática se define por \[ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i \]
¿Pero qué información nos da esta cuenta a priori arbitraria?
Si tiramos una moneda al aire, tenemos que la probabilidad de ganar y la de perder son idénticas, \( \frac{1}{2} \), por lo que si seguimos jugando indefinidamente podemos esperar que "más o menos" nos salga el mismo número de caras que de cruces, ganar el mismo número de veces que perdemos.
Si nos proponen un juego en el que, si sale cara ganamos 2€ y si sale cruz perdemos 1€, la intuición nos dice que deberíamos poder ganar dinero, así que comprobemos con la esperanza matemática si en verdad es así.
Consideremos ahora \[X = \text{"Dinero que gano en esta jugada en €".}\]
Hacemos las cuentas
\[E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i = 2\cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2} = 1 - 0.5 = 0.5\]
Y obtenemos que el valor esperado de \( X \) es de 0.5€, un numero positivo , o sea que si seguimos jugando, a la larga, podremos esperar ganar en promedio 0.5€ con cada jugada, un chollo.
Veamos qué pasa ahora con la 37 destinos.
La ruleta
Consideremos también \[X = \text{"Dinero que gano en esta jugada".}\]
Utilizando la regla de Laplace vemos que:
P(Rojo) = \( \frac{18}{37} \)
P(Negro) = \( \frac{18}{37} \)
P(Cero) = \( \frac{1}{37} \)
Sabemos además que en el casino, por cada euro apostado si ganamos nos lo doblan (+1€) y si perdemos nos lo quitan (-1€). Entonces:
\[E_{\text{color}}(X) = (+1) \cdot \frac{18}{37} + (-1) \cdot \frac{19}{37} = \frac{-1}{37} = -0.\overline{027}\]
La esperanza es negativa, lo cual nos indica que a la larga, la variable "Dinero que gano en la jugada" va a ser negativa, o en lenguaje corriente, que vamos a perder dinero si seguimos jugando.
Sorprendentemente, da igual a qué apostemos, pares, impares, rojo, negro... ¡ la esperanza es la misma!
Si aciertas el número te
\[E_{\text{número concreto}}(X) = 35 \cdot \frac{1}{37} + (-1) \cdot \frac{36}{37} = \frac{-1}{37} \]
\[E_{\text{pares}}(X) = +1 \cdot \frac{18}{37} + (-1) \cdot \frac{19}{37} = \frac{-1}{37} \]
O sea, que da igual a lo que juegues que vas perder lo mismo. Si empiezas la noche con 15€ jugando en una mesa con apuesta mínima de 5€ puedes esperar perder: \[5\cdot(-0.027) =-0.135€\] por jugada, eso sí, probablemente no te dure las \(\frac{15}{0.135} = 111\) rondas teóricas.
Por último, que puedas esperar perder tu dinero no significa que lo tengas que perder, puedes ganar dinero en el casino, meter 10 al rojo y salir instantáneo con 20€ fresquitos, pero lo que nos dice la esperanza es, que si te quedas, y sigues jugando eventualmente esos 10 irán bajando y subiendo hasta hacerse 0.
Si quieres probar tu suerte, te dejo este programa sinulador de ruleta para que veas lo que te duraría el dinero y un par de gráficas por si no te apetece ejecutarlo :)
https://drive.google.com/drive/folders/1EbV48FwoAUpzlVGUsdJGuv1C05SEhwLT?usp=sharing
Autor: Raúl Barrero
